多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)

1、研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)第一課時(shí)歐拉定理（一）教學(xué)目標(biāo)：（一）教學(xué)知識點(diǎn)1.簡單多面體的V、E、F關(guān)系的發(fā)現(xiàn).2.歐拉公式的猜想.3.歐拉公式的證明.（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生能通過觀察具體簡單多面體的V、E、F從中尋找規(guī)律.2.使學(xué)生能通過進(jìn)一步觀察驗(yàn)證所得的規(guī)律.3.使學(xué)生能從拓?fù)涞慕嵌日J(rèn)識簡單多面體的本質(zhì).4.使學(xué)生能通過歸納得出關(guān)于歐拉公式的猜想.5.使學(xué)生了解歐拉公式的一種證明思路.（三）德育滲透目標(biāo)1.通過介紹數(shù)學(xué)家的業(yè)績，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大師的獻(xiàn)身科學(xué)、勇于探索的科學(xué)研究精神、激發(fā)學(xué)生對科學(xué)的熱愛和對理想的追求.2.培養(yǎng)學(xué)生尋求規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律，并利用規(guī)律解決問

2、題的能力.教學(xué)重點(diǎn)歐拉公式的發(fā)現(xiàn).教學(xué)難點(diǎn)使學(xué)生從中體會和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大師研究數(shù)學(xué)的方法.教學(xué)方法指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法首先通過問題1利用具體實(shí)物，從觀察入手，培養(yǎng)學(xué)生對簡單多面體V、E、F關(guān)系的感性認(rèn)識從中尋找規(guī)律，問題2讓學(xué)生作進(jìn)一步觀察、驗(yàn)證得出規(guī)律，問題3讓學(xué)生在認(rèn)識簡單多面體的基礎(chǔ)上，通過歸納，得出關(guān)于歐拉公式的猜想，再通過問題4讓學(xué)生了解歐拉公式的證明思路，即從理論上探索對發(fā)現(xiàn)規(guī)律的證明.以上4個(gè)問題逐步深入地展開，旨在不僅使學(xué)生在知識上有新的收獲，同時(shí)應(yīng)體會和學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的思想和方法.教學(xué)過程情境設(shè)置歐拉瑞士著名的數(shù)學(xué)家，科學(xué)巨人，師從數(shù)學(xué)家約翰·伯努利，有驚人的記憶力，是數(shù)學(xué)史上

3、的最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他所寫的著作達(dá)865部（篇），28歲右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一場大火，秧及歐拉的住宅，歐拉雖然幸免于難，可他的藏書及大量的研究成果都化為灰燼。種種磨難，并沒有把歐拉搞垮。大火以后他立即投入到新的創(chuàng)作之中。資料被焚，他又雙目失明，在這種情況下，他完全憑著堅(jiān)強(qiáng)的意志和驚人的毅力，回憶所作過的研究。他總是把推理過程想得很細(xì)，然后口授，由他的長子記錄。他用這種方法又發(fā)表了論文多篇以及多部專著，這幾乎占他全部著作的半數(shù)以上，歐拉從19歲開始寫作，直到逝世，留下了浩如煙海的論文、著作，甚至在他死后，他留下的許多手稿還豐富了后47年的圣彼得堡科學(xué)院學(xué)報(bào)。數(shù)學(xué)

4、方面：他的論著幾乎涉及18世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)分支.比如，在初等數(shù)學(xué)中，歐拉首先將符號正規(guī)化，如f（x）表示函數(shù)，e表示自然對數(shù)的底，a、b、c表示ABC的三邊等；數(shù)學(xué)中的歐拉公式、歐拉方程、歐拉常數(shù)、歐拉方法、歐拉猜想等.其中歐拉公式的一個(gè)特殊公式,將數(shù)學(xué)上的5個(gè)常數(shù)0、1、i、e、聯(lián)在一起；再如就是多面體的歐拉定理VE+F=2，V、E、F分別代表一簡單多面體的頂點(diǎn)、棱和面的數(shù)目物理方面：他創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)，研究和發(fā)展了彈性理論、振動理論以及材料力學(xué)，在光學(xué)上也有杰出的貢獻(xiàn)，古典力學(xué)的基礎(chǔ)是牛頓奠定的，而歐拉則是其主要建筑師，他研究了天文學(xué)，并與達(dá)朗貝爾、拉格朗日一起成為天體力學(xué)的創(chuàng)立者，

