中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題

1、一、圓的綜合 真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1已知ABCD的周長為26，ABC=120°，BD為一條對角線，O內(nèi)切于ABD，E，F(xiàn)，G為切點，已知O的半徑為求ABCD的面積【答案】20 【解析】【分析】首先利用三邊及O的半徑表示出平行四邊形的面積，再根據(jù)題意求出AB+AD=13，然后利用切線的性質(zhì)求出BD的長即可解答.【詳解】設(shè)O分別切ABD的邊AD、AB、BD于點G、E、F；平行四邊形ABCD的面積為S；則S=2SABD=2×(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=（AB+AD+BD）；平行四邊形ABCD的周長為26，AB+AD=13，S

2、=(13+BD)；連接OA；由題意得：OAE=30°，AG=AE=3；同理可證DF=DG，BF=BE；DF+BF=DG+BE=1333=7，即BD=7，S=（13+7）=20即平行四邊形ABCD的面積為202四邊形 ABCD 的對角線交于點 E，且 AEEC，BEED，以 AD 為直徑的半圓過點 E，圓心 為 O（1）如圖，求證：四邊形 ABCD 為菱形；（2）如圖，若 BC 的延長線與半圓相切于點 F，且直徑 AD6，求弧AE 的長【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再判斷出ACBD即可得出結(jié)論；（2）先判斷出AD=DC且DEAC

3、，ADE=CDE，進而得出CDA=30°，最后用弧長公式即可得出結(jié)論試題解析：證明：（1）四邊形ABCD的對角線交于點E，且AE=EC，BE=ED，四邊形ABCD是平行四邊形以AD為直徑的半圓過點E，AED=90°，即有ACBD，四邊形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四邊形ABCD 是菱形，ADC為等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如圖2，過點C作CGAD，垂足為G，連接FOBF切圓O于點F，OFAD，且，易知，四邊形CGOF為矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30°，ADE=15°連接OE，則

4、AOE=2×ADE=30°，點睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運用是解題的關(guān)鍵3如圖，在O中，直徑AB弦CD于點E，連接AC，BC，點F是BA延長線上的一點，且FCAB.(1)求證：CF是O的切線；(2)若AE4，tanACD，求FC的長【答案】（1）見解析【解析】分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OCF=90°，進而得出答案；（2）根據(jù)正切的性質(zhì)求出EC的長，然后利用垂徑定理求出圓的半徑，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出即可詳解：(1)證明：連接OC.AB是O的直徑，ACB9

5、0°，OCBACO90°.OBOC，BOCB.又FCAB，F(xiàn)CAOCB，F(xiàn)CAACO90°，即FCO90°，F(xiàn)COC，F(xiàn)C是O切線(2)解：ABCD，AEC90°，EC=，設(shè)OAOCr，則OEOAAEr4.在RtOEC中，OC2OE2CE2，即r2(r4)2(4)2，解得r8.OEr44AE.CEOA，CACO8，AOC是等邊三角形，F(xiàn)OC60°，F(xiàn)30°.在RtFOC中，OCF90°，OC8，F(xiàn)30°，OF2OC16，F(xiàn)C.點睛：此題主要考查了切線的判定、垂徑定理的推論以及勾股定理等知識，得出BC的長是

6、解題關(guān)鍵4已知：AB是0直徑,C是0外一點,連接BC交0于點D，BD=CD,連接AD、AC(1)如圖1,求證:BAD=CAD(2)如圖2,過點C作CFAB于點F,交0于點E,延長CF交0于點G.過點作EHAG于點H，交AB于點K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下,EH交AD于點L,若0K=1,AC=CG,求線段AL的長. 圖1 圖2 圖3【答案】(1)見解析(2)見解析(3) 【解析】試題分析：（1）由直徑所對的圓周角等于90°，得到ADB=90°，再證明ABDACD即可得到結(jié)論；（2）連接BE由同弧所對的圓周角相等，得到GAB=BEG再證KFEBFE，得到

7、BF=KF=BK由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到結(jié)論（3）連接CO并延長交AG于點M，連接BG設(shè)GAB=先證CM垂直平分AG，得到AM=GM，AGC+GCM=90°再證GAF=GCM =通過證明AGBCMG，得到BG=GM=AG再證明BGC=MCG=設(shè)BF=KF=a， GF=2a，AF=4a由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF= 3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，F(xiàn)C的值由tan=tanHAK=， AK=6，可以求出 AH的長再由 ，利用公式tanGAD=，得到GAD=45°，則AL=AH，即可得到結(jié)論試題解析：

