高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一、 高階導(dǎo)數(shù)定義定義（二階導(dǎo)數(shù)） 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即，此時(shí)稱在點(diǎn)二階可導(dǎo)。 如果在區(qū)間I上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則得到一個(gè)定義在I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，記作，或記作，。函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對(duì)它再求導(dǎo)數(shù)，如果導(dǎo)數(shù)存在的話，稱之為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記為，或。函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，記為，或。相應(yīng)地，在的階導(dǎo)數(shù)記為： ，。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)。1 。 2 ， （Leibniz公式）其中，。注 將Leibniz公式與二項(xiàng)式展開(kāi)作一比較可見(jiàn)：。（這里 ），在形式上二者有相似之處。（6）幾個(gè)初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式；

2、 ；（4），（5）特別的，當(dāng)時(shí)，有.（7）參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，均二階可導(dǎo)，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，是中間變量，而符號(hào)表示對(duì)求二次導(dǎo)數(shù)，因此. 例1 （1）已知，求（2）已知，求解：（1）， （2），.例2 求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)解：，顯然對(duì)任意正整數(shù)，有例3 求的階導(dǎo)數(shù)。解 ，.同理可得 。求節(jié)導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)，然后仔細(xì)觀察得出規(guī)律，歸納出階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，因此，求階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共同的規(guī)律。例4 求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)解：，一般地，對(duì)任意正整數(shù)有例5 求次多項(xiàng)式的各階

3、導(dǎo)數(shù).解 這就是說(shuō)，次多項(xiàng)式的一切高于階的導(dǎo)數(shù)都為0.例6 已知 求.解 兩端對(duì)求導(dǎo)，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對(duì)求導(dǎo)，得=，將 代入上式，得.注意 在對(duì)隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要將的表達(dá)式代入中，注意，在的最后表達(dá)式中，切不能出現(xiàn).例7 求方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)。解 。例8 已知作直線運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求在時(shí)物體運(yùn)動(dòng)速度和加速度。解 ，所以有，。二階導(dǎo)數(shù)1.設(shè)，其中為二階可導(dǎo)函數(shù)，則（ ）.A、； B、；C、； D、.2、設(shè)，其中為可微函數(shù)，則（ ）.A、； B、；C、； D、.3.設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、2； D、.4、設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、； D、.5.，其中是的函數(shù)，則.6.設(shè)，則.7、試求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).8、設(shè)，求，； 10證明函數(shù)滿足關(guān)系式；11、 已知函數(shù)，求12、，求。解： 高階導(dǎo)數(shù)1、設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、； D、.2、，則.4設(shè)，求。5設(shè)，求。6、，求各階導(dǎo)數(shù)。7、設(shè)的階導(dǎo)數(shù).8、設(shè), 求.二階導(dǎo)數(shù)1、C；2、D；5、；6、；7、解： 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得 . 8、解： 9、12、解： ， ，