幾何畫板在立體幾何教學的應用

1、幾何畫板在立體幾何解題教學中的應用數學教學中的數學活動，是為了幫助學生探索未知的事實和規(guī)律，它是為了說明思想概念，闡述道理方法，指導學生操作練習。許多數學問題情景，在傳統(tǒng)的黑板和紙筆提供的教學環(huán)境中，教師只能講一講， 學生只能想一想。用多媒體輔助教學，就可以變抽象為具體就可以演示、操作了。幾何畫板作為一種適合中學教師使用的教學軟件，是21世紀的動態(tài)幾何。用幾何畫板繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學生從平面圖形向立體圖形，從二維空間向三維空間過渡的難題，因為它確實能把一個“活”的立體圖形展現在學生面前。 在立體幾何中，有些問題用直接法來尋求解題途徑比較困難，甚至無從著手，這時用構造法并利用幾何

2、體的特點和性質來幫助解題，可起到事半功倍的效果，引入多媒體技術后，利用幾何畫板輔助教學，可以豐富教學模式，實現過程教學，提高了生學習數學的興趣。解數學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結論的定向思維。但有些問題按照這種思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經常要求我們改變思維方向，換一個角度思考，以便找到一條繞過障礙的新途徑。構造性思想及其方法就是這樣的一種手段。構造法在立體幾何中主要表現在輔助線、體的添加，這就是常說的分形與補形,并根據題目的特征,精心構造一個相應的“模型”,把復雜問題轉化為簡單問題。由于實際的三維圖形,總是用二維圖形來表示,這就造成了學生識圖、畫圖、用圖

3、的困難。這就需要培養(yǎng)學生用運動的觀點觀察點、線、面的位置關系，使空間圖形成為學生頭腦中活的思維對象。幾何畫板為數學教學提供了一個很好的動態(tài)視覺的環(huán)境，能對圖象進行各種變換、平移、旋轉和動畫等處理功能。從數學課堂教學的角度上看，其最大的優(yōu)點是實現了動態(tài)教學，尤其對空間想象能力薄弱的中學生而言，在立體幾何的教學中CAI的優(yōu)勢得到了很好的體現和發(fā)揮。下面就此談談我在利用幾何畫板輔助立體幾何解題教學時的一些體會,以求教于同行。一、構造三棱錐三棱錐是一個特殊的錐體，它的每一個頂點都可以作為三棱錐的頂點，每一個面都可以作為三棱錐的底面.利用它不但可以靈活地計算三棱錐的體積,而且還可以求點到平面的距離或異面

4、直線間的距離.例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線1與AC間的距離.分析：(利用幾何畫板展示教學步驟)如圖所示,連結A1C1 , AC1,則AC/A1C1 AC /平面A1DC1 A到平面A1DC1的距離h就是AC與DA1間的距離. 即AC、A1D間的距離為 二、構造正方體正方體是最特殊的四棱柱，它的六個面都是全等的正方形，線線、線面、面面之間都有垂直或平行關系，這便提供了多姿的化繁為簡的條件，以它為“模型”是最妙不過了.例2： 一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）.（2003年全國高考題）A3p B.4p C.p D. 6p分析:

5、構造一個棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D(如圖) 連AB1,AD1,AC,CD1,CB1,B1D1,則四面體B1ACD1為符合題意的四面體，它的外接球的直徑即為正方體的對角線長.設該外接球的半徑為R,則2R=AC1=,所以此正四面體外接球的表面積為S=4pR2=3p,故選A.例3：在四面體的四個側面中,直角三角形最多可有( ).A. 1個 B. 2個 C. 3個 D .4個 分析:構造如圖所示的正方體,連B1D1、A1B、BD1 ,考察四面體BB1D1A1 ,它的四個側面都是直角三角形,故選D.例4:過正方形ABCD的頂點A作線段PA面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB和面PCD所成

