均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用目 錄摘要IAbstract II第一章 緒論11.1 引言1第二章 均值不等式12.1 均值不等式代數(shù)背景12.2 均值不等式幾何背景12.3 均值不等式及其變形3第三章 求解最值問題43.1 求解函數(shù)最值43.1.1 拼湊法求解函數(shù)最值43.1.2 分離法求解函數(shù)最值63.1.3 整體代換的方法求函數(shù)最值63.1.4 換元法求最值73.1.5 取平方83.1.6 參數(shù)法83.2 求參數(shù)最值93.3 生活中的最優(yōu)化問題103.4 幾何中的最值問題12第四章 比較大小134.1 分析法134.2 放縮法14第五章 證明不等式145.1 拆項(xiàng)法155.2 分析法155

2、.3 添項(xiàng)法155.4 綜合法165.5 比較法17結(jié)束語17參考文獻(xiàn)18致謝19均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)生：唐沁 指導(dǎo)老師:鄭鳳霞摘要：均值不等式屬于高二教材教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)部分，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有一席之地，是數(shù)學(xué)學(xué)科在初級(jí)甚至于高級(jí)階段應(yīng)用范圍比較大的一類重要的不等式，理解它比較容易，但能夠靈活運(yùn)用它解決問題卻是有些難度的，需要深刻體會(huì)均值不等式的含義，抓住關(guān)鍵的題型，掌握相關(guān)技巧，若能在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候引入它，對(duì)于解決某些問題是一個(gè)很好的輔助工具，可達(dá)到事半功倍的效果，使其具有研究的重大意義。本文就均值不等式的證明過程，歷史起源，以及在中學(xué)數(shù)學(xué)各種題型中的應(yīng)用進(jìn)行舉例說明，并進(jìn)行歸納總結(jié)。關(guān)

3、鍵詞：技巧; 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用; 均值不等式；APPLICATION OF MEAN VALUE INEQUALITYIN MATHEMATICS TEACHING IN HIGH SCH00LStudent: Tang Qin Instructor: Zheng FengxiaAbstract the average value inequalityis ateaching contentin high school textbooks,andin the middle school it plays an important role. In primary or even the advan

4、ced stage, the average value inequality is widely applied over large range. It is easy for us to understand, but hard to flexibly put it into practice to solve problems. So we ought to profoundly comprehend the meaning of the average value inequality,master the classic topics and acquire the related

5、 skills. The average value inequality would be a good assist, if it is introduced at the proper time, which can make us achieve a double effect with half effort. Hence, the research has a great significance. This paper presents the process of the average value inequality, historical origins, give ex

6、amples about all kinds of topics in middle schools, and finally make a conclusion.Keywords: skill; the middle school mathematics application; mean inequality;I第一章 緒論1.1 引言我們知道等量關(guān)系是自然界中所存在的一種基本數(shù)量關(guān)系，事實(shí)上還存在著大量的不等量關(guān)系，是與現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的方方面面緊密聯(lián)系著的，不等式在一定程度上描述了不等量關(guān)系，不僅研究數(shù)的不等關(guān)系，而且在數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等方面都有所涉及，給各類實(shí)際問題的解決

7、提供了途徑，因此，不等式的學(xué)習(xí)是有其必要性的。均值不等式作為不等式的一個(gè)重要組成部分，包括著等價(jià)和非等價(jià)關(guān)系，應(yīng)該有自己的理解，雖然在新的課程改革下，下降了均值不等式的一部分，但作為在數(shù)學(xué)科目中應(yīng)用較為廣泛的一類不等式，利用均值不等式求解仍是高考易考查的，在均值不等式的推導(dǎo)過程中，我們不但看到了它代數(shù)背景，同時(shí)也看到了它的幾何背景，結(jié)合了數(shù)量的發(fā)展和行的思想，但在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旌妥儞Q，達(dá)到解決問題的目的，因此在運(yùn)用均值不等式進(jìn)行操作時(shí)得注意以下幾點(diǎn)：（1）注意運(yùn)用不等式的條件；（2）注意公式的逆用和變用；（3）注意應(yīng)用過程中的變形.在本文中，以均值不等式在求最值，比較大小，證明

