高二定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用(理科)

1、年 級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（理科）編稿老師胡居化一、教學(xué)目標(biāo)1. 能用定積分知識(shí)解決在物理學(xué)中的一些簡(jiǎn)單問題及求曲邊圖形的面積等問題2. 體會(huì)數(shù)與形結(jié)合的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.二、知識(shí)要點(diǎn)分析1. 定積分在物理學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間t=a到時(shí)間t=b（a<b）內(nèi)所經(jīng)過的路程S等于其速度V=v（t）在區(qū)間a，b上的定積分，（其中v（t）恒為正）即（2）變力做功：物體在力F（x）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，且物體沿著力F（x）相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b（a<b）變力所做的功W=2. 定積分求曲邊多邊形的面積（1）幾種典型

2、曲邊梯形面積的計(jì)算方法（i）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，一條曲線y=f（x），（f（x）恒為正）圍成的曲邊梯形面積（ii）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，一條曲線y=f（x），（f（x）恒為負(fù)）圍成的曲邊梯形面積（iii）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，兩條曲線y=f（x），y=g（x），圍成的圖形面積（2）求曲邊圖形面積的一般步驟：（a）畫圖，并將圖形分割成若干個(gè)曲邊梯形（b）對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上下限.（c）確定被積函數(shù)（d）求出各曲邊梯形的面積和，即各種定積分的絕對(duì)值之和.【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：定積分在物理學(xué)中

3、的簡(jiǎn)單的應(yīng)用例1：一物體在力F（單位：N）的作用下沿力F相同的方向，從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4處（單位：米），這力F（x）所做的功是（ ）A. 44 B. 46 C. 48 D. 50【題意分析】本題考查物理學(xué)中的變力做功問題，物體在x=0到x=4距離內(nèi)所做的功是函數(shù)F（x）在區(qū)間0，4上的定積分.【思路分析】由已知F（x）的表達(dá)式是分段函數(shù)，故物體所做的功是函數(shù)F（x）在0，2，2，4上的積分之和.【解題步驟】由定積分的物理意義知：46，故選（B）【解題后的思考】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用定積分求變力做功的問題，易錯(cuò)點(diǎn)是：認(rèn)為F（x）在區(qū)間0，4內(nèi)所做的功是.例2：一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其vt曲線（

4、如圖所示），求物體在內(nèi)的運(yùn)動(dòng)路程.【題意分析】本題考查物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)路程問題，由v（t）曲線知：，故在間的物體運(yùn)動(dòng)的路程是v（t）在區(qū)間上的定積分.【思路分析】由vt曲線知：v（t）是關(guān)于t的分段函數(shù)，即在0，1時(shí)間內(nèi)物體做加速直線運(yùn)動(dòng)在1，3時(shí)間內(nèi)物體做勻速運(yùn)動(dòng)，在3，6時(shí)間內(nèi)物體也做加速運(yùn)動(dòng)但加速度不同所以首先要確定v（t）分段函數(shù)的表達(dá)式，然后求物體在內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程，即是v（x）在三個(gè)區(qū)間內(nèi)的定積分之和.【解題步驟】由v（t）曲線知：故物體在內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程是【解題后的思考】本題是考查利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的問題，v（t）往往是關(guān)于時(shí)間t的分段函數(shù)，所以首先是求出v（t）函數(shù)的分

5、段表達(dá)式，再求在每一個(gè)區(qū)間上的定積分然后相加即得，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)與形結(jié)合的思想.易錯(cuò)點(diǎn)是：求在每個(gè)時(shí)間區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式有誤.例3：一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0（s）開始以速度運(yùn)動(dòng)，求（1）在t=4s時(shí)該點(diǎn)的位置.（2）在t=4s時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程.【題意分析】本題的第一問中：在t=4s的位置是由物體的位移確定的，故物體的位移就是在0，4內(nèi)v（t）的定積分.第二問中，從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t=4不能保證恒成立.而路程是位移的絕對(duì)值之和.因此要把區(qū)間0，4分割，以便能準(zhǔn)確的判斷v（t）在哪些區(qū)間為正哪些區(qū)間為負(fù).【思路分析】由知：在區(qū)間0，1，3，4內(nèi)v（t）為正值，在區(qū)間1，3內(nèi)v（t）為負(fù)值.在時(shí)刻1

6、，3內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程是.【解題步驟】（1）在時(shí)刻t=4s時(shí)物體的位移是：即t=4s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)（2）由知：運(yùn)動(dòng)物體在t=4s時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的路程4【解題后的思考】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問題，要明確僅當(dāng)v（t）恒為正時(shí)，物體在時(shí)刻t=0到時(shí)刻t=4時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程，因此本題正對(duì)v（t）的表達(dá)式要把時(shí)刻區(qū)間0，4分割，確保在哪些時(shí)刻區(qū)間v（t）為正，哪些時(shí)刻區(qū)間v（t）為負(fù).體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是分類討論的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)要理解物理學(xué)中的路程與位移的區(qū)別.易錯(cuò)點(diǎn)是：混淆路程與位移的概念.【小結(jié)】這一題組三個(gè)例題主要講述利用定積分求變力做功的問題和求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程問題.對(duì)求變力做

