導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

1、1二、二、彈性分析第六節(jié)一、一、邊際分析導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 第二章 2一、一、 邊際分析邊際分析 定義定義 設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，( )yf x0000()()lim()xf xxf xfxx ;yx0 x00(,)xxx0()fx0 x0 x( )yf x 在在 內(nèi)的內(nèi)的平均變化率平均變化率為：為：在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的瞬時變化率瞬時變化率為：為：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱 為為 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的邊際函數(shù)邊際函數(shù)值值。3設(shè)在點(diǎn)設(shè)在點(diǎn) 處，當(dāng)自變量處，當(dāng)自變量 從從 改變一個單位（即自變量的增改變一個單位（即自變量的增量量 ）時函數(shù)的增量）時函數(shù)的增量 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確

2、值為 ，由微分近似公，由微分近似公式知，式知， 的近似值為的近似值為x0 x0 xx1x y 00000111x xx xxxyf xf xdyfxxfx 01x xxy y1x 當(dāng)當(dāng) 時，標(biāo)志著自變量時，標(biāo)志著自變量 從從 減少一個單位，而減少一個單位，而x0 x 00011x xx xxxydyfxxfx 由此可知有關(guān)邊際的由此可知有關(guān)邊際的經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義是是：經(jīng)濟(jì)函數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處當(dāng)自變處當(dāng)自變量量 增加（減少）一個單位時增加（減少）一個單位時，函數(shù)函數(shù) 近似增加（減少近似增加（減少） 個單個單位。位。( )f x0 xxx0()fxy4例例1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，求，求 在在

3、 時的邊時的邊際函數(shù)值際函數(shù)值2yxy5x 2yx 解解51 0 xy若函數(shù)若函數(shù) 具有經(jīng)濟(jì)意義，則具有經(jīng)濟(jì)意義，則 表明：表明：510 xy2yx5x xy當(dāng)當(dāng) 時，時， 每改變一個單位（增加或減少一每改變一個單位（增加或減少一個單位），個單位）， 改變十個單位（增加或減少十個改變十個單位（增加或減少十個單位）。單位）。5（1 1）總成本函數(shù)與邊際成本）總成本函數(shù)與邊際成本 某產(chǎn)品的某產(chǎn)品的總成本總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入費(fèi)用的總和，它由固定成本與需的全部資源投入費(fèi)用的總和，它由固定成本與可變成本組成?？勺兂杀窘M成。 平均成本平均成本是指生產(chǎn)一定數(shù)

4、量的產(chǎn)品，平均每是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本。單位產(chǎn)品的成本。 邊際成本邊際成本是指總成本的變化率。是指總成本的變化率?？偝杀?、平均成本和邊際成本都是產(chǎn)量的函數(shù)?？偝杀?、平均成本和邊際成本都是產(chǎn)量的函數(shù)。6x設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為 單位時，稱單位時，稱 為該產(chǎn)品的總成本函數(shù)，產(chǎn)為該產(chǎn)品的總成本函數(shù)，產(chǎn)量量 時的成本時的成本 為固定成本，為固定成本， 為可變成本。為可變成本。0 x 10( )( )C xC xC( )CC x0(0)CC稱為稱為邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)00()( )( )limlimxxCC xxC xC xxx 表示產(chǎn)量為表示產(chǎn)量為 時的邊際成本，其時的

5、邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為是當(dāng)產(chǎn)量為 時，每增加（減少）一個單位產(chǎn)量，總成本將增加（減少）個時，每增加（減少）一個單位產(chǎn)量，總成本將增加（減少）個單位。單位。0 x0()C x0 x0()C x( )( )C xC xx稱為稱為平均成本函數(shù)平均成本函數(shù)2( )( )( )( )C xxC xC xC xxx稱為稱為平均邊際成本函數(shù)平均邊際成本函數(shù)7例例2 2 設(shè)某商品的成本函數(shù)為設(shè)某商品的成本函數(shù)為 ，當(dāng)產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)品的生產(chǎn)量為的生產(chǎn)量為 時的平均成本和邊際成本分別為多少，并時的平均成本和邊際成本分別為多少，并說明邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義說明邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義. .2( )100 10C

