方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、 教材分析本節(jié)課選自人教版高中數(shù)學(xué)必修一第3章第1節(jié)第1課時(shí)，本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起，也為二分法求方程的近似解作好知識(shí)上和思想上的準(zhǔn)備。2、 學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識(shí)圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn)，或是

2、函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)，造成對(duì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。對(duì)于零點(diǎn)存在的判定定理的條件和結(jié)論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。3、 教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法。4、 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)：結(jié)合方程根的幾何意義，表述函數(shù)零點(diǎn)的定義；闡明方程的實(shí)根與其相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的等價(jià)關(guān)系；結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征，探求判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和所在區(qū)間的方法.過程與方法目標(biāo)：探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某

3、區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法；表述在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以體驗(yàn)化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的意義與價(jià)值；5、 教學(xué)過程1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在性的探索1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問題1：解方程（比賽）：6x1=0 ；3x26x1=0 。再比賽解3x36x1=0 設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1（產(chǎn)生疑問，引起興趣，引出課題）比賽模式引入，調(diào)動(dòng)積極性，可根據(jù)學(xué)分評(píng)定中進(jìn)行過程性評(píng)定加分獎(jiǎng)勵(lì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性和主動(dòng)性。2 / 9第三題學(xué)生無(wú)法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說(shuō)一次方程、二次方程

4、甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運(yùn)算，乘方與開方等運(yùn)算來(lái)表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x56x1=0 緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法），伽羅瓦（法國(guó)）的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀(jì)的中國(guó)，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學(xué)生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題。問題2：先來(lái)觀察幾個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖7-1方程與函數(shù)方程與函數(shù)方程與函數(shù) 圖7-1 師生互動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程

5、和函數(shù)引出零點(diǎn)概念。零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)yf（x）（xD），把使f（x）0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf（x）（xD）的零點(diǎn)。經(jīng)過獨(dú)立思考，填表格函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)方程的根 學(xué)生填完后教師提問：根據(jù)零點(diǎn)概念，提出問題，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察表格，得出第一個(gè)結(jié)論.師再問：根據(jù)概念，函數(shù)yf（x）的零點(diǎn)與函數(shù)yf（x）的圖象與x軸交點(diǎn)有什么關(guān)系?點(diǎn)與函數(shù)yf（x）的圖象與x軸交點(diǎn)有什么關(guān)系?學(xué)生經(jīng)過觀察圖像與x軸交點(diǎn)完成解答，得出第二個(gè)結(jié)論教師概括總結(jié)前兩個(gè)結(jié)論。1）概念：函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn),而是實(shí)數(shù)。例如函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1,32）函數(shù)零點(diǎn)的意義：函

6、數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3）方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)上述結(jié)論，再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義求零點(diǎn)？ 學(xué)生思考后回答可以解方程而得到（代數(shù)法）；可以利用函數(shù)的圖象找出零點(diǎn)（幾何法）問題2一方面讓學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，另一方面通過對(duì)比讓學(xué)生再次加深對(duì)二者關(guān)系的認(rèn)識(shí)，使函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點(diǎn)的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。通過對(duì)比教學(xué)揭示知識(shí)點(diǎn)之間的密切關(guān)系。問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)？教師僅提出問題，不須做任何提示。學(xué)生根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，并進(jìn)行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論二

7、次函數(shù)的零點(diǎn)：看），方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)），方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)），方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點(diǎn)情況，給學(xué)生一個(gè)清晰的解題思路。進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。1.2零點(diǎn)存在性的探索教師要求生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如下圖A、B兩點(diǎn)，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板書： A a blB學(xué)生會(huì)得到兩個(gè)學(xué)生畫出連接A、B兩點(diǎn)的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交

8、。教師再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說(shuō)明連接A、B兩點(diǎn)的函數(shù)曲線交點(diǎn)必在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)。讓學(xué)生觀察下面函數(shù)f（x）0的圖象（如圖5）并回答圖5區(qū)間a，b上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f（a）·f（b）_0（或）。區(qū)間b，c上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f（b）·f（c）_0（或）。區(qū)間c，d上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f（c）·f（d）_0（或）。教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)析總結(jié)概括形

9、成結(jié)論）一般地，我們有：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c （a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）0的根。 教師引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維2、例范研究例1.已知函數(shù)f（x）= 3x56x1有如下對(duì)應(yīng)值表：x21.5012f（x）109441718107函數(shù)yf（x）在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)？為什么？設(shè)計(jì)意圖通過本例引導(dǎo)探索，師生互動(dòng)探求1：如果函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）

10、3;f（b）>0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點(diǎn)嗎?探求2：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只一個(gè)零點(diǎn)？探求3：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）·f（b）<0 ？探求4：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）·f（b）<0 ？圖5（反例）教師總結(jié)兩個(gè)條件：1）函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不

11、斷的一條曲線2）在區(qū)間a，b上有f（a）·f（b）<0一個(gè)結(jié)論：函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)補(bǔ)充：什么時(shí)候只有一個(gè)零點(diǎn)？（觀察得出）函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)例2求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題：1）你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用,應(yīng)用例1，例2加深對(duì)定理的理解。3、練習(xí)嘗試(可根據(jù)時(shí)間和學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受程度適當(dāng)調(diào)整)1求函數(shù)，并畫出它的大致圖象2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根：（1）；（2）；

12、3利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）；（2）；師生互動(dòng)教師多媒體演示；結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用建議學(xué)生使用計(jì)算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備。 利用練習(xí)鞏固新知識(shí)，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備4、探索研究(可根據(jù)時(shí)間和學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受程度適當(dāng)調(diào)整)討論：請(qǐng)大家給方程的一個(gè)解的大約范圍，看誰(shuí)找得范圍更?。繋熒?dòng)教師把學(xué)生分成小組共同探究，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生充分研究，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性。也可以讓各組把這幾個(gè)題做為小課題來(lái)研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。學(xué)生分組討論，各抒己見。在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的提高 設(shè)計(jì)意圖：一是為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備二是小組探究合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識(shí)，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究能