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1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討交流材料初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性探究性試題及解題策略隨著基礎(chǔ)教育課程改革和素質(zhì)教育的全面推進(jìn),近幾年在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中和各省、市的中考題中,出現(xiàn)了一批符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平、設(shè)計(jì)優(yōu)美、個(gè)性獨(dú)特的開(kāi)放題。開(kāi)放題打破傳統(tǒng)模式,構(gòu)思新穎,使人耳目一新。數(shù)學(xué)開(kāi)放題被認(rèn)為是當(dāng)前培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造能力的最富有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題,加大數(shù)學(xué)開(kāi)放題在中考命題中的力度,是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn),對(duì)發(fā)揮學(xué)生主體性方面確實(shí)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì),是培養(yǎng)學(xué)生主體意識(shí)的極好材料。一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概述1、關(guān)于數(shù)學(xué)開(kāi)放題的幾種論述:什么是數(shù)學(xué)開(kāi)放題,現(xiàn)在還沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí),主要有如下的論述:(1)答案不固定或者條件不
2、完備的習(xí)題,我們稱為開(kāi)放題;(2)開(kāi)放題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題;(3)有多處正確答案的問(wèn)題是開(kāi)放題。這類問(wèn)題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問(wèn)題的機(jī)會(huì),在解題過(guò)程中,學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合,學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合,去發(fā)現(xiàn)新的思想方法;(4)答案不唯一的問(wèn)題是開(kāi)放性的問(wèn)題;(5)具有多種不同的解法,或有多種可能的解答的問(wèn)題,稱之為開(kāi)放題;(6)問(wèn)題不必有解,答案不必唯一,條件可以多余,稱之為開(kāi)放題。數(shù)學(xué)開(kāi)放題,通俗地說(shuō)就是給學(xué)生以較大認(rèn)知空間的題目。EA DB C 圖1一個(gè)問(wèn)題是開(kāi)放還是封閉常常取決于提出問(wèn)題時(shí)學(xué)生的知識(shí)水平如何。例如:對(duì)
3、n個(gè)人兩兩握手共握多少次的問(wèn)題,在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識(shí)以前解法很多,是一個(gè)開(kāi)放題,在學(xué)習(xí)組合知識(shí)之后則是一個(gè)封閉題。2、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的基本類型:大概包括以下幾種:(1)條件開(kāi)放型這類問(wèn)題一般是由給定的結(jié)論,反思,探索應(yīng)具備的條件,而滿足結(jié)論的條件并不唯一A DC EB1 2例1、如圖1,要得到AD/BC,只需滿足條件(只填一個(gè))。再如:如圖2,AB=DB,1=2,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,使圖2ABCDBE,則需添加的條件是。(2)結(jié)論開(kāi)放型這類題目就是在給定的條件下,探索響應(yīng)的對(duì)象是否存在。它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情況。其基本解題方法是:假設(shè)存在,演繹推理,得出結(jié)論,從而對(duì)是否存在做出準(zhǔn)確的判斷
4、。DBCA例2、如圖,O的直徑AB為6,P為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作O的弦CD,連結(jié)AC、BC,設(shè)BCD=mACD,是否存在正實(shí)數(shù)m,使弦CD最短?如果存在,請(qǐng)求出m的值;如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。簡(jiǎn)析:假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m,使弦CD最短,則有CDAB于P,從而cosPOD=OP:OD, 因?yàn)?,AB=6,所以cosPOD=30。于是ACD=15,BCD=75,故m=5。(3)簡(jiǎn)略開(kāi)放型例3、計(jì)算:,學(xué)生可能出現(xiàn)以下幾種方法。方法1:直接通分,相加后再約分。方法2:原式=。方法3:原式=.方法1是常規(guī)方法;方法2體現(xiàn)的是一種化歸思想,但也不簡(jiǎn)單;方法3轉(zhuǎn)化為一些互為相反數(shù)的和來(lái)計(jì)算,顯然新穎、簡(jiǎn)便。此外,設(shè)
