高等代數(shù)10群,環(huán)和域簡介

1、第十章 群，環(huán)和域簡介 10.1 10.1 群 10.2 10.2 剩余類加群 10.3 10.3 環(huán)和域 令是一個(gè)非空集合令是一個(gè)非空集合,它帶有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算它帶有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,叫做乘叫做乘:對對于任意于任意(a,b)GGG G, ,有有G G中唯一確定的元素中唯一確定的元素, ,記作記作abab, ,與它對與它對應(yīng)應(yīng), ,叫做叫做a a與與b b的積的積. .如果下列條件被滿足如果下列條件被滿足, ,那么就說那么就說G G關(guān)于這關(guān)于這個(gè)乘法作成一個(gè)群個(gè)乘法作成一個(gè)群: :(1) 對于任意a,b,cG都有 (ab)c=a(bc)(2)在G中存在一個(gè)元素e,叫做G的單位元,它具有性質(zhì):對于任意

2、aG, ea=ae=a.定義定義1 1(3)對于G的每一個(gè)元素a,存在G的一個(gè)元素a-1,使得 a-1a=aa-1=e. a-1叫做a的逆元.一個(gè)群的單位元是唯一的一個(gè)群的單位元是唯一的. .群中每一個(gè)元素群中每一個(gè)元素a a的逆元的逆元是由是由a a唯一確定的唯一確定的. . 令Q+是全體正有理數(shù)所成的集合.Q+對于數(shù)的乘法作成一個(gè)群.同樣,全體正實(shí)數(shù)所成的集合R+對于數(shù)的乘法作成一個(gè)群.例 1定理定理10.1.110.1.1 設(shè)a1,a2, ,an是一個(gè)群G 中任意n(n1)個(gè)元素,只要不調(diào)換這n個(gè)元素的先后次序,用任何一種加括號的方式作乘法所得的結(jié)果都相等. 設(shè)G是一個(gè)阿貝爾群.G的任意

3、n(n1)個(gè)元素a1,a2, ,an的乘積a1a2a3里,因子的次序可以任意調(diào)換. 一個(gè)數(shù)域F上的向量空間V對于向量的加法來說作成一個(gè)群.例 2定理定理10.1.210.1.2定理定理10.1.310.1.3 群群G的滿足下列條件的非空子集的滿足下列條件的非空子集H叫做叫做G的一個(gè)子群的一個(gè)子群:定義定義2 2 任意群G本身和只含單位元e的子集e顯然是G的子群,稱作G的平凡子群. 1) 如果aH,bH,那么abH;2) 如果aH,那么a-1H.例 3 設(shè)f:G H是一個(gè)群同態(tài). 設(shè)設(shè)G和和H是群是群, f:G H是一個(gè)映射是一個(gè)映射.如果對于如果對于G的任意元的任意元素素a,b,都有都有定義定

4、義3 3f(ab)=f(a)f(b),那么稱f是一個(gè)同態(tài)映射.1) Imf是H的一個(gè)子群,Kerf是G的一個(gè)子群;2) F是群同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)Imf=H而Kerf=eG,這里eG是G的單位元3) 如果f是群同構(gòu),那么f-1:H G也是群同構(gòu).定理定理10.1.410.1.4定理定理10.2.110.2.1設(shè)n是一個(gè)正整數(shù).(i)以n為模的剩余類C0,C1，Cn-1都是Z的非空子集。 (ii)每一個(gè)整數(shù)一定屬于且只屬于一個(gè)上述剩余類。因而這n個(gè)剩余類兩兩不相交，并且 Z=C0C1Cn-1.(iii)兩個(gè)整數(shù)x與y屬于同一個(gè)剩余類必要且只要 xy(mod n)定理定理10.2.210.2.2Zn對于如

5、上所定義的加法來說作成一個(gè)阿貝爾群。定義定義1 1設(shè)設(shè)R是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合.R帶有兩個(gè)運(yùn)算帶有兩個(gè)運(yùn)算,分別叫做加法和分別叫做加法和乘法乘法,如果下列條件被滿足如果下列條件被滿足,就稱就稱R是一個(gè)環(huán)是一個(gè)環(huán):1.R對于加法來說作成一個(gè)阿貝爾群對于加法來說作成一個(gè)阿貝爾群;2.R的乘法滿足結(jié)合律的乘法滿足結(jié)合律:對于對于R中任意元素中任意元素,a,b和和c,等式等式 (ab)c=a(bc)成立成立;3.加法與乘法由分配律聯(lián)系著加法與乘法由分配律聯(lián)系著:對于對于R中任意元素中任意元素a,b和和c等式等式 a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca成立成立;定理定理10.3.110