5、流體力學(xué)的創(chuàng)始人。其它方面：歐拉在搞科學(xué)研究的同時(shí)，還把數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)際之中，為俄國政府解決了很多科學(xué)難題，為社會作出了重要的貢獻(xiàn)。如菲諾運(yùn)河的改造方案，宮延排水設(shè)施的設(shè)計(jì)審定，為學(xué)校編寫教材，幫助政府測繪地圖；在度量衡委員會工作時(shí)，參加研究了各種衡器的準(zhǔn)確度。另外，他還為科學(xué)院機(jī)關(guān)刊物寫評論并長期主持委員會工作。他不但為科學(xué)院做大量工作，而且擠出時(shí)間在大學(xué)里講課，作公開演講，編寫科普文章，為氣象部門提供天文數(shù)據(jù)，協(xié)助建筑單位進(jìn)行設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析，他把自己所建立的理想流體運(yùn)動的基本方程用于人體血液的流動，從而在生物學(xué)上添上了他的貢獻(xiàn)，又以流體力學(xué)、潮汐理論為基礎(chǔ)，豐富和發(fā)展了船舶設(shè)計(jì)制造及航海

6、理論。今天我們就去體驗(yàn)當(dāng)年的數(shù)學(xué)大師是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法發(fā)現(xiàn)歐拉公式并給予理論上的推理證明等研究活動，希望大家在活動中要充分展開自己的想象，展開熱烈的討論互相進(jìn)行數(shù)學(xué)交流.探索研究問題1：下列共有五個(gè)正多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E，并填表1正多面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體.201230正二十面體122030觀察表中填出的數(shù)據(jù)，請找出頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間的規(guī)律。教師巡視指導(dǎo)，如正十二面體，先定面數(shù)E12；再定棱數(shù)，每個(gè)面有5條棱，共有12×560條，由于每條棱都是兩個(gè)面的公共邊，所以上面的計(jì)算每條棱被算過

7、兩次，于是棱數(shù)E60/230；最后算頂點(diǎn)數(shù)，每個(gè)頂點(diǎn)處連有三條棱，所以它共有3V條棱，又因?yàn)槊織l棱連著兩個(gè)頂點(diǎn)，所以上面的計(jì)算每條棱被算過兩次，因此實(shí)際上只有3V/2條棱，即E3V/2，所以V20。表1中多面體的面數(shù)F都隨頂點(diǎn)數(shù)目V的增大而增大嗎？不一定.請舉例說明.如八面體和立方體的頂點(diǎn)數(shù)由6增大到8，而面數(shù)由8減小到6.此時(shí)棱的數(shù)目呢？棱數(shù)都是一樣的.所以我們得到：棱的數(shù)目也并不隨頂點(diǎn)數(shù)目的增大而增大.大家從表中還發(fā)現(xiàn)了其他的什么規(guī)律，請積極觀察，勇于發(fā)言.當(dāng)多面體的棱數(shù)增加時(shí)，它的頂點(diǎn)與面數(shù)的變化也有一定規(guī)律.上面的歸納引導(dǎo)去猜想，棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)即E與V+F是否有某種關(guān)系，請大家按這

8、個(gè)方向考察表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)并歸納出它們都滿足的關(guān)系.（積極驗(yàn)證，得出）V+FE=2以上同學(xué)們得到的V+FE=2這個(gè)關(guān)系式是由表1中的五種多面體得到，那么這個(gè)關(guān)系式對于其他的多面體是否也成立嗎？請大家盡可能的畫出多個(gè)其他多面體去驗(yàn)證.（許多同學(xué)可能舉出前面學(xué)過的圖形）四棱錐、五棱錐、六棱柱等.（教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生展開想象，舉出更多的例子）一個(gè)三棱錐截去含3條棱的一個(gè)頂?shù)玫降膱D形、一個(gè)立方體截去一個(gè)角所得的圖形等.好，同學(xué)們現(xiàn)在想象，例如：n棱錐在它的n邊形面上增加一個(gè)“屋頂”或截去含n條棱的一個(gè)頂后，剛才的猜想是否成立？能證明嗎？所得的多面體的棱數(shù)E為3n條，頂點(diǎn)數(shù)V為2n個(gè)，面數(shù)V為2+n個(gè)，因2