6、二面角的大小.分析:如圖,將四棱錐PABCD補成正方體PQRSABCD ，則PQ為面PAB與面PCD的交線.由正方體性質知PDPQ ,APPQ , ÐDPA為所求二面角的平面角,易知ÐDPA=45°.二、 構造長方體長方體的六個面都是矩形，每個頂點上的三條棱兩兩互相垂直.利用這些性質,構造長方體,常能使很多問題得到簡化.例5：已知ABCD是邊長為4的正方形,E,F分別是AB和AD的中點,GC平面ABCD于C,且GC=2,求點B到平面GEF的距離.(1991年全國高考題)分析:如圖,以邊長為4的正方形ABCD為底面,GC為側棱,構造長方體.由BD/EF,得BD/面E

7、FG ,到平面EFG的距離,轉化為底面中心O到平面EFG的距離四、應用等積變換構造立幾模型 充分應用等積變換、構造、輔助解題的模型，理清思路，這是解幾何難題的一種常用方法.例6：在四面體A-BCD中，已知AB=a，CD=b，AB與CD間的距離為h，它們所成的角為，求四面體的體積.分析：（用等積變換）在平面BCD內過B點作BECD，DEBC，BE、DE交于E點從而得平行四邊形BCDE，連AE則A-BCDE為四棱錐CDBE，且AB與CD所成角為ABE是AB、CD所成的角或補角，即ABE=或-.CDBE，CD面ABE設AB與CD的公垂線為GF，則GF就是CD與面ABE的距離，也就是棱錐D-ABE的高

8、線.顯然GF面ABE，且GF=hDEBC，SBDE = SBCD .VD-ABE= VA-BDE = VA-BCD .VA-BCD = abhsin五、分割圖形巧補圖形可使某些立幾問題迅速準確獲解,同樣適當地分割圖形,也可使某些立幾問題趨于簡單,從而為問題的順利解決提供了方便.例7：如圖三棱錐PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線段DE=h.求三棱錐PABC的體積.分析:直接考慮會因條件用不上感到束手無策.如考慮過DE、BC的平面分割三棱錐PABC為兩個三棱錐PBCD和ABCD.則問題簡捷解出.解:PABC,PADE, PA面BCD.例8 ：已知正三棱柱ABC-A1B1C

9、1的底面邊長為6，側棱長為,求三棱錐B- CA1 C1的體積.如圖： 分析：面BA1C1 、面BCA1將這個三棱柱分割為三個三棱錐.易證 = V正三棱柱 = SABCh= ×××62×3=27以上用幾何畫板設計的不同的按紐如：（1） 用移開、合攏、顯示、隱藏按紐突出構造模型的過程，（2）多個按紐的組合（或系列）進行教學步驟設計，實現教師分析、板書、作圖按知識點的同步教學，環(huán)環(huán)相扣，層層深入地引發(fā)學生思考，這些是傳統(tǒng)教學難以媲美的.（3）利用幾何畫板實現數形結合，增強了圖形的立體感和美感（立體、色彩、對稱、動畫等可增加圖形的美感，讓學生欣賞數學美，增添數學興趣），利于學生的思維的發(fā)生、發(fā)展和充分想象，尋找問題的解決途徑，進而實現學生的自主學習.(4)用顯示、隱藏按紐來重復講解學生不太清楚的問題,實現學生的分層次教學.(5)用旋轉按紐,可以從多角度、全方位來觀察問題,實現學生思維的全面性,這個旋轉也是讓學生充分感受數學美的魅力所在,進而激發(fā)學生探索數學的無窮樂趣.構造思想方法充分體現了“他山之石可攻玉”的哲理.用構造法來解立體幾何問題,實際上是將待解決問題的條件和數量關系,顯示在所構造的“模型”上,并且得到相應的解釋,從而轉化為所構造模型的相應問題,實現用簡捷方法解決復雜問題的目標。引入多媒體技術，利