5、計(jì)開(kāi)放型、舉例開(kāi)放型、實(shí)踐開(kāi)放型、信息開(kāi)放型(限于篇幅不舉例子)。還有綜合開(kāi)放型、情境開(kāi)放型等。這些開(kāi)放題的條件、問(wèn)題變化不定,有的條件隱蔽多余,有的結(jié)論多樣,有的解法豐富等。二、開(kāi)放題具有不同于封閉題的顯著特點(diǎn)(1)數(shù)學(xué)開(kāi)放題內(nèi)容具有新穎性,條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、無(wú)現(xiàn)成模式可套用。題材廣泛,貼近學(xué)生實(shí)際生活,不像封閉性題型那樣簡(jiǎn)單,靠記憶、套模式來(lái)解題。(2)數(shù)學(xué)開(kāi)放題形式具有多樣性、生動(dòng)性,有的追溯多種條件,有的追溯多種條件,有的探求多種結(jié)論,有的尋找多種解法,有的由變求變,體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息,不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。(3)數(shù)學(xué)開(kāi)放題解決具有發(fā)散性,由于開(kāi)放題的答案
6、不唯一,解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法,通過(guò)多角度的觀察、想像、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法,同時(shí)探求多個(gè)解決方向。(4)數(shù)學(xué)開(kāi)放題教育功能具有創(chuàng)新性,正是因?yàn)樗倪@種先進(jìn)而高效的教育功能,適應(yīng)了當(dāng)前各國(guó)人才競(jìng)爭(zhēng)的要求。三、開(kāi)放探索性試題備考策略:(一)數(shù)與式的開(kāi)放題此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn),解題要求能善于觀察分析,歸納所提供的材料,猜想其結(jié)論。例題:觀察下列等式:9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律,設(shè)n表示自然數(shù),用關(guān)于n的等式表示出來(lái): 。策略小結(jié):此類“猜想性”開(kāi)放題要求能夠從所給條件出發(fā),通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸
7、納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律,解題的關(guān)鍵在于正確的歸納和猜想。(二)方程開(kāi)放題此類問(wèn)題主要以方程知識(shí)為背景,探索方程有解的條件或某種條件解的情況,求字母參數(shù)的值。例題:是否存在k,使關(guān)于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,滿足|x1-x2|=10如果存在,試求出所有滿足條件的k的值;若不存在,說(shuō)明理由。策略小結(jié):此類“存在性”開(kāi)放題,其解題的一般思路是先假定滿足條件的結(jié)果存在,再依據(jù)有關(guān)知識(shí)推理,要么得到下面結(jié)果,肯定存在性;要么導(dǎo)出矛盾,否定存在性。(三)函數(shù)開(kāi)放題xyO-1此類題是以函數(shù)知識(shí)為背景,設(shè)置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關(guān)系,滿足某條件的點(diǎn)
8、的存在性等。例題:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像如圖所示,問(wèn)由此圖像中所顯示的拋物線的特征,可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的哪些關(guān)系和結(jié)論。分析:a0;即2a+3b=0;c= -1;策略小結(jié):此類“圖像信息”開(kāi)放題,只有認(rèn)真觀察圖像上所給出的各個(gè)數(shù)據(jù)及位置特征,靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì),才能找出所有的關(guān)系與結(jié)論,數(shù)形結(jié)合是解此類題的重要數(shù)學(xué)思想方法。(四)幾何開(kāi)放題此類問(wèn)題常以幾何圖形為背景,設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點(diǎn)、線位置關(guān)系DOAF B COA DE B CF例題:如圖1,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,A是弧BD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E。(1)求證:ABDA
9、=CDBE(2)若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A在弧BD上運(yùn)動(dòng),使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變,問(wèn)具備什么條件使原結(jié)論成立?(要求畫出示意圖2注明條件,不要求證明)分析:此題第(2)小題是一道條件探索性問(wèn)題。其解法是“執(zhí)果索因”,要得到ABDA=CDBE,即要得ABECDA,已有條件ABE=CDA,還需增加條件:BAE=ACD,或BF=AD,或BF=DA,或FABD,或BCF=ACD等。策略小結(jié):此類探索性試題,解答一般方法是“執(zhí)果索因”,能畫出圖形要盡量畫出圖形,再結(jié)合圖形逆向推導(dǎo)探索出需要增加的條件,為探索結(jié)論,可以作輔助線,對(duì)于結(jié)論未定的問(wèn)題,也可反面思考,尋求否定結(jié)論的反例,達(dá)到