9、n+（2+n）3n=2,故滿足V+FE=2這個(gè)關(guān)系式.請繼續(xù)來觀察下面的圖形，填表2，并驗(yàn)證得出的公式工VFE2_O_E_D_C_B_A_S正多面體頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)五棱錐四棱柱五棱柱四棱錐六棱錐八面體七面體十面體（學(xué)生觀察，數(shù)它們的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，并填入表2，可能有些同學(xué)出錯(cuò)，教師在巡視時(shí)要及時(shí)給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生填完）觀察你們的數(shù)據(jù)，請驗(yàn)證這些圖形是否符合前面找出的規(guī)律嗎？其中哪些圖形符合？一起來設(shè)想問題1和問題2中的圖形.在某個(gè)橡皮膜上，當(dāng)橡皮膜變形后，有的地方伸長、有的地方壓縮，但不能破裂或折疊，橡皮膜上的圖形的形狀也跟著改變，這種圖形的變化過程我們稱之為連續(xù)變形.那么請大家試想這

10、些圖形中的哪些在連續(xù)變形中最后其表面可變?yōu)橐粋€(gè)球面？ 問題1中的（1）（5）和問題2中的（1）個(gè)圖形表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€(gè)球面.請同學(xué)們繼續(xù)設(shè)想問題2中在連續(xù)變形中，其表面最后將變成什么圖形？問題2中第個(gè)圖形；表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)榄h(huán)面像以上那些在連續(xù)變形中，表面能變?yōu)橐粋€(gè)球面的多面體叫簡單多面體.請大家判斷我們前面所學(xué)的圖哪些是簡單多面體？棱柱、棱錐、正多面體、凸多面體是簡單多面體.簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F的和與棱數(shù)E之間存在規(guī)律V+FE=2.我們將它叫做歐拉公式，以上3個(gè)問題的解決讓我們體會到了數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)V+FE=2的過程.那么如何證明歐拉公式呢？請大家打開課本P65的歐拉公式

11、證明方法中的一種，認(rèn)真體會它的證明思路和其間用到的數(shù)學(xué)思想.（學(xué)生自學(xué)、教師查看，發(fā)現(xiàn)問題，收集問題下節(jié)課處理）在歐拉公式中，令f(p)VFE。f(p)叫做歐拉示性數(shù)。簡單多面體的歐拉示性數(shù)反思應(yīng)用例1用三棱柱、四棱錐驗(yàn)證歐拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F(xiàn)=5，E=96+59=2，V+FE=2在四棱錐中：V=5，F(xiàn)=5，E=85+58=2，V+FE=2例2一個(gè)簡單多面體的各面都是三角形，且有6個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)簡單多面體的面數(shù).解：因?yàn)橐粋€(gè)面都有3條邊，每兩條邊合為1條棱.所以它的面數(shù)F和棱數(shù)E之間有關(guān)系E=3F/2.又由歐拉公式V+FE=2，且頂點(diǎn)數(shù)V=6.F=E+2V=E+26=3F/24F

12、=8例3證明：沒有棱數(shù)為7的簡單多面體.證明：設(shè)一個(gè)簡單多面體的棱E=7，它的面數(shù)為F，頂點(diǎn)數(shù)為V，那么根據(jù)歐拉公式有V+F=E+2=9.又多面體的面數(shù)F4,頂點(diǎn)數(shù)V4,只能有兩種情況：（1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4當(dāng)F=4時(shí)，多面體為四面體，而四面體只有4個(gè)頂點(diǎn)，故（1）不可能；當(dāng)V=4時(shí)，多面體也是四面體，而四面體只有4個(gè)面，故（2）不可能.沒有棱數(shù)為7的簡單多面體.例4已知一個(gè)十二面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，其中兩個(gè)頂點(diǎn)處各有6條棱，其他頂點(diǎn)處各有相同數(shù)目的棱，則其他頂點(diǎn)處各有幾條棱？解：F=12，V=8，E=V+F2=18兩個(gè)頂點(diǎn)處各有6條棱余6條棱，6個(gè)頂點(diǎn)而這6個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成六邊形，