8、解：（1）AB為O的直徑，ADB=90°，ADC=90°BD=CD，BDA=CDA，AD=AD，ABDACD，BAD=CAD（2）連接BEBG=BG ，GAB=BEGCFAB，KFE=90°EHAG，AHE=KFE=90°，AKH=EKF，HAK=KEF=BEFFE=FE，KFE=BFE=90°，KFEBFE，BF=KF=BK OF=OB-BF，AK=AB-BK，AK=2OF （3）連接CO并延長交AG于點M，連接BG設(shè)GAB=AC=CG， 點C在AG的垂直平分線上 OA=OG，點O在AG的垂直平分線上，CM垂直平分AG，AM=GM，AGC+G

9、CM=90°AFCG，AGC +GAF =90°，GAF=GCM =AB為O的直徑，AGB= 90°，AGB=CMG=90°AB=AC=CG ，AGBCMG，BG=GM=AG在RtAGB中， AMC=AGB= 90°，BGCM， BGC=MCG=設(shè)BF=KF=a， ，GF=2a， ，AF=4aOK=1，OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，3a+2=4a，a=2， AK=6，AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，F(xiàn)C=CG-GF=6tan=tanHAK=，設(shè)KH=m，則AH=2

10、m，AK=6，解得：m=，AH=2m=在RtBFC中， BAD+ABD=90°， FBC+BCF=90°，BCF=BAD， ，tanGAD=，GAD=45°，HL=AH，AL=AH= 5如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是直徑，O的切線PC交BA的延長線于點P，OFBC交AC于點E，交PC于點F，連結(jié)AF(1)判斷AF與O的位置關(guān)系并說明理由；(2)若AC24，AF15，求sinB【答案】(1) AF與O相切 理由見解析；（2）【解析】試題分析：（1）連接OC，先證OCF=90°，再證明OAFOCF，得出OAF=OCF=90°即可；（2）先求出AE、E

11、F，再證明OAEAFE，得出比例式，可求出半徑，進而求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論試題解析：解：（1）AF與O相切理由如下：連接OC如圖所示PC是O的切線，OCPC，OCF=90°OFBC，B=AOF，OCB=COFOB=OC，B=OCB，AOF=COF在OAF和OCF中，OA=OC，AOF=COF，OF=OF，OAFOCF（SAS），OAF=OCF=90°，AF與O相切；（2）OAFOCF，OAE=COE，OEAC，AE=AC=12，EF=OAF=90°，OAEAFE，即，OA=20，AB=40，sinB=點睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判

12、定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵6定義：數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”.理解：如圖，已知是上兩點，請在圓上找出滿足條件的點，使為“智慧三角形”（畫出點的位置，保留作圖痕跡）；如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，且，試判斷是否為“智慧三角形”，并說明理由；運用：如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為，點是直線上的一點，若在上存在一點，使得為“智慧三角形”，當其面積取得最小值時，直接寫出此時點的坐標.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）P的坐標（，），（，）【解析】試

13、題分析：（1）連結(jié)AO并且延長交圓于C1，連結(jié)BO并且延長交圓于C2，即可求解；（2）設(shè)正方形的邊長為4a，表示出DF=CF以及EC、BE的長，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根據(jù)勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得AEF為“智慧三角形”；（3）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點P的橫坐標，再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標，從而求解試題解析：（1）如圖1所示：（2）AE

14、F是否為“智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a，E是DC的中點，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，F(xiàn)C=a，BF=4aa=3a，在RtADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜邊AF上的中線等于AF的一半，AEF為“智慧三角形”；（3）如圖3所示：由“智慧三角形”的定義可得OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，由勾股定理可得PQ=，

15、PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故點P的坐標（，），（，）考點：圓的綜合題7如圖，已知：AB是O的直徑，點C在O上，CD是O的切線，ADCD于點D，E是AB延長線上一點，CE交O于點F，連接OC、AC（1）求證：AC平分DAO（2）若DAO=105°，E=30°求OCE的度數(shù)；若O的半徑為2，求線段EF的長【答案】（1）證明見解析；（2）OCE=45°；EF =-2.【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與O相切的性質(zhì)，得OCCD. 又因為ADCD，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD/OC. DAC=OCA.又因