10、目的。(五)綜合性開(kāi)放題此類問(wèn)題是以幾何、代數(shù)綜合知識(shí)為背景,考查分析,推理能力,綜合運(yùn)用知識(shí)解題能力。例題:如圖,在ABC中,AB=BC=2,高BE=3,在BC邊的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,使CD=3。(1)現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P,由A沿AB移動(dòng),設(shè)AP=t,SPCD=S,求S與t之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍;(2)在(1)的條件下,當(dāng)t=時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CHPD垂足為H;求證:關(guān)于x的二次函數(shù)y= -x+2-(10k)x+2k的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(3)在(1)的條件下,是否存在正實(shí)數(shù)t,使PD邊上的高CH=CD,如果存在,請(qǐng)求出t的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。分析:(1)(2)略。(4)假設(shè)存
11、在實(shí)數(shù)根t,使得CH=CD,則CDH=30可推得BPD=90,則BP=BD=2.5AB,這與P在AB邊上矛盾,故這樣的P點(diǎn)不存在。策略小結(jié):此類綜合性開(kāi)放題,需要學(xué)生綜合題設(shè)條件,通過(guò)觀察,比較、聯(lián)想、猜測(cè)、推理、判斷等探索活動(dòng)逐步得到結(jié)論,有時(shí)需分析運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程,尋找變化中的特殊位置,即“動(dòng)”中求“靜”、“一般”中見(jiàn)“特殊”,再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件,利用分類討論思想,各個(gè)擊破。常見(jiàn)的開(kāi)放題舉例:例1:在多項(xiàng)式4x2+1中添加一個(gè)條件,使其成為一個(gè)完全平方式,則添加的單項(xiàng)式是(只寫出一個(gè)即可)。分析:要使多項(xiàng)式4x2+1成為一個(gè)完全平方式,可添加一次項(xiàng),也可添加二次項(xiàng),還可添加常數(shù)項(xiàng)。解
12、:(1)添加4x可得完全平方式(2x+1)2 (2)添加-4x可得完全平方式(2x-1)2(3)添加-1可得完全平方式(2x)2 (4)添加-4x2可得完全平方式12例2:已知反比例函數(shù),其圖象在第一、第三象限內(nèi),則k的值可為(寫出滿足條件的一個(gè)k的值即可)分析:對(duì)于反比例函數(shù)(是常數(shù),0)。當(dāng)它的圖象在第一、第三象限時(shí)有0,所以本題中應(yīng)該是-20,即2。解:-20 2 即只要的值大于2就可以滿足題目要求。例3:已知:ABC內(nèi)接于O,過(guò)點(diǎn)A作直線EF,如圖,AB為直徑,要使得EF是O的切線,還需添加的條件是:(只須寫出三種情況) (1)(2)(3)分析:根據(jù)題目所給條件,要使得EF是O的切線,
13、關(guān)鍵是找到ABEF的條件即可解決問(wèn)題。解:(1)CAE=B (2)ABEF (3)BAC+CAE=90 (4)C=FAB (5)EAB=BAF例4:已知一元二次方程有一個(gè)根為1,那么這個(gè)方程可以是(只需寫出一個(gè)方程)分析:如果一元二次方程有解,則有兩個(gè)解,題目給出方程有一個(gè)根為1,我們可以將此一元二次方程寫成(x-1)(x+a)=0的形式,則問(wèn)題可以解決。例5:有這樣一個(gè)分式,字母x的取值范圍是x-2,若分子為x+1,你能寫出一個(gè)符合上面條件的分式嗎?分析:由題目給出的已知條件x-2知此分式分母中x的取值不能為-2,否則分式會(huì)無(wú)意義。解:滿足條件的分式可以是:、教材例習(xí)題改編與開(kāi)放探索試題舉例
14、:1、八年級(jí)四邊形一章曾有一道經(jīng)典題,多年來(lái)多次被各個(gè)省市搬上中考試卷,關(guān)于它的變式也相當(dāng)?shù)亩?,題目是這樣的“兩個(gè)相同的正方形如圖疊合,其邊長(zhǎng)為4,請(qǐng)問(wèn)陰影部分的面積為多少?”圖1 圖2 圖3 圖4圖5 圖6 2、(九年級(jí)教材)已知:如圖,AB為O直徑,C、D是半圓弧上的兩點(diǎn),E是AB上除O外的一點(diǎn),AC與DE交于點(diǎn)F,AD=CD,DEABAF=DFCDB O E A(1)寫出以中的任意兩個(gè)條件,推出第三個(gè)(結(jié)論)的一個(gè)正確命題,并加以證明。(2)“以”中的任意兩個(gè)為條件,推出第三個(gè)(結(jié)論)的一個(gè)正確命題,并加以證明。答案:可以組成3組正確的命題,即若則,若則,若則。3、典型范例重開(kāi)放:體現(xiàn)師生解題智慧。(例如基本題)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上,BD=OB,點(diǎn)C在O上,CAB=30,求證:DC是O的切線。探究1:如圖,已知弦AB與半徑相等,連接OB,并延長(zhǎng)使BC=OB。(1)問(wèn)AC是O有什么關(guān)系,并證明你的結(jié)論。(2)請(qǐng)你在O上找出一點(diǎn)D,使AD=AC。(自己完成作圖,并證明你的結(jié)論) 探究2:如圖,O的直徑AB=6cm,P是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作O的切線,切點(diǎn)為C,連接AC。(1)若CPA=30,求PC的長(zhǎng);(2)若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),CPA平分線交AC于點(diǎn)M,你認(rèn)為CMP的大小是否發(fā)生變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由:
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