基本不等式 Word含答案

1、第四節(jié)基本不等式1基本不等式(1)了解基本不等式的證明過程(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題2不等式的綜合應(yīng)用會運用不等式性質(zhì)解決比較大小、值域、參數(shù)范圍問題知識點基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時等號成立(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2利用基本不等式求最大、最小值問題(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么當xy時，xy有最小值2.(簡記：“積定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么當xy時，xy有最大值.(簡記：“和定積最大”)易誤提醒(1)求最值時要注意三

2、點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件(2)多次使用基本不等式時，易忽視取等號的條件的一致性必記結(jié)論活用幾個重要的不等式：(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)(5)(a>0，b>0，當且僅當ab時取等號)自測練習(xí)1下列不等式中正確的是()A若aR，則a29>6aB若a，bR，則2C若a，b>0，則2lglg alg bD若xR，則x2>1解析：a>0，b>0，.2lg2lg lg (ab)lg algB.答案：C2已知f(x)x2(x<0)，則f(x)有()A最大值為0

3、B最小值為0C最大值為4 D最小值為4解析：x<0，x>0，x22224，當且僅當x，即x1時等號成立答案：C3下列函數(shù)中，最小值為4的是()AyxBysin x(0<x<)Cyex4exDy解析：yx中x可取負值，其最小值不可能為4；由于0<x<，0<sin x1，ysin x>24，其最小值大于4；由于ex>0，yex4ex24，當且僅當ex2時取等號，其最小值為4；1，y2，當且僅當x±1時取等號，其最小值為2，故選C.答案：C4已知x>1，則x的最小值為_解析：x>1，x1>0，x(x1)1415，當且僅

4、當x1即x3時等號成立答案：5考點一利用基本不等式證明簡單不等式|(1)已知a>0，b>0，ab1，求證：9.(2)設(shè)a，b均為正實數(shù)，求證：ab2.證明(1)法一：a>0，b>0，ab1，112.同理，12.52549.當且僅當，即ab時取“”9，當且僅當ab時等號成立法二：111，a，b為正數(shù)，ab1，ab2，當且僅當ab時取“”于是4，8，當且僅當ab時取“”189，當且僅當ab時等號成立(2)由于a，b均為正實數(shù)，所以2，當且僅當，即ab時等號成立，又因為ab22，當且僅當ab時等號成立，所以abab2，當且僅當即ab時取等號考點二利用基本不等式求最值|(1)已

5、知x>0，y>0，lg 2xlg 8ylg 2，則的最小值是()A2B2C2 D4(2)(2015·高考重慶卷)設(shè)a，b>0，ab5，則的最大值為_解析(1)由lg 2xlg 8ylg 2得，2x×23y2x3y2，即x3y1，×(x3y)2224，當且僅當即最小值為4.故選D.(2)()2ab42·92·9ab418，所以3，當且僅當a1b3且ab5，即a，b時等號成立所以的最大值為3.答案(1)D(2)31若兩個正實數(shù)x，y滿足1，并且x2y>m22m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2)4，)B(，42，)C(

6、2,4)D(4,2)解析：x2y(x2y)228，當且僅當，即4y2x2時等號成立由x2y>m22m恒成立，可知m22m<8，m22m8<0，解得4<m<2，故選D.答案：D2(2016·洛陽統(tǒng)考)若正實數(shù)x，y，z滿足x24y2z3xy，則當取最大值時，的最大值為()A2 B.C1 D.解析：zx24y23xy，x，y，z(0，)，1(當且僅當x2y時等號成立)，此時，令t>0，則tt2(當且僅當t1時等號成立)故選D.答案：D考點三基本不等式的實際應(yīng)用|某化工企業(yè)2015年年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè)備該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元

7、，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)(1)用x表示y；(2)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備解(1)由題意得，y，即yx1.5(xN*)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，當且僅當x，即x10時取等號故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備3.某制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，如圖所示，長方形ABCD的周長為4，沿AC將ABC翻折，使點B落到點B的位置，AB交DC于點P.