8、不等式，解決實(shí)際問題為例。第二章 均值不等式2.1 均值不等式代數(shù)背景利用不等式的性質(zhì)，直接導(dǎo)出 2.2 均值不等式幾何背景第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，抽象出會(huì)標(biāo)圖形（如圖1），再由圖形中的相關(guān)面積間所存在的數(shù)量關(guān)系，易得出不等式，進(jìn)而從三種不同的角度來認(rèn)識(shí)和理解均值不等； （圖1）在上圖中有4個(gè)全等的直角三角形，可設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為，則4個(gè)直角三角形的面積和為，由勾股定理可得出正方形的邊長是，那么正方形的面積就為。從圖形觀察出4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形ABCD的面積，則得到了一個(gè)不等式。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí)，也即是時(shí)，正方形EFGH所為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。

9、（1） 當(dāng)時(shí)，在不等式中，以分別代替,得到；（2） 在初中階段就已熟知的幾何圖形中，通過數(shù)形結(jié)合，賦予不等式幾何直觀，從幾何角度看不等式，明白成立條件，以及什么時(shí)候能取等號(hào)；（3） 在不等式的證明過程中，以填空形式突出體現(xiàn)了證明的關(guān)鍵步驟，加大證明不等式的探究力度。通過實(shí)際問題分析該不等式的使用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。如下圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。 (圖2)容易看出圓的半徑等于，利用三角形ACD與三角形DCB相似，得，即（圖中的），從圖中易知，即。2.3均值不等式及其變形均值不等式（本文主要借助算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

10、大小關(guān)系來解決問題，并且以二維形式和三維形式出現(xiàn)）及其變形的形式化寫法為：（1）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）（2）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）（3）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）（4）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）（5）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）（6）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”）（7）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”）（8）；（a,b同號(hào)且不為0）說明：（1）第一個(gè)式子稱為均值不等式或基本不等式，第三式稱為重要不等式。（2）我們稱為算數(shù)平均數(shù)，為幾何平均數(shù)，因此該不等式用文字語言描述為兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是等價(jià)。從均值不

11、等式還可觀察出：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們積的最大值，正所謂“積定和最小，和定積最大”。但應(yīng)注意:（1）使用均值不等式的前提條件：函數(shù)式中的各項(xiàng)都必須是正數(shù)，在各項(xiàng)是異號(hào)時(shí)不能用均值不等式，在各項(xiàng)均為負(fù)號(hào)時(shí)可以用過提取負(fù)號(hào)，把各項(xiàng)都轉(zhuǎn)化為正號(hào)，進(jìn)而再運(yùn)用均值不等式；（2）在一些不能一眼就能看出可用均值不等式解決的題型里，可通過加減的方式湊成能夠使用幾何平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的形式；（3）當(dāng)題目中出現(xiàn)關(guān)于“1”的等式時(shí)，注意“1”的代換；等號(hào)是否能取到，只有等號(hào)成立時(shí)，才能使函數(shù)式取到最大值或最小值，否則不能運(yùn)用均值不等式求最值，只能用函數(shù)的單調(diào)

12、性求最值。綜上：可得到運(yùn)用均值不等式的口訣:一正二定三相等。第三章 求解最值問題3.1求解函數(shù)最值利用均值不等式求函數(shù)最值的題型是高考的熱門考點(diǎn)之一，通過分析均值不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,提供了求函數(shù)最值新的方法,給函數(shù)最值求解注入了新鮮的血液,但在用均值不等式時(shí)的先決條件“一正二定三相等”，有時(shí)在解題過程中是需要拼湊，分離，代換等多種手段實(shí)現(xiàn)的，所以掌握一定的求函數(shù)最值的技巧是必要的。 3.1.1 拼湊法求解函數(shù)最值例3.1.1.1求函數(shù)的最大值。解：由可知，進(jìn)而可用均值不等式得，因此有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值8。評(píng)注：對(duì)于該小題，可以用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，不過