6、.3.1設(shè)設(shè)R R是一個(gè)環(huán)是一個(gè)環(huán). .(i)(i)對于任意對于任意a a1 1,a,a2 2,a,an n, bR, bR, , b(a b(a1 1+a+a2 2+a+an n)=ba)=ba1 1+ba+ba2 2+ba+ban n; ; (a (a1 1+a+a2 2+a+an n)b)b=a=a1 1b+ab+a2 2b+ab+an nb b. .(ii)(ii)對于任意對于任意a,b,cRa,b,cR， a(b-c)=ab=ac.a(b-c)=ab=ac. (b-c)a=ba (b-c)a=ba-ca.-ca.(iii)(iii)對于任意對于任意aRaR, , 0a=a0=0. 0

7、a=a0=0.(iv)(iv)對于任意對于任意a,bR,a,bR, (-a)b=a(-b)=-(ab). (-a)b=a(-b)=-(ab). (-a)(-b)=ab (-a)(-b)=ab. . 定義定義2 2若是在一個(gè)環(huán)若是在一個(gè)環(huán)R里，里， a0,b0但但ab=0,我們就說，我們就說，a是是R的一個(gè)左零因子，的一個(gè)左零因子，b是是R的一個(gè)右零因子的一個(gè)右零因子.一個(gè)環(huán)的左零因子和右零因子都叫這個(gè)環(huán)的零因子一個(gè)環(huán)的左零因子和右零因子都叫這個(gè)環(huán)的零因子.定理定理10.3.110.3.1以下兩個(gè)條件對于一個(gè)環(huán)以下兩個(gè)條件對于一個(gè)環(huán)R來說是等價(jià)的：來說是等價(jià)的：（i） R沒有零因子；沒有零因子；

8、（ii）在）在R中消去律成立：中消去律成立： ab=ac 且且a0 = b=c , ba=ca 且且 a0 = b=c ,定理定理10.3.310.3.3在一個(gè)有單位元的環(huán)里，全體可逆元對與環(huán)的乘法來說作成在一個(gè)有單位元的環(huán)里，全體可逆元對與環(huán)的乘法來說作成一個(gè)群一個(gè)群.定義定義3 3設(shè)設(shè)F是一個(gè)有單位元是一個(gè)有單位元10的交換環(huán)的交換環(huán).如果如果F的每一個(gè)非零元的每一個(gè)非零元素都是可逆元，那么就稱素都是可逆元，那么就稱F是一個(gè)域是一個(gè)域.定理定理10.3.410.3.4設(shè)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)是一個(gè)正整數(shù).Zn是以是以n為模的剩余類環(huán)為模的剩余類環(huán).(i) 如果如果n是一個(gè)合數(shù)是一個(gè)合數(shù),那么那么

9、Zn有零因子有零因子.(ii) 如果如果n是一個(gè)素?cái)?shù)是一個(gè)素?cái)?shù),那么那么Zn是一個(gè)域是一個(gè)域.定義定義4 4設(shè)設(shè)F是一個(gè)域是一個(gè)域.使得使得p1=0的最小正整數(shù)的最小正整數(shù)p叫做域叫做域F的特征的特征.如果不存在正整數(shù)如果不存在正整數(shù)p,使得使得p1=0,那么就說域那么就說域F的特征是零的特征是零.定理定理10.4.510.4.5設(shè)設(shè)F是一個(gè)域是一個(gè)域.(i)如果如果charF=0.那么對于那么對于F中任意非零元素中任意非零元素a和和nZ, na=0 n=0.(ii)如果如果charF=p0,那么對于那么對于F的任意非零元素的任意非零元素a,和和nZ, na=0 p | n .定理定理10.4

10、.610.4.6設(shè)設(shè)F是一個(gè)特征為素?cái)?shù)是一個(gè)特征為素?cái)?shù)p的域的域. 在在F里以下等式成立里以下等式成立: (x+y)p=xp+yp , x , yF .定義定義環(huán)環(huán)R的一個(gè)滿足以下條件的子集的一個(gè)滿足以下條件的子集S叫做叫做R的一個(gè)子環(huán)的一個(gè)子環(huán):(i) S對于對于R的加法來說作成加法群的加法來說作成加法群R的一個(gè)子群的一個(gè)子群;(ii) 如果如果a , b S,那么那么 abS.域域F的一個(gè)滿足以下條件的子集的一個(gè)滿足以下條件的子集K叫做叫做F 的一個(gè)子域的一個(gè)子域:(i) K不只含有一個(gè)元素不只含有一個(gè)元素;(ii) K是是F的一個(gè)子環(huán)的一個(gè)子環(huán);(iii) 如果如果aK 且且a0,那么那么 a-1K . 定義定義設(shè)設(shè)R和和R都是環(huán)都是環(huán)(或域或域) .f:RRR 是一個(gè)映射是一個(gè)映射. . 如果對于如果對于R R中任意元素中任意元素a,ba,b, ,都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b