6、xxx10 x 解解 平均成本函數(shù)為平均成本函數(shù)為 ( )10010,C xC xxxx1030C10 x 則當(dāng)則當(dāng) 時的平均成本為時的平均成本為又由邊際成本函數(shù)為又由邊際成本函數(shù)為 102Cxx則當(dāng)則當(dāng) 時的邊際成本為時的邊際成本為10 x 1030C邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量為邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量為1010時，每多生產(chǎn)或少時，每多生產(chǎn)或少生產(chǎn)一個單位，總成本將增加或減少生產(chǎn)一個單位，總成本將增加或減少0 0個單位個單位. .8（2 2）總收益函數(shù)與邊際收益）總收益函數(shù)與邊際收益 總收益總收益（收入）是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的（收入）是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的全

7、部收入。產(chǎn)品所獲得的全部收入。 平均收益平均收益是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品，是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每售出單位產(chǎn)品所獲得的收入，也就是單位平均每售出單位產(chǎn)品所獲得的收入，也就是單位產(chǎn)品的售價。產(chǎn)品的售價。 邊際收益邊際收益是指總收益的變化率。是指總收益的變化率。 總收益、平均收益和邊際收益都是銷售量的總收益、平均收益和邊際收益都是銷售量的函數(shù)。函數(shù)。9x設(shè)設(shè) 為產(chǎn)品的銷售量，則有為產(chǎn)品的銷售量，則有 稱為產(chǎn)品的稱為產(chǎn)品的銷售價格函銷售價格函數(shù)數(shù)( )PP x( )( )RR xx P x稱為稱為總收益函數(shù)總收益函數(shù)00()( )( )limlimxxRR xxR xR xxx 稱為

8、稱為邊際收益函數(shù)邊際收益函數(shù)0Rx 表示銷售量為表示銷售量為 時的邊際收益，其時的邊際收益，其經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷售量為是當(dāng)銷售量為 時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少）時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少） 個單位。個單位。0 x0 x0Rx10 x例3 某商品銷售量 與價格 之間的函數(shù)關(guān)系式 ，求當(dāng)銷售量分別為400，500，600時的總收益和邊際收益，并說明邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義100.01PxP2( )( )100.01R xx P xxx解 因?yàn)榭偸找婧瘮?shù)為400,500,600 x 所以，當(dāng)銷售量 時的總收益分別為4002400,R5002500,R6002

9、400R( )100.02R xx又由于邊際收益函數(shù)為又由于邊際收益函數(shù)為11(400)2,R400,500,600 x 所以，當(dāng)銷售所以，當(dāng)銷售量量 時的邊際收益時的邊際收益分別為分別為(500)0,R(600)2,R 邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)銷售量分別為邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)銷售量分別為400400，500500，600600時，每增加（減少）一個銷售量，總收時，每增加（減少）一個銷售量，總收益將增加（減少）益將增加（減少）2 2、0 0、2 2個單位個單位. .12（3）利潤函數(shù)與邊際利潤利潤是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所獲得的凈收入.一般情況下，總利潤函數(shù) 等于總收益函數(shù) 與總成本函

10、數(shù) 的差，邊際利潤是指利潤的變化率 ( )L x( )R x( )C x 00()( )limlimxxLL xxL xL xxx 稱為邊際利潤函數(shù)稱為總利潤函數(shù) ( )( )L xR xC x0L x 表示產(chǎn)量為 時的邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)產(chǎn)量為 時，每增加（減少）一個產(chǎn)量，利潤將增加（減少） 個單位.0 x0 x0L x13 L xR xC x即當(dāng) 時， RxCx( )0L x RxCx RxCx( )0L x( )0L x例4 某產(chǎn)品的總成本函數(shù) ，總收益函數(shù) ，求當(dāng)產(chǎn)量分別為 時的總利潤和邊際利潤，并說明邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義。( )5002C xx400,5002( )100.01R

11、xxx由 ，顯然邊際利潤可由邊際收益與邊際成本決定。即當(dāng) 時，即當(dāng) 時，14 2( )( )80.01500L xR xC xxx解 由于利潤函數(shù)為400,500 x 所以當(dāng)產(chǎn)量 時的利潤分別為邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量分別為邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量分別為400400，500500時，時，每增加（減少）一個銷售量，利潤將增加（減少）每增加（減少）一個銷售量，利潤將增加（減少）0 0、2 2個單位個單位. .4001100,5001000LL所以當(dāng)產(chǎn)量 邊際利潤分別為400,500 x 又由于邊際利潤函數(shù)為( )80.02L xx(400)0,(500)2LL 15例如， 商品甲每單位價格

