第9章 子博弈精煉nash均衡的應用.

1、第二部分： 完全信息動態(tài)博弈第九章第九章 子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應第九章第九章 子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 Control Science

2、and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng一、Stackelberg寡頭競爭模型 經濟學中有許多模型先于博弈論，但包含了博弈論的一些基本思想，如Cournot 模型、Stackelberg 模型等。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 市場中有企業(yè)1，2。生產同質無差異的產品，決策變量為產量。但企業(yè)1先選產量q1，2觀測到q1后再選產量q2。 企業(yè)1領頭企業(yè)，leader 企業(yè)2尾隨企業(yè)，followe

3、rControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng121112121212 :0,QQsSQsQQQQ用 、分別表示企業(yè) 、 的產量區(qū)間，則其中，Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 均衡產出： 支付：121 (,()q s q121 ( ,()iu q s qControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved,

4、2007, Luo Yunfeng假定：需求函數： 成本： 利潤：12()PaqqiiCc q 12( ,)()iiiq qqPcControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng可用逆向歸納法求解。 給定q1，求2的最優(yōu)選擇。212212Max ( ,)()q qqa qqcControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 最優(yōu)化的一階條件：)()(211212qscqaqControl

5、Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 由于1可預測到：2根據s2(q1)選擇q2。所以11211121Max (,()()q s qqaqs qcControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 由最優(yōu)化一階條件得：)(41)()(21*12*2*1caqsqcaqControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007,

6、Luo Yunfeng 均衡結果： 均衡： 此均衡為子博弈精煉Nash均衡。11( (),()24acac*121(,()q s qControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng與Cournot模型的比較1) 產量 由此知： QsQc)(32)(43caQcaQcsControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng其中112211()()2311()()43scscQacacQQacacQ

7、Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng2) 利潤2232()()169scacacControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 其中1221222211()()8911()()169scscacacacacControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng這說明：企業(yè)具有先動

8、優(yōu)勢；企業(yè)具有信息優(yōu)勢，反而使自己不利。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 注意：企業(yè)2觀測到1生產了(a-c)/2，而不僅僅是決定生產(a-c)/2。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng假定： 2相信1的威脅，生產了Q2=(a-c)/4。 給定這個產量，企業(yè)1的最優(yōu)選擇是 q1=3(a-c)/8而不是q1=(a-c)/2Control Science and E

9、ngineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng3) 均衡 該模型中，除Stackelberg均衡結果外，還有其他Nash均衡，例如Cournot均衡，但該均衡不是精煉Nash均衡。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應第九章第九章 子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 Contr

10、ol Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng二、Leontief勞資談判模型 考慮Leontief模型。在這個模型中參與人為工會與雇主，工會決定工資，雇主決定就業(yè)水平。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng參與人的支付： ( , )00LULLUU設工會的效用函數為，其中 為工資， 為就業(yè)水平。 假設，即工會的效用是工資和就業(yè)水平的增函數。Control Science and Eng

11、ineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng參與人的支付： ( , )( )( ) 00 LR LLR LRR 設企業(yè)的利潤函數為：假設為嚴格增的凹函數，即，。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng博弈順序：(1)(2)L 工會首先選擇工資 ； 企業(yè)觀測到 后選擇就業(yè)水水平 。 上述模型為完美信息動態(tài)博弈。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved,

12、 2007, Luo Yunfeng求解逆向歸納法0( ) ( , )( ) ( ) LLMaxLR LLR L 給定 ，企業(yè)選擇最大化自己的利潤函數： 最優(yōu)化的一階條件是： Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng0 ( ,( )MaxUL 工會預期企業(yè)將根據上述條件選擇就業(yè)水平，工會在第一階段的問題是：Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng( )0 -( )LLUU

13、LULU 最優(yōu)化的一階條件是： 或Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo YunfengNash(,()L 上述條件表明：工會將選擇使得在點自己的無差異曲線與企業(yè)的勞動需求曲線相切，子博弈精練均衡結果為： Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應第九章第九章

14、子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng三、關稅與國際市場 關稅與國際市場模型是博弈論在國際經濟學中的一個應用。該模型考慮的是這樣的博弈情形：在兩個完全相同的國家，每個國家i(i=1,2)都有一個政府、一個企業(yè)和一群消費者。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 關稅與國際市場模型是博弈論在國際經濟學中的一個應用。該模型

15、考慮的是這樣的博弈情形：在兩個完全相同的國家，每個國家都有一個政府、一個企業(yè)和一群消費者。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng假設 國家i中的企業(yè)(簡稱企業(yè)i) 的總產量為 其中，qi為國內市場生產的產品，ei為出口的產品。 企業(yè)生產的總成本為 其中，c為邊際成本為常數。 iiqe()iic qeControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng假設 在國家i的市場上，消費者的

16、需求為： 其中，Pi(Qi)為國家i的市場出清價格；Qi為國家中消費者所消費的產品總量，包括本國企業(yè)生產的產量和進口的產量，即()iiiP QaQ( ,1,2)iijQqe i jij且Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 假設國家i中政府(簡稱政府)制定的關稅稅率為ti，因此，企業(yè)j向國家i出口ej的產品，必須支付ti ej關稅給政府。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yu