13、，通過巧妙地為函數(shù)湊上一個(gè)系數(shù)，使得的和為定值，進(jìn)而運(yùn)用均值不等式，更簡便地求出函數(shù)最值。例3.1.1.2 求函數(shù)的最大值。解：注意到，同時(shí)，是能夠拼湊成。因此可用均值不等式進(jìn)行求解當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最大值0。例3.1.1.3 求函數(shù)的最小值。解：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以原函數(shù)的最小值為8。評(píng)注：求目標(biāo)和的最值時(shí)，關(guān)鍵是湊到定積，使得含變量的因式的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào)，進(jìn)而化難為易，解決問題。例3.1.1.4 設(shè),則的最小值? 解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如取時(shí)就滿足所以原式的最小值為4。 3.1.2 分離法求解函數(shù)最值例3.1.2.1求出函數(shù)的最小值，其中。解：因?yàn)?/p>

14、，所以，將函數(shù)進(jìn)行分拆可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最小值。評(píng)注：本小題看似無法運(yùn)用均值不等式解答，但對(duì)于這樣分式類型的函數(shù)，可以先通過對(duì)分子進(jìn)行配方，出現(xiàn)分母的項(xiàng)，然后分拆，即化為,且是恒正或恒負(fù)的形式，這樣就能用均值不等式，求出函數(shù)最值。 3.1.3整體代換的方法求函數(shù)最值例3.1.3.1 已知，并且，求二元函數(shù)的最小值？解：由題意可得：，又因?yàn)椋芍?，結(jié)合式知：， 式左邊依據(jù)均值不等式得：所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，再結(jié)合可知當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)取到最小值。評(píng)注：本小題巧妙地利用數(shù)字9進(jìn)行整體代換，進(jìn)而建立等式，聯(lián)系均值不等式求出二元函數(shù)的最值. 3.1.4 換元法求最值例3.1

15、.4.1求的最大值。解：通過換元可得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，根據(jù)均值不等式得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)。綜上當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：通過換元的技巧，把原先看起復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)換成分式型求函數(shù)最值問題，觀察積為定值，為能用均值不等式創(chuàng)造有利條件。例3.1.4.2 求函數(shù)的值域。解：由上式形式可令，則=因?yàn)椋墙獾貌辉趨^(qū)間，所以等號(hào)不能取到，得從單調(diào)性方向考慮，又因?yàn)闉閷?duì)勾函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此在其子區(qū)間上也是單調(diào)遞增的，故，所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤Ｔu(píng)注：切莫忽略利用均值不等式求最值時(shí)相等這一條件，若遇到等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。 3.1.5 取平方例3.1.5.1求（）的最大值。解：觀察到兩個(gè)根號(hào)

16、里面的式子的和為定值，因此又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故評(píng)注：本小題將式子兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式求解做下鋪墊。結(jié)語：均值不等式形式多樣，在有些題中可直接套用，但對(duì)于一些求函數(shù)最值的題中，必須觀察題目中已知條件的特點(diǎn)以及注意“一正二定相等”的條件，需對(duì)原式子進(jìn)行巧妙變形后，才能用均值不等式解決，并且應(yīng)該注意一題多法，多法結(jié)合，這樣才能熟練掌握變形技巧，更加簡便地求解。 3.1.6 參數(shù)法例3.1.6.1 設(shè)，則的最大值?解：令，則 當(dāng)，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值。例3.1.6.2 求（）的最小值。解：如果根據(jù)均值不等式，當(dāng)，即時(shí)才取得等號(hào)，但對(duì)于正弦函數(shù)，它的范圍是，所以該題

17、的等號(hào)是取不到的。設(shè)，則，這是一個(gè)對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，所以原式最小值為5。評(píng)注：忽視了等號(hào)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)用均值不等式求最值的典型例題，這時(shí)得用相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解決了。3.2 求參數(shù)最值例3.2.1已知且，若不等式是恒成立的，求實(shí)數(shù)的最大值?解：根據(jù)題意可令，又因?yàn)?，所以，由上式可得，?，左邊式子可利用均值不等式的，即，所以最后求出最大值是16.評(píng)注：靈活的運(yùn)用關(guān)于“1”的恒等式以及不等式恒成立。例3.2.2若對(duì)任意的，是恒成立的，則的最小值是?解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)所以原分式的最大值是，則的最小值是。評(píng)注：聯(lián)系到不等式恒成立，再通過把分式的分子與分母同時(shí)除以，得到