13、過這6個(gè)頂點(diǎn)的棱應(yīng)該各有4條.注意：本題也可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型幫助我們?nèi)ヲ?yàn)證上述結(jié)果，即作一個(gè)六邊形，在它所在面的兩側(cè)各取一個(gè)點(diǎn)，共8個(gè)頂點(diǎn)、12個(gè)面.從中體會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型對于解決問題的方便與直觀.例5證明：四面體的任何兩個(gè)頂點(diǎn)的連線都是棱，而其他凸多面體都不具有這一性質(zhì).證明：設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=n,則它們互相連接成的棱數(shù)E=n(n1)/2每一條棱是兩個(gè)面的邊界，每個(gè)面至少有3條棱作邊界.F（n1）=（n1）V+F=E+2n+（n1）·（n1）+2,6n+2n（n1）3n（n1）+12,n27n+120,（n3）（n4）0.n4,n=4.例6正n（n=4,8,20）面體的棱長為a,

14、求它們表面積共同公式.解：正n（n=4,8,20）面體的面都是邊長為a的正三角形.S=a2它們表面積的共同公式為S全=n·na2（其中n=4,8,20）歸納總結(jié)本節(jié)課，我們一起體驗(yàn)了數(shù)學(xué)家歐拉運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法去發(fā)現(xiàn)公式V+FE=2的過程；體會到數(shù)學(xué)家獻(xiàn)身科學(xué)、勇于探索的科學(xué)研究精神；并通過大家自學(xué)了解證明歐拉公式成立的一種方法，希望同學(xué)們仔細(xì)閱讀研究，從中提出一些新問題，待我們下節(jié)課一起討論解決.作業(yè)（一）P69習(xí)題9.10 1、21、已知，凸多面體的各面都是四邊形，求證：F=V2證明：這個(gè)凸多面體每個(gè)面都是四邊形，每個(gè)面都是四條邊.又多面體相鄰兩面的兩條邊合為一條棱E=2F，將代

15、入歐拉公式V+FE=2中，得F=V2注意：數(shù)學(xué)中可啟發(fā)學(xué)生考慮：各面是三角形或五邊形的情況.2、一個(gè)簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有F=2V4的關(guān)系.解：V+FE=2又E=，V+F=0，F(xiàn)=2V4（二）預(yù)習(xí)提綱（1）請嘗試敘述歐拉公式的證明思路.（2）如何用歐拉公式解決“有沒有棱數(shù)是7的簡單多面體？”（3）為什么正多面體只有五種呢？第二課時(shí)多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)（二）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)1.歐拉公式的證明.2.歐拉公式的應(yīng)用.（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生能理解多面體歐拉公式的證明過程并能敘述其證明思路.2.使學(xué)生掌握多面體歐拉公式并靈活地將其應(yīng)用于解題中.（三）德育滲透

16、目標(biāo)繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生尋求規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律、并利用規(guī)律解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)歐拉公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)歐拉公式的證明思路.教學(xué)方法學(xué)導(dǎo)式本節(jié)課繼續(xù)上節(jié)課對歐拉公式的研究活動，遵循尋求規(guī)律發(fā)現(xiàn)規(guī)律認(rèn)識規(guī)律應(yīng)用規(guī)律的學(xué)習(xí)過程，對上節(jié)課已猜想出的歐拉公式進(jìn)一步深入研究，探索它的證明思路，讓學(xué)生了解這種證明思想，進(jìn)而達(dá)到熟練掌握歐拉公式的目標(biāo)，以便于學(xué)生得心應(yīng)手地將歐拉公式應(yīng)用到各種問題的解決中.教學(xué)過程情境設(shè)置上節(jié)課我們已經(jīng)猜想出了歐拉公式并且同學(xué)們也已自學(xué)了它的證明過程，這節(jié)課我們繼續(xù)對它的證明方法及其重要應(yīng)用進(jìn)行學(xué)習(xí)和探討.探索研究上節(jié)課我們已對課本P65的歐拉公式的證明進(jìn)行了自學(xué)，那么，誰能

17、說一下課本中的證明思路和關(guān)鍵是什么？將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形.下面我們運(yùn)用拓?fù)渥儞Q的手段，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行證明證法一：（1）假想一凸多面體的面用薄橡皮做成，內(nèi)部是空的，現(xiàn)破掉一個(gè)面，把其余的面展平并保持原表面的多邊形的邊數(shù)不變，成為一個(gè)平面網(wǎng)絡(luò)，這時(shí)V、E不變，只是F少1，于是即證在網(wǎng)絡(luò)中VE+F=1.（2）在網(wǎng)絡(luò)中的多邊形邊數(shù)若大于3，由于每增加一條對角線，則E、F各加上1，VE+F不變，于是盡可能增加對角線，使網(wǎng)絡(luò)成為全由三角形組成的網(wǎng)絡(luò).（3）邊緣上的三角形若有一個(gè)邊不是與其他三角形共邊，去掉這邊，則V不變，E、F各減少1；若有兩邊不與其他三角形共邊，去掉這兩邊，則F、V各減

