數(shù)學(xué)物理方程資料

1、數(shù)學(xué)物理方程考點(diǎn)一. 分離變量法：知識(shí)點(diǎn)見課本1.已知初邊值問題： （1） 求此問題的固有函數(shù)（特征函數(shù)）與固有值（特征值）；（2） 求此初邊值問題的解。解：（1）令 （1.1），其中不恒零，將其代入方程得到： 將該式分離變量并令比值為有： 則有： （1.2） （1.3）由原初邊值問題的邊界條件知： 方程（1.3）滿足邊界條件 （1.4） 當(dāng)時(shí)，方程（1.3）的通解為 ，由邊界條件（1.4）知： 由（1.1）知：，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，方程（1.3）的通解為 ，由邊界條件（1.4）知： 同理應(yīng)舍去；當(dāng)>0時(shí)，則方程的通解為： 1 / 8由邊界條件知： 即 又由知： ，令，則即，所以固有值為將其代

2、入通解中，得到固有函數(shù)：（）將固有值代入方程（1.2），可得到此方程的通解： 則原初邊值問題的形式解為 ：則：由初始條件，知： 原初邊值問題的解為： 二. 特殊方程的邊界齊次化：知識(shí)點(diǎn)見2.已知初邊值問題： 將此定解問題的邊界齊次化。解：令（1），則，故原初邊值問題等價(jià)于 （I）將定解問題（I）邊界齊次化，即令 將代入（I），則可得到邊界齊次化后的初邊值問題為： （II）然后用分離變量法求初邊值問題（II）得到，將其代入（1）式即可求出。三. 能量不等式證明解的唯一性：知識(shí)點(diǎn)見3.證明方程的初邊值問題解的唯一性。證明：假設(shè)此方程有兩個(gè)不同解，令，則滿足的定解問題為： 一維波動(dòng)方程的能量公式為：

3、 則有：由知：，能量是時(shí)間的減函數(shù)，又知初始時(shí)刻又有，且 ，則 ，即有，其中為常數(shù) 又初始條件為 即 ，此與假設(shè)矛盾，故該方程初邊值問題解具有唯一性。四. 給出物理背景，列出定解問題：4.長(zhǎng)度為的均勻細(xì)桿的初始溫度為，端點(diǎn)保持常溫，而在和側(cè)面上，熱量可以發(fā)散到周圍的介質(zhì)去，介質(zhì)的溫度為，且此桿單位體積內(nèi)單位時(shí)間吸收熱量與溫度函數(shù)成正比，比例為k，且k>0,求桿上溫度函數(shù)所滿足的定解問題。解：桿上溫度函數(shù)所滿足的定解問題為：五. 利用傅立葉變換求解柯西問題（初值問題）：5.見課本中“熱傳導(dǎo)方程柯西問題的求解”，該部分實(shí)際上就是一個(gè)例題，課后習(xí)題沒有合適的例子，弄懂此例即可。六. 格林函數(shù)：

4、6.寫出格林函數(shù)公式及滿足的條件，并解釋其物理意義。解：（1）格林函數(shù)公式（三維）為：G（M，M）= g（M，M） 其中函數(shù)g滿足的條件為：式中為區(qū)域的邊界曲面（2）格林函數(shù)的物理意義：在某個(gè)閉合導(dǎo)電曲面內(nèi)M點(diǎn)處放一個(gè)單位正電荷，則有它在該導(dǎo)電曲面內(nèi)一點(diǎn)M處產(chǎn)生的電勢(shì)為（不考慮電介常數(shù)），將此閉合導(dǎo)電曲面接地，又靜電平衡理論，則M將在該導(dǎo)電曲面上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷，其在M處的電勢(shì) g（M，M），并且導(dǎo)電面上的電勢(shì)恒等于0，即有=七. 調(diào)和方程的驗(yàn)證：7.已知極坐標(biāo)表示的函數(shù)，驗(yàn)證其滿足調(diào)和方程。解：由的表達(dá)式知：=n cos n =n(n-1) cos n = -nsinn = -cos n則有+

5、=+ =n(n-1) cos n+ncos n+( -cos n) =n(n-1)+n-cos n=0即+=0， 所以u(píng)（r, ）滿足調(diào)和方程八. 特征方程的化簡(jiǎn)：只須掌握二元雙曲型方程8.見課本例1。九. 求二階特征方程的的特征方向：9.求方程的特征方向。解：設(shè)特征方向?yàn)椋ǎ?，則有特征方程為 又知，則有： 令參數(shù)，其中, ，則此方程的特征方向?yàn)椋?或十. 一維達(dá)朗貝爾公式：知識(shí)點(diǎn)見課本10.見課本例子。十一.二階線性偏微分方程的解的漸進(jìn)性：11.在三大類方程中，哪兩類方程具有解衰減性，其衰減的速度如何？答：1.波動(dòng)方程解的衰減性：（1）初邊值問題解及一維柯西問題解不具有衰減性；（2）在初始條件有緊支集時(shí)，二維柯西問題解以速度衰減；（3）在初始條件有緊支集時(shí)，三維柯西問題解以速度衰減。2.熱傳導(dǎo)方程解的衰減性： （1）初邊值問題以負(fù)指數(shù)的速度衰減； （2）初值問題以速度衰減，其中n為