18、能用均值不等式所能解決的問題。例3.2.3若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值是?解：要使恒成立，即使恒成立，因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故。評(píng)注：關(guān)于求解恒成立的問題的方法較多，本小題利用的是分離變量法，再結(jié)合均值不等式進(jìn)行放縮，從而求得實(shí)數(shù)的最小值。3.3 生活中的最優(yōu)化問題均值不等式在解決現(xiàn)實(shí)生活最優(yōu)化問題中也有著較為廣泛的應(yīng)用，要解決它，就需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)模型就常用到不等式的知識(shí)，尤其是均值不等式，如果能夠把均值不等式與實(shí)際問題恰當(dāng)?shù)芈?lián)系起來，對(duì)于某些問題也就能迎刃而解了，在用均值不等式解答問題時(shí)可遵循以下步驟：閱讀題目，理解題意，設(shè)合適的變量（比如設(shè)變量時(shí)一般把要

19、求最值的變量定為函數(shù)）；根據(jù)題意建立起相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最大值或最小值問題，從數(shù)學(xué)角度解決；注意函數(shù)的定義域以及前提條件；利用均值不等式求出函數(shù)的最值，寫出正確答案。例3.3.1某工廠用木料制作如下圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為（單位：）的長方形，上部是等腰直角三角形。規(guī)定框架所圍成的總面積是8,求分別為多少時(shí)所要材料最少?解：根據(jù)題意可知把x,y分離開得：，其中（）當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，此時(shí)；則故當(dāng)x約為2.343，y約為2.828時(shí)用料最少。例3.3.2某水利電站有一廢棄的堤壩，就堤壩總長12,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地方重建堤壩，平面圖形為矩形，面積是112，估計(jì)（1）修

20、復(fù)1m舊堤壩的費(fèi)用是建造1新堤壩費(fèi)用的25%；（2）拆去1舊堤壩用以改造建成1新堤壩的費(fèi)用是建1新堤壩的50%；（3）為了預(yù)防洪水，需在堤壩的適當(dāng)處留出1的缺口。試問：這里建造的新堤壩應(yīng)怎樣利用留下來的舊堤壩，才能讓所需費(fèi)用最少?解：由題意要想費(fèi)用最少，得使舊堤壩全部利用起來，并把缺口留在新堤壩處最好，設(shè)修復(fù)成新堤壩的舊堤壩為,則拆改成新堤壩的舊堤壩為所以還需要建造新堤壩的長是再設(shè)建造1新堤壩需用元，建造堤壩的總造價(jià)為元?jiǎng)t當(dāng)且僅當(dāng)，也即是時(shí)取等號(hào)故拆除改造舊堤壩為米時(shí)，總造價(jià)最少。例3.3.3 某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋儲(chǔ)水池，其容積為4800，深為3,如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁

21、每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?分析：水池是長方體形，高是3,地面的長與寬沒有確定。如果底面的長與寬確定了，水池總造價(jià)也就確定了。因此應(yīng)該考察底面的長與寬取什么值時(shí)水池總造價(jià)最低。解：設(shè)底面的長為,寬為,水池總造價(jià)為元。由題意有由容積為4800，可得，因此由基本不等式與不等式的性質(zhì)，得即當(dāng)，即，等號(hào)成立。所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元。3.4 幾何中的最值問題在平面幾何和立體幾何求解最值問題中也體現(xiàn)出了均值不等式這一工具的重要性，往往先根據(jù)題干例出相關(guān)等式，再利用均值不等式進(jìn)行由“等式”到“不等式”的轉(zhuǎn)