17、nfeng博弈的時序如下： (1) 兩個國家的政府同時選擇關稅稅率t1和t2； (2) 兩個國家的企業(yè)觀察到關稅稅率，并同時選擇其提供國內的產量和出口的產量(q1,e1) 和(q2,e2) ；Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng博弈的時序如下： (3) 企業(yè)得到利潤 ，其中 政府i的本國總福利gi包括本國消費者享受的消費者剩余、企業(yè)賺取i的利潤以及從企業(yè)j收取的關稅收入 。i( , ,)()() ()iiiijjjijijiiiijiq e t q e taqeqaqeec qe

18、t e2( , , ,)( , , , )2iiiiijjjiiiijjjijQg t q e t q eq e t q e tt eControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng求解逆向歸納法 企業(yè)i最大化自己利潤的選擇必須滿足*(,)(,)argmax( , , , , )iiiiiiiiiiiq eq eq e t q e tControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 由最優(yōu)

19、化一階條件可得 即企業(yè)i在給定關稅下，關于企業(yè)j的選擇的反應函數。 *1()21()2ijijjqaeceaqct Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 所以*3 ( ,1,2,)23iijiactqi jijacte Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 政府預測到企業(yè)會根據上式進行選擇，于是 *0argmax( , ,( ),( ),( ),( )iiiijii

20、ijjjjittg t t q te tq te tControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 由最優(yōu)化一階條件，可得： 于是* (1,2)3iacti*4()99iiacqaceControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 模型的子博弈精煉Nash均衡為 *1211221221(,( ),( ),( ),( )3acttq tq te te tControl Science a

21、nd Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 當兩個國家當作一個整體，考慮社會福利最大化。此時，整個社會面臨的決策問題為： 12*11211122221,0*21211122221( , ,( ),( ),( ),( ) ( , ,( ),( ),( ),( )t tMaxGg t t q te tq te tg t t q te tq te tControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 于是當 時達到最大。這意

22、味著：如果兩個國家的政府能夠簽訂一個相互承諾零關稅的協定(即自由貿易協定)，就可使整個社會的福利最大化。 120ttControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng關稅在每個國家的市場上的總產量消費者剩余企業(yè)i的利潤政府i的獲得的關稅0社會福利的損失0 3iact 0it 5()9ac 225()81ac 2()3ac 24()9ac 217()81ac 22()9ac 2()27ac23()27acControl Science and Engineering, HUST All Righ

23、ts Reserved, 2007, Luo Yunfeng 所以，非自由貿易會造成社會福利的損失。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應第九章第九章 子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng四

24、、工作競賽模型 當企業(yè)(或企業(yè)主)雇傭兩個(甚至可能為多個，這里只考慮兩個)工人為其工作，且企業(yè)不能直接觀察到工人的努力水平時，企業(yè)如何通過確定與工人產出水平相依的工資水平來誘使工人努力工作。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 由于企業(yè)主要通過在工人之間設置不同的工資水平來激勵工人努力工作，設置不同的工資水平實質上就是讓工人開展工作競賽，競賽獲勝者得到高工資，因而稱為工作競賽模型。 Control Science and Engineering, HUST All Rights

25、 Reserved, 2007, Luo Yunfeng 企業(yè)為激勵工人努力工作在他們中間開展工作競賽。 假設工作競賽的優(yōu)勝者獲得的工資為wH；失敗者獲得的工資為wL。工人i(i=1,2)所提供的努力水平為ei，在此努力水平下產出為 ，其中 是隨機擾動項。iiiyeiControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng以上所描述的問題可描述為企業(yè)與工人間的一個三人動態(tài)博弈問題：企業(yè)首先決定工資水平；(1) 兩個工人在觀測到工資水平后同時提供努力水平。Control Science and Eng

26、ineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 假設： (1) 隨機擾動項 和 相互獨立，并且都服從期望為0，密度函數為f()的概率分布； (2) 工人付出努力e水平給工人帶來的負效用g(e)(即工人提供努力的成本)，其中12( )0,( )0g eg eControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 工人付出努力e時的期望收益為： 企業(yè)的期望收益為 (, ) ( )HLu ww eE wg e12(, )()HLHLv ww e

27、E yywwControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 給定wH和wL的與每個工人i都將選擇 使自己的期望效用最大 而ie0argmax(, ,)iiiHLijeeu ww e e*(, ,)P( )()P( )()( )()P( )()( )iHLijHiijjLiijjiHLiijjLiu ww e ewy ey ewy ey eg ewwy ey ewg eControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 200

28、7, Luo Yunfeng 由最優(yōu)化一階條件可得*P( )()()( )iijjHLiiy ey ewwg ee(*)Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 給定博弈第二階段對稱的Nash均衡努力水平，企業(yè)的最優(yōu)化問題時首先要使兩個工人都愿意參加工作競賽，即 *11()22HLawwg eUControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 企業(yè)的最優(yōu)化問題便是在上述約束條件下選