12、元；漲價元，110元，商品乙每單位價格1000。元也漲價1，元變量都是兩種商品價格的絕對改1卻有很大的兩種商品漲價的百分比不同。10甲商品漲了,1 . 0而乙商品漲了。與函數(shù)變化率前面討論的函數(shù)改變量都是絕對改變量與絕對變化率。究絕對改變量在經(jīng)濟(jì)活動中僅僅研變化率還是不夠的。與絕對但是各與其原價相比，因此有必要研化率。究相對改變量和相對變二、彈性分析16，設(shè))(xfy 比自變量的相對改變量之把函數(shù)的相對改變量與xxyyxyyx的相對變化率。到從稱為函數(shù)xxxxf)( 我們把yxfxxfyy)()(xx與量在處的相對改變量與自變在點(diǎn)分別稱為函數(shù)xxf)(的相對改變量。 處點(diǎn)x 1、概念17xyy

13、xx0lim稱極限yxyxx0lim)()(/xfxfx記為。)()(/xfxfxExEy在經(jīng),)( 的彈性函數(shù)濟(jì)學(xué)中通常又稱為xf )()(/xfxfxxyyx由于所以yy)()(/xfxfxxx)()(/xfxfx,)(導(dǎo)數(shù)對點(diǎn)處的相對變化率或相在為函數(shù)xxf 如果取,1xx這表明：1的相對改變量為當(dāng)x時,的相對改函數(shù) y變量近似地為)()(/xfxfx。絕對改變量：相對改變量：平均變化率：平均相對變化率： （弧彈性）變化率：（邊際函數(shù)） 相對變化率： （點(diǎn)彈性） 相關(guān)概念的比較, xyyx 0limxyx ,xyxyyyxx 0limxyyxx 有量剛無量剛研究變量絕對量之間的關(guān)系是某一

14、變量的相對變化引起另一變量的相對變化的度量2、需求彈性( )EQdQpEpdp Q pp Q= ( )f p（1）定義：設(shè)某商品的市場需求量為Q，價格為p，需求函數(shù) 可導(dǎo)，則稱：為該商品的需求價格彈性，簡稱需求彈性，常記為：（2）經(jīng)濟(jì)含義： 一般來說， 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常使用 0. p p 當(dāng)商品的價格上漲（或下跌）1% 時，其需求量將減少（或增加）約%.p 20（3）討論：（a）單位彈性：1 p （b）高彈性：1 p （c）低彈性：1 p （d）無彈性：0 p （e）無窮彈性： p 213、收益的價格彈性（1）定義ERdRpEpdpR RQp dRdQpQdpdp被稱為總收益對價格的彈性（2）

15、與需求彈性的關(guān)系ERdQppQEpdpR1 p 1pEREp 即即22 (a)若 (稱為高彈性)時, 1 p (b)若 (稱為低彈性)時, 1 p (c)若 (稱為單位彈性)時, 1 p （3）價格變動如何影響銷售收入0 EREp0 EREp0 EREp此時此時, , 降價將使收益增加降價將使收益增加; ; 提價將使收益減少提價將使收益減少; ;此時此時, ,降價將使收益減少降價將使收益減少; ; 提價將使收益增加提價將使收益增加; ;此時此時, , 無論是降價還是提價均對收益沒有明顯無論是降價還是提價均對收益沒有明顯的影響。的影響。23總收益與需求彈性的關(guān)系圖總收益與需求彈性的關(guān)系圖pRo1

16、p 1p 1p 24設(shè)某商品需求函數(shù)為例 . 3,212)(PPfQ;) 1 (EPEQ求需求彈性函數(shù);6)2(時的需求彈性求P16)3(若價格上漲時，在P，？總收益是增加還是減少)2(212)212(/PPP21221PPPP24PEQPEPP624 624631解：EQEPQQP/) 1 (2516)3(若價格上漲時，在P，？總收益是增加還是減少總收益PQR )212(PP總收益的彈性EPERRRP/)212()212(/PPPPP21212PPEPER6P21212PP6P26126123267. 016價格上漲時，即在P，總收益增加67. 026（2004研究生考題：推導(dǎo)公式，說明經(jīng)濟(jì)意義）(本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量。(0)ddEE (I) 求需求量對價格的彈性)1 (dEQdPdR(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加。20,dP dQPEQ dPP )1 ()1 (dEQdPdQQPQdPdQPQdPdR120PPEd10p例4 某商品的需求量為2