7、功問題要根據(jù)物理學(xué)的意義求力F的表達(dá)式，及在力F作用下位移的起始位置與末位置，以確定積分的上下限.在求變速直線運(yùn)動(dòng)路程問題時(shí)，要根據(jù)v（t）曲線寫出v（t）函數(shù)的表達(dá)式，或由v（t）表達(dá)式判斷在時(shí)刻區(qū)間v（t）是否為正.因?yàn)閮H當(dāng)v（t）恒為正時(shí)，. 知識(shí)點(diǎn)二：求曲邊梯形的面積例1：曲線與直線y=x圍成的圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【題意分析】根據(jù)定積分的幾何意義要求兩曲線圍成的圖形面積必須確定被積函數(shù)、積分的上下限.【思路分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和y=x的圖象，求出交點(diǎn)坐標(biāo)從而確定積分的上下限及被積函數(shù).【解題過程】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象（如圖）A（1，1），B（1，1）

8、由兩函數(shù)圖象知：兩圖象圍成的面積在第一、第三象限.根據(jù)圖象的對(duì)稱性知：兩部分面積相等.在第一象限兩圖象圍成的面積故兩曲線圍成的圖形面積，選（C）【解題后的思考】本題是利用定積分求曲邊圖形的面積，解題的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)和積分的上下限.通過畫出兩函數(shù)的圖象及求交點(diǎn)坐標(biāo)來確定積函數(shù)和積分的上下限，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)：畫函數(shù)圖象不準(zhǔn)確導(dǎo)致積分上下限的確定有誤.例2：求拋物線與直線x+y6=0及y=0圍成的圖形面積.【題意分析】畫出圖形確定被積函數(shù)和積分的上下限，再利用定積分的幾何意義求面積【思路分析】畫出及x+y6=0的圖象，求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確劃分圖形，然后確定被積函數(shù)及

9、積分的上下限.【解題過程】由題意畫出圖形（如圖）由兩曲線的交點(diǎn)A（2，4）故所求的面積 【解題后的思考】本題考查求兩條曲線圍成的曲邊梯形面積的問題，處理的方法（1）準(zhǔn)確地畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，（2）求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后對(duì)正確的圖形分割后，（3）確定被積函數(shù)及積分的上下限.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想及其應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是：圖形分割不正確導(dǎo)致被積函數(shù)有誤，如本題會(huì)誤認(rèn)為：S=.例3：在曲線 上某一點(diǎn)A處作切線，使之與曲線以及x軸圍成的面積為，求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，及過點(diǎn)A的切線方程. 【題意分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用定積分求曲邊圖形的面積.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線AC的方程，再利用曲邊三角形

10、的面積是求切點(diǎn)坐標(biāo)【思路分析】設(shè)切點(diǎn)A（ 求出切線方程進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)求出.【解題過程】設(shè)切點(diǎn)A（，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：切線AC的斜率k=2x0，所以切線方程是， 令，設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成的圖形面積是S，則S=， 故切點(diǎn)A（1，1），所求的切線方程為y=2x1.【解題后的思考】本題是導(dǎo)數(shù)與積分綜合試題，解題的關(guān)鍵是（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率進(jìn)而求切線方程.（2）利用積分求曲邊三角形AOB的面積減去三角形ABC的面積來表示曲邊三角形AOC的面積.求切點(diǎn)坐標(biāo)，易錯(cuò)點(diǎn)是：求曲邊三角形AOC的面積時(shí)不會(huì)分割為曲邊三角形AOB的面積減去三角形ABC的面積.【小結(jié)】本題組主要講述利用定積

11、分求曲邊圖形的面積，處理問題的關(guān)鍵是要能畫出函數(shù)的圖象，并且合理地分割圖形，以便確定被積函數(shù)和積分的上下限.易錯(cuò)點(diǎn)：圖形分割不合理導(dǎo)致被積函數(shù)和積分上下限的確定錯(cuò)誤.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】本講主要講定積分的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，在處理定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用和求曲邊圖形面積時(shí)充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用和分類討論的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘，滿分60分）一、填空題（每題5分，計(jì)20分）1. 已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（1）f（1）=，則a+b=_2. 直線y=2x+3與拋物線y=x2圍成的圖形面積是 3. 長為25cm的彈簧，若加100N的力，則彈簧伸長到30cm，則

12、彈簧從25cm到30cm所做的功是 4. 曲線xy=1及直線y=x，y=2圍成的平面圖形的面積是 .二、計(jì)算題（計(jì)40分）：5. 已知f（x）=求f（x）的解析式.（10分）6. 某一物體沿?cái)?shù)軸的正方向做變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度v（t）=1t2，初始位置為x0=1，求它在前2秒內(nèi)走過的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原點(diǎn)O有一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力，現(xiàn)有一個(gè)單位正電荷從距離原點(diǎn)a處沿著射線方向移至距O點(diǎn)為b（a<b）的地方，求電場(chǎng)力所做的功.（10分）8. 求曲線y=2xx2，y=2x24x所圍成圖形的面積.（10分）【試題答案】一、填空題1. 解析：f（x）=，由f（x）為奇函數(shù)知：b=0，又由f（1）f（1）=.2. 解析：.3. 2250N 解析：設(shè)x表示彈簧伸長的長度，則F（x）=kx，當(dāng)F=100N時(shí)，x=5，故k=20，所以F=20x4. 解析：由已知：以y軸為積分變量可得面積二、計(jì)算