16、為OC=OA，根據(jù)等邊對等角，得OAC=OCA.等量代換得：DAC=OAC.根據(jù)角平分線的定義得：AC平分DAO.（2）因為 AD/OC，DAO=105°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，EOC=DAO=105°，在 中，E=30°，利用內(nèi)角和定理，得：OCE=45°. 作OGCE于點G，根據(jù)垂徑定理可得FG=CG， 因為OC=，OCE=45°.等腰直角三角形的斜邊是腰長的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在RtOGE中，E=30°，得GE=， 則EF=GE-FG=-2.【試題解析】（1）直線與O相切，OCCD. 又ADCD，AD/O

17、C. DAC=OCA.又OC=OA，OAC=OCA.DAC=OAC.AC平分DAO.（2）解：AD/OC，DAO=105°，EOC=DAO=105°E=30°，OCE=45°. 作OGCE于點G，可得FG=CG OC=，OCE=45°.CG=OG=2.FG=2. 在RtOGE中，E=30°，GE=.EF=GE-FG=-2.【方法點睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.8在RtABC中，BAC=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，若等腰R

18、tADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0<180°)，記直線BD1與CE1的交點為P.（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，當=90°時，線段BD1的長等于_，線段CE1的長等于_.（2）探究證明如圖2，當=135°時，求證：BD1=CE1，且BD1CE1.（3）問題解決求點P到AB所在直線的距離的最大值.（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）25；25；（2）詳見解析；（3）1+3【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長和CE1的長；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，D1AB=E1AC=135°，進而求出D1ABE1A

19、C（SAS），即可得出答案；（3）首先作PGAB，交AB所在直線于點G，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當BD1所在直線與A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，此時四邊形AD1PE1是正方形，進而求出PG的長【詳解】（1）解：A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，AE=AD=2，等腰RtADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180°），當=90°時，AE1=2，E1AE=90°，BD1=42+22=25,E1C=42+22=25；故答案為：25；25；（2）證明：由題意可知，A

20、B=AC=4，AD=AE=2，RtAD1E1是由RtADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°得到，AD1=AE，CAE1=D1AB=135°，在D1AB和E1AC中，AD1=AE1D1AB=E1ACAB=AC，D1ABE1AC(SAS)，BD1=CE1，E1CA=D1BA.CAB=90°，CPB=CAB=90°，BD1CE1，BD1=CE1，且BD1CE1.（3）點D的運動軌跡是在A的上半圓周，點P的運動軌跡是在O的弧AP段.即當BD1與A相切時，PG有最大值.點P到AB所在直線的距離的最大值為1+3.【點睛】此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股

21、定理以及切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出PG的最長時P點的位置是解題關(guān)鍵9如圖，已知AB是O的直徑，BC是弦，弦BD平分ABC交AC于F，弦DEAB于H，交AC于G求證：AGGD；當ABC滿足什么條件時，DFG是等邊三角形？若AB10，sinABD，求BC的長【答案】（1）證明見解析；（2）當ABC60°時，DFG是等邊三角形理由見解析；（3）BC的長為【解析】【分析】（1）首先連接AD，由DEAB，AB是的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得到，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得ADEABD，又由弦BD平分ABC，可得DBCABD，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AG=GD

22、；（2）當ABC=60°時，DFG是等邊三角形，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質(zhì)，易求得DGF=DFG=60°，即可證得結(jié)論；（3）利用三角函數(shù)先求出tanABD，cosABD，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【詳解】（1）證明：連接AD，DEAB，AB是O的直徑，ADEABD，弦BD平分ABC，DBCABD，DBCDAC，ADEDAC，AGGD；（2）解：當ABC60°時，DFG是等邊三角形理由：弦BD平分ABC，DBCABD30°，AB是O的直徑，ACB90°，CAB90°ABC30°，DFGFAB+DBA60°，DEAB，DGFAGH90°CAB60°，DGF是等邊三角形；（3）解：AB是O的直徑，ADBACB90°，DACDBCABD，AB10，sinABD，在RtABD中，ADABsinABD6，BD8，tanABD，cosABD，在RtADF中，DFADtanDAFADtanABD6