29、擇工資水平wH和wL使自己的期望收益最大，由于企業(yè)的期望收益關于wH和wL遞減，因此在最優(yōu)化期望收益時企業(yè)必然會使上述約束的等式成立，即 *11()22HLawwg eUControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 假設上述等式決定的最優(yōu)努力水平為 此時企業(yè)的最優(yōu)化問題即為 (,)HLe ww(,)* 2(,)11. (,)22HLHLHLwwHLHLaMaxe wwwwstwwg e wwUControl Science and Engineering, HUST All Rights

30、 Reserved, 2007, Luo Yunfeng 求解上述最優(yōu)化問題即可得出企業(yè)的最優(yōu)工資水平wH和wL ，同時將其代入(*)式得到工人的最優(yōu)努力水平。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 通過報酬差距以及與報酬相聯系的競爭壓力，可以激勵那些行為不可觀察的員工。 合理設置獎金的差距很重要。差距太小，難以形成足夠的激勵；差距太大，又可能產生對贏取獎勵行為的過度激勵，使得團隊的合作行為被競爭行為取代。 Control Science and Engineering, HUST

31、 All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng主要內容：一、Stackelberg寡頭競爭模型二、Leontief勞資談判模型三、關稅與國際市場四、工作競賽模型五、投票次序效應第九章第九章 子博弈精煉子博弈精煉Nash均衡的應用均衡的應用 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng五、投票次序效應 公共政策的選擇都是按一定程序進行的。選擇程序不同，選擇結果就不同。但是，在某些情況下即使選擇程序相同，而選擇過程中方案的選擇次序(即議程)不同，也會造成選擇結

32、果的極大差異。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 這種由于議程的不同而造成的選擇結果的差異就是所謂的“次序效應”。在實際的公共政策選擇過程中，“次序效應”普遍存在。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 考察一個由甲、乙、丙三位成員組成的委員會準備對方案a，b，c進行投票選擇，設甲、乙、丙三人對方案的偏好分別為 abcbcacabControl Science a

33、nd Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 當委員會根據“簡單多數票法則”對方案進行選擇時，方案a以2：1勝方案b，方案b以2：1勝方案c，方案c以2：1勝方案a。這樣在選擇過程中就出現了所謂的“多數票循環(huán)”(亦稱“投票悖論”)。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 在實際決策中，為了避免人們在有分歧的問題上無休止地爭論，往往需要確定一套議事程序(或議事順序，簡稱議程)，使方案的選擇按預先確定的程序進行

34、。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 例如規(guī)定一個這樣的議程：先對方案a與b進行投票選擇，再對勝者和方案c進行選擇，此時的勝者才是最后的選擇結果。 (a,b,c)(a,c)(b,c)acbcControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 但是，在“多數票循環(huán)”存在的情況下，議程的差異往往會導致最后選擇結果的不同。 (b,c,a)(b,a)(c,a)baca(c,a,b)(c

35、,b)(a,b)cbabControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 上述由于議程的不同而造成的選擇結果的差異，稱之為“程序效應”(procedure effect)或“投票次序效應”(voting-order effect，簡稱“次序效應”) 。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 關于“投票次序效應”，一般認為：某一方案投入表決的次序越靠后，則該方案成為最后選擇結果的可

36、能性越大。 (b,c,a)(b,a)(c,a)baca(a,b,c)(a,c)(b,c)acbc(c,a,b)(c,b)(a,b)cbabControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 但是，上述結論是有條件的，它是在委員會中的各成員都根據自己的真實偏好進行投票的前提下得到的，也就是說，在投票過程中，對于每一輪投票各成員都是根據自己的偏好對方案進行選擇，不能出現違背自己偏好的情形。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reser

37、ved, 2007, Luo Yunfeng 在實際的表決過程中，追求自身利益最大化的各成員不可能絕對地根據自己的真實偏好進行投票，尤其是當各成員相互知道對方偏好的時候。Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 為了便于分析，不妨設委員會中各成員為完全理性的參與人，且各成員的偏好為共同知識。 Control Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 假設表決情形如下圖(a,b,c)(a,c

38、)(b,c)acbcControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 記N=1,2,n為委員會成員集，不失一般性，設n為奇數。 用A=a,b,c表示備選方案集； 表示成員i對方案集A中方案的排序。iControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 委員會N中成員i對方案集A的排序有六種，即 令 ,iiiiiiabcacbbac,iiiiiibcacabcba123, iiiiiiNi ab

39、cNi acbNi bac456, , iiiiiiNi bcaNi cabNi cbaControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 所以 其中 表示集合中元素個數。6611,iijiiiNNNNijNNn iNControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng 用 表示委員會根據過半數規(guī)則所得到的群的偏好，在“多數票循環(huán)”存在的情況下，不失一般性，設GGGGabcaControl Science and Engineering, HUST All Rights Reserved, 2007, Luo Yunfeng ，在第一輪對方案a與b進行的選擇中，成員i不會根據自己的真實偏好選擇方案a，而是選擇方案b。 ，在第一輪對方案a與b進行的選擇中，成員i選擇方案a。 ，在第一輪對方案a與b進行的選擇中，成員i選擇方案b。2iiiNi acb 1iiiNi abc 34,iiiiiNi baciNi bca Control Science and Engineerin