22、化，進(jìn)而求解最值。例3.4.1如果圓柱軸截面的周長為定值,那么圓柱體積的最大值是?解:由題意可設(shè)圓柱底面半徑為,高為,則,即;所以,故圓柱體積的最大值是.例3.4.2 已知圓O的半徑為1，PA,PB為該圓的兩條切線，A,B為兩切點(diǎn)，那么的最小值?解：如圖所示：令，則，令則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。故。第四章 比較大小比較代數(shù)式的大小，有作差比較法，作商比較法，縮放法等基本方法，均值不等式自身也體現(xiàn)出了兩個(gè)式子的大小關(guān)系，因此對(duì)于某些題型的特點(diǎn)，讓均值不等式適時(shí)地穿插其中，可得到意想不到的結(jié)果，甚至對(duì)不能用基本方法解答的，也會(huì)迎刃而解。4.1 分析法例4.1.1 其中，則M,N,L的大小關(guān)系是?解

23、：評(píng)注：均值不等式作為中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的一類不等式，在判斷大小關(guān)系上可充分發(fā)揮一定的作用，本小題中，又聯(lián)系到對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，使均值不等死靈活運(yùn)用到其中，最終解決問題。4.2 放縮法例4.2.1已知，求證：因?yàn)?，所以，則所以，命題得證。 評(píng)注：該小題同時(shí)考察了對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及均值不等式的變形模型，運(yùn)用該模型作為橋梁得以放縮，讓問題有了新突破口。第五章 證明不等式我們知道在中學(xué)中要證明不等式，通常分析法，綜合法以及縮放法等，但在合適的時(shí)候結(jié)合均值不等式進(jìn)行處理會(huì)讓問題變得較容易求解。5.1 拆項(xiàng)法例5.1.1 已知，求證：。解：因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立）。例5.1.2 證明解：因?yàn)?/p>

24、，又所以。5.2 分析法例5.2.1 已知為兩兩互不相等的實(shí)數(shù)，證明：解：因?yàn)?，且兩兩不相等則有均值不等式可得再把上面三個(gè)不等式的左邊，右邊分別相加可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以 原式得證評(píng)注：注意到題目中的條件以及結(jié)合所要證明的不等式的形式，可以判斷用均值不等式的變形即可解決，且應(yīng)謹(jǐn)記成立的條件是不同的，前者要求是實(shí)數(shù)，后者要求是正數(shù)，切莫混為一談。5.3 添項(xiàng)法例5.3.1對(duì)于，則。解：因?yàn)?，所以?lián)系到均值不等式得到：將以上不等式的左邊和右邊分別累加并移項(xiàng)得到：原式得證。評(píng)注：重要不等式可變形為，注意到題目中的左邊的式子正是重要不等式的變形，所以聯(lián)想用均值不等式解決。例5.3.2 設(shè)且，求證：

25、。解：注意到需要證的不等式可以由基本不等式變形得出的模型(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))求解,將上式左右兩邊分別相加，可見證明不了原不等式。發(fā)現(xiàn)是等號(hào)不成立造成的，那要讓等號(hào)成立，的a=b=c.則，所添項(xiàng)的值必為，所以添的項(xiàng)應(yīng)為。將前面三個(gè)不等式相應(yīng)改為，將上式相加再結(jié)合可得出。評(píng)注：該模型豐富了均值不等式的運(yùn)用，能將原本是分式不等式的分母去掉，但要注意“等號(hào)”是成立，若不成立，得對(duì)均值不等式再進(jìn)行一次配湊。5.4 綜合法例5.4.1已知正數(shù)滿足,求證。解：對(duì)于我們可先進(jìn)行通分研究得又因?yàn)?，所以同理可得，再把式的左邊和右邊分別相乘即，原式得證。評(píng)注：所證的不等式右邊數(shù)字8，聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，因此需對(duì)三個(gè)因式分別進(jìn)行變形進(jìn)行解答。5.5 比較法例5.5.1 已知且.求證:。解：因?yàn)?，所以，則=所以。評(píng)注：通過移項(xiàng)的手段，原題轉(zhuǎn)化為證明式子大于或等于0，再