18、少1，E減少2，這樣逐步可把“周圍”的三角形一一去掉（如圖）. （4）最后剩下一個(gè)三角形，顯然滿足VE+F=1，從而在凸多面體中，VE+F=2.證法二：設(shè)F個(gè)面分別為n1,n2,nF邊形，則所有面角總和a=（n12）+（n22）+（nF2）=（n1+n2+nF）2F=2E2F 如上面展成平面網(wǎng)絡(luò)后，設(shè)去掉的一個(gè)面為n邊形，可得到一個(gè)由n邊形圍成的網(wǎng)絡(luò)，內(nèi)部有Vn個(gè)點(diǎn). 則a=（n2）+（n2）+（Vn）2=（n2）2+（Vn）2由、易得我們所得到的式子.歐拉定理表明，任意的一個(gè)簡單多面體，經(jīng)過連續(xù)變形后，盡管它的形狀可以變化萬千，但有一個(gè)數(shù)始終不變，這就是：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)棱數(shù)，它總是等于2.所以

19、將2叫做連續(xù)變形下的不變數(shù).反思應(yīng)用例11996年的諾貝爾獎授于對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。如圖，C60是由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，它是一個(gè)形如足球的多面體，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，以每一頂點(diǎn)為一端點(diǎn)都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，你能算出C60中有多少個(gè)五邊形和六邊形嗎？解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個(gè)和y個(gè).多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=60，面數(shù)F=x+y,棱數(shù)E=（3×60），根據(jù)歐拉公式，可得60+（x+y）（3×60）=2另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示，即（5x+6y）=（3×60）由以上兩方程可解得x=12,y=20答：

20、C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個(gè)和60個(gè).小結(jié)：解決上述的關(guān)鍵就是找等量關(guān)系，即根據(jù)歐拉公式及棱數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系列出兩個(gè)變量關(guān)系.再思考應(yīng)用了數(shù)學(xué)的什么重要思想？方程思想.對，本題也旨在培養(yǎng)同學(xué)們利用方程解未知量的思想.對于解決（2）的關(guān)鍵又是什么呢？例2已知，一個(gè)簡單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，求證：V=2F4.欲求出V與F的關(guān)系，需結(jié)合已知條件尋找V與E的關(guān)系，再結(jié)合歐拉公式得出，具體如何做呢？因此簡單多面體每個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，而每條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以有3V=2E即E=V.又因?yàn)楹唵味嗝骟w頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間適合歐拉公式，所以V+FV=2，即2V+2F3V=4.故得V=2F

21、4.以上題目要注意準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)貙⒁阎獥l件中關(guān)于頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系式.下面請同學(xué)們回憶前面所學(xué)過的關(guān)于正多面體的概念及其種類.每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體.正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.對于“為什么只有五種正多面體”的問題，今天就可以利用歐拉公式證明了.例3證明：正多面體只有四種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.解決這個(gè)問題，應(yīng)從什么地方入手考慮？從正多面體的定義考慮.同學(xué)們翻開課本P65歐拉公式和正多面體的種類，仔細(xì)閱讀，體會其中的證明思路與方法.（學(xué)生自學(xué)，教師查看，解決學(xué)生疑難問題）鞏固訓(xùn)練1、C70分子是與C60分子類似的球狀多面體結(jié)構(gòu)，它有70個(gè)頂點(diǎn)，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，各面是五邊形或六邊形，求C70分子中五邊形和六邊形的個(gè)數(shù).答案：設(shè)有x個(gè)五邊形和y個(gè)六邊形F=x+y,E=105V=70,E=（5x+6y）解之得x=12,y=25答：C70分子中五邊形為12個(gè)，六邊形為25個(gè).2、設(shè)一個(gè)凸多面體有V個(gè)頂點(diǎn)，求證它的各面多邊形的內(nèi)角總和為（V2）·360°.證明：設(shè)這一凸多面體的各面分別為n1,n2,nF邊形，則各面多邊形內(nèi)角和是（n12）·180