課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題公開(kāi)課

1、第十三章第十三章 軸對(duì)稱軸對(duì)稱復(fù)習(xí)引入線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.垂線段性質(zhì)： 垂線段最短.AB最短路徑問(wèn)題BAl問(wèn)題問(wèn)題1如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河地出發(fā)，到一條筆直的河邊邊 l 飲馬，然后到飲馬，然后到B地牧馬人到河邊的什么地地牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？方飲馬，可使所走的路徑最短？ 思考：思考：你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C在直線在直線 l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC與與BC的和最??？的和最??？分析：分析：ABl 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A、B分別是直線

2、分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在如何在 l 上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)、點(diǎn)B的距離的和最短？的距離的和最短？聯(lián)想：聯(lián)想：兩點(diǎn)之間，線段最短.lABC（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l 的異側(cè)呢？ 轉(zhuǎn)化需要遵循的原則是什么？（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：分析：lABClABClABCB 如下左圖，作點(diǎn)如下左圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B .當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C在直線在直線 l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC與與CB的和最??？的和最小？如上右圖，在連接如上右圖，在連接AB兩點(diǎn)的

3、線中，線段兩點(diǎn)的線中，線段AB最短最短. 因此，線段因此，線段AB與直線與直線 l 的交點(diǎn)的交點(diǎn)C的位置即為所求的位置即為所求.lABCB 在直線在直線 l 上任取另一點(diǎn)上任取另一點(diǎn)C ，連接連接AC 、BC 、B C 直線直線 l 是點(diǎn)是點(diǎn)B、B的對(duì)稱軸，的對(duì)稱軸， 點(diǎn)點(diǎn)C、C在對(duì)稱軸上，在對(duì)稱軸上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在在ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即即AC+BC最小最小lABCBC證明：如圖證明：如圖.問(wèn)題問(wèn)題1 歸納歸納“一線兩點(diǎn)一線兩點(diǎn)”lABClABCBlABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想

4、舊知聯(lián)想舊知解決實(shí)解決實(shí)際問(wèn)題際問(wèn)題ABl問(wèn)題問(wèn)題2 （造橋選址問(wèn)題）如圖，（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和和B兩地在同一條兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN橋造在何橋造在何處可使從處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直岸是平行的直線，橋要與河垂直.） 思考：思考：你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在在什么情況下最短呢？分析：分析：aBAbMN 由于河寬是固定的，因此當(dāng)AM+NB

5、最小時(shí)，AM+MN+NB最小.分析：分析：lABCaBAbMNA 如左圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A，使AA等于河寬，則AA=MN，AM=AN，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AN+NB最小？參考右圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決. 如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河寬，連接AB交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：解：另任意造橋MN，連接AM、BN、AN.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由線段公理知AN+BN AB，

6、AM +MN +BN AM+MN+BN.證明：證明：aBAbMNANM問(wèn)題問(wèn)題2 歸納歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知解決實(shí)解決實(shí)際問(wèn)題際問(wèn)題aBAbMNlABCaBAbMNA小結(jié)歸納小結(jié)歸納aBAbMNAlABClABCB軸對(duì)稱軸對(duì)稱變換變換平移平移變換變換兩點(diǎn)之間，線段最短. 如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄. 請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線.草 地小 河A課堂練習(xí)已知：如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A.求作：分別在l1、l2上確定一點(diǎn)M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2 如圖，作點(diǎn)A關(guān)于l1和l2的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，連接A1A2，交l1于M點(diǎn)，交l2于N點(diǎn). 連接AM和AN，則AM+MN+NA最小. 因此，那天這樣走路線最短.MNA1AA2方法歸納：方法歸納：“兩線一點(diǎn)兩線一點(diǎn)”要作兩次軸對(duì)稱要作兩次軸對(duì)稱課堂小結(jié)AB線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.最短路徑問(wèn)題垂線段性質(zhì)：垂線段最短.BAlaBAbMNAlABCB教材復(fù)習(xí)題13 第15題.課后作業(yè)1.必做作業(yè) 你也許很喜歡臺(tái)球，在玩臺(tái)球過(guò)程中也用到數(shù)學(xué)知識(shí).如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形的球桌臺(tái)面，有兩個(gè)球分別位于P、Q兩點(diǎn)上，先找出P