8、研究發(fā)現(xiàn)當ADP的面積最大時最節(jié)能，則最節(jié)能時ADP的面積為()A22B32C2 D2解析：設(shè)ABx，DPy，則BC2x，PCxy.因為x>2x，故1<x<2.因為ADPCBP，故PAPCxy.由PA2AD2DP2，得(xy)2(2x)2y2，即y2，1<x<2.記ADP的面積為S，則S(2x)332，當且僅當x，即x時，S取得最大值32.答案：B11.忽視等號成立條件致誤【典例】(1)已知x>0，y>0，且1，則xy的最小值是_(2)函數(shù)y12x(x<0)的最小值為_解析(1)x>0，y>0，xy(xy)332(當且僅當yx時取等號

9、)當x1，y2時，(xy)min32.(2)x<0，y12x1(2x)1212，當且僅當x時取等號，故y的最小值為12.答案(1)32(2)12易誤點評(1)多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件如：12，2，xy24，得(xy)min4.(2)沒有注意到x<0這個條件誤用基本不等式得2x2.防范措施(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致跟蹤練習(xí)已知x，y為正實數(shù)，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_解析：124x3y2，xy3.當且僅當即時xy取得最大值3.答案：31“a0，b0”是“”的()

10、A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：由a0，b0可得，當且僅當ab時取等號反之，若，則ab0，可得a0，b0，故選C.答案：C2(2016·杭州一模)設(shè)a>0，b>0.若ab1，則的最小值是()A2B.C4 D8解析：由題意2224.當且僅當，即ab時取等號，所以最小值為4.答案：C3若a>0，b>0且ab7，則的最小值為()A. B1C. D.解析：本題考查利用基本不等式求最值因為b7a，所以(a9a)·(414)1，當且僅當時取得等號，故選B.答案：B4設(shè)x，yR，a>1，b>1.若axby2，a2b

11、4，則的最大值為()A1 B2C3 D4解析：由axby2得xloga 2，ylogb 2，2log2 alog2 blog2 (a2·b)log222(當且僅當a2b2時取等號)答案：B5若直線axby10(a>0，b>0)過曲線y1sin x(0<x<2)的對稱中心，則的最小值為()A.1 B4C32 D6解析：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式注意到曲線y1sin x(0<x<2)的對稱中心是點(1,1)，于是有ab1，·(ab)332，當且僅當，即ba(1)時取等號，因此的最小值是32，故選C.答案：C6(2016·濟南

12、一模)若實數(shù)x，y滿足4x4y2x12y1，則t2x2y的取值范圍是_解析：設(shè)a2x，b2y，則a>0，b>0，由條件得a2b22(ab)，(ab)2a2b22ab2(a2b2)，當且僅當ab時取等號，(ab)24(ab)，ab4，又(ab)22(ab)2ab>0.ab>2，2<ab4，即2<t4.答案：(2,47(2015·鄭州二模)已知a，b均為正數(shù)，且2是2a，b的等差中項，則的最小值為_解析：由于2是2a，b的等差中項，故2ab4，又a，b均為正數(shù)，故2ab24，當且僅當2ab2，即a1，b2時取等號，所以的最小值為.答案：8已知函數(shù)ylo

13、ga x1(a>0且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線40(m>0，n>0)上，則mn的最小值為_解析：由題意可知函數(shù)yloga x1的圖象恒過定點A(1,1)，點A在直線40上，4，m>0，n>0，mn(mn)1，當且僅當mn時等號成立，mn的最小值為1.答案：19已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，求證：>8.證明：因為x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，所以1>，1>，1>，又x，y，z為正數(shù)，由××，得>8.10某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD，公園由形狀為長方形A1B

14、1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比x(x>1)，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計？解：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為a米，則長為ax米，由a2x4 000，得a.則S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·160804 160(x>1)(2)804 16080×24 1601 6004 1605 760，當且僅當2

15、，即x2.5時，等號成立，此時a40，ax100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計為長100米，寬40米B組高考題型專練1若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2C2 D4解析：由已知得，且a>0，b>0，abb2a2，ab2.答案：C2若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，當且僅當，即a24，b32時取等號，故選D.答案：D3設(shè)f(x)ln x,0<a<b，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqr