有關(guān)定義域和值域的逆向問題

1、定義域和值域的逆向問題定義域和值域的逆向問題，是數(shù)學中的常見問題，解決好此類問題，可以鍛煉同學們的逆向思維能力，因此要重視此類問題的解決。一、已知定義域求值域例1 求定義域在-1，1上的函數(shù)的值域。解：函數(shù)式變形為，顯然y-1由原函數(shù)表達式可得。又，得，解得，即此函數(shù)的值域為。注：此法是把函數(shù)式視為關(guān)于x的方程，解出x，再運用已知的定義域，解關(guān)于y的不等式求得值域。二、已知值域求定義域例2 已知函數(shù)的值域是，求此函數(shù)的定義域。解：由，解得。由，解得。此函數(shù)的定義域為。注：此題直接由函數(shù)值域得出表達式的不等式，進而求得定義域，同時還可以利用反比例函數(shù)圖象直觀地得出結(jié)論，同學們不妨試一試。三、已知

2、定義域求解參數(shù)問題例3 已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題意知時，恒成立。（1）當且時，有a=1，此時f(x)=1，顯然對時，恒成立。（2）當時，有解不等式組得。綜上知，當時，使得有意義的a的取值范圍是1，9。注：此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，但要注意二次函數(shù)的二次項系數(shù)為字母時的分類討論。四、已知值域求解參數(shù)問題例4 已知函數(shù)的值域為1，3，求a、b的值。解：由題意知，把原函數(shù)變形為當時，滿足題意當時，因，所以，即。因，所以1和3是方程的兩個實根，由韋達定理解得。注：解決此問題的關(guān)鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，最后通過比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參

3、數(shù)的值。五、已知定義域和值域求解參數(shù)問題例5 已知二次函數(shù)滿足條件，且方程有兩個相等實根。問是否存在實數(shù)，使得的定義域為m，n時，值域為3m，3n。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，請說明理由。解：因，所以函數(shù)的圖象的對稱軸為直線=1，可得由，得因方程有兩個相等實根，即有相等實根，所以將代入，得。由知，b=1，所以。則，所以，即。在m，n上單調(diào)遞增，假設(shè)存在滿足條件的m、n，則解得又，則m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0滿足條件。注：解決定義域和值域共存問題時，不要盲目進行分類討論，而應(yīng)從條件出發(fā)，分析和探討出解決問題的途徑，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而使問題得以解決。練一練：1. 求下列函數(shù)的值域：；。2. 求函數(shù)的最大值。答案：1. （提示：，而，所以，可得。另外，原函數(shù)變形為，因，所以，即且）（提示：，