向心繩桿模型賈俊明

1、勻速圓周運動中的桿繩模型(專題）2013年3月22日賈俊明分析解決圓周運動動力學問題的基本步驟：1.明確研究對象明確研究對象2.分析運動：確定圓周運動所在的平面，明確圓周運動的軌跡、分析運動：確定圓周運動所在的平面，明確圓周運動的軌跡、半徑、圓心位置及運動量。寫出運動需要的向心力。半徑、圓心位置及運動量。寫出運動需要的向心力。3.分析受力，沿半徑方向各個力的合力提供向心力。分析受力，沿半徑方向各個力的合力提供向心力。4.據(jù)牛頓第二定律列方程據(jù)牛頓第二定律列方程F供供=F需，需，并求解。并求解。勻速圓周運動基本問題：勻速圓周運動基本問題： 供供（受力）（受力） 需需 （ 運動）運動） 知識點回顧

2、知識點回顧半徑不變以一定的半徑不變以一定的V或或或或T做圓周運動時做圓周運動時F需需 沿半徑方向的合力沿半徑方向的合力F供供來來提供（即向心力來源）提供（即向心力來源）m2rrT4 m22問題一 ： 長為 r 的輕繩拴著 質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，當經過最低點時，小球的速度為V 求繩的拉力大??？若在最低點角速度為時拉力又為多少呢？V問題二：長為 r 的輕繩拴著 質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，當經過最高點時，小球的速度為V 求繩的拉力大?。浚ㄗ⒗K的拉力不為零）V問題三問題三：當小球在最高點的：當小球在最高點的V 逐漸增大或減小時求繩的逐漸增大或減小時求繩的拉拉 力大小如何變化

3、？力大小如何變化？問題四：問題四：當小球在通過最高當小球在通過最高點時繩拉點時繩拉 力大小減小為零時，力大小減小為零時，小球的速度大小又是多少呢？小球的速度大小又是多少呢？問題五：問題五：當物體的速度小于臨界速度當物體的速度小于臨界速度時物體能否過最高點？如果不能過時物體能否過最高點？如果不能過最高點物體做何運動？最高點物體做何運動？自己動手試試：自己動手試試：小球在小球在光滑軌道內側運動時，光滑軌道內側運動時，寫出小球在最低點速度寫出小球在最低點速度為為V1及最高點速度為及最高點速度為V2時對軌道壓力的表達式時對軌道壓力的表達式（已知球質量（已知球質量m 半徑為半徑為 r ）（1 1）小球能

4、過最高點的臨界條件（受力）：）小球能過最高點的臨界條件（受力）：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用：（2 2）小球能過最高點條件（運動）：）小球能過最高點條件（運動）： （3 3）不能過最高點條件：）不能過最高點條件： V V （實際上球還沒有到最高點時，就脫離了軌道）（實際上球還沒有到最高點時，就脫離了軌道）RgvmmgR臨界2rgv rg（當 時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力）歸納歸納：rgv 小試牛刀：質量為m的小球連在長為L輕桿上，在豎直平面內做圓周運動時若在最低點角速度為 請寫出球對桿作用力大小的表達式做一做：做一做：連著輕桿的小球能過連著輕桿的小

5、球能過最高點的最小速度是多少？最高點的最小速度是多少？勇于探索：勇于探索：桿對小球的作用力桿對小球的作用力方向與速度大小有何關系？作方向與速度大小有何關系？作用力的大小與速度有何關系？用力的大小與速度有何關系？ 放飛思想：放飛思想：若質量為若質量為m的小球在半徑為的小球在半徑為r的的光滑圓管中做圓周運動，小球做圓周運動光滑圓管中做圓周運動，小球做圓周運動的臨界條件是什么？球對管上、下壁的壓的臨界條件是什么？球對管上、下壁的壓力與小球的速度是什么關系？力與小球的速度是什么關系？ 在最高點時，沒有物體支撐，只能產生拉力輕桿對小球既能產生拉力，又能產生支持力 這節(jié)課你學會了什么？處理圓周運動問題的步

6、驟：1.明確研究對象明確研究對象2.分析運動：確定圓周運動所在的平面，明確圓周運動分析運動：確定圓周運動所在的平面，明確圓周運動的軌跡、半徑、圓心位置寫出運動需要的向心力。的軌跡、半徑、圓心位置寫出運動需要的向心力。3.分析受力分析受力并求出并求出沿半徑方向各個力的合力沿半徑方向各個力的合力。此合力。此合力提提供向心力。供向心力。4.據(jù)牛頓第二定律列方程據(jù)牛頓第二定律列方程F供供=F需，需，并求解。并求解。2、學會了對圓周運動中的最高點、最低點繩、桿及管、學會了對圓周運動中的最高點、最低點繩、桿及管道的上、下壁是否有作用力及作用力的方向以及是否道的上、下壁是否有作用力及作用力的方向以及是否能做

7、圓周運動是能做圓周運動是由物體的速度來決定的。由物體的速度來決定的。而這用作參而這用作參考的速度就是臨界速度考的速度就是臨界速度一個處理問題的一個處理問題的步驟步驟及分析問題的及分析問題的方法方法rg一、豎直平面內圓周運動的臨界問題 對于物體在豎直面內做的圓周運動對于物體在豎直面內做的圓周運動是一種是一種典型典型的變速曲線運動的變速曲線運動，該類運，該類運動常有動常有臨界問題臨界問題，題中常出現(xiàn)題中常出現(xiàn)“最最大大”“”“最小最小”“”“剛好剛好”等詞語，常分等詞語，常分析兩種模型析兩種模型輕繩模型和輕桿模型輕繩模型和輕桿模型，分析比較如下：分析比較如下：豎直平面內的圓周運動豎直平面內的圓周運

8、動 1.1.輕繩模型輕繩模型 ：能過最高點的臨界條件：能過最高點的臨界條件：RgvmmgR臨界2小球在最高點時繩子的拉力剛好小球在最高點時繩子的拉力剛好等于等于0 0，小球的重力充當圓周運，小球的重力充當圓周運動所需的向心力。動所需的向心力。圓周運動的臨界問題圓周運動的臨界問題豎直平面內的圓周運動豎直平面內的圓周運動 2.2.輕桿模型輕桿模型 ：能過最高點的臨界條件能過最高點的臨界條件（運動）：（運動）：0臨界vrgvrgv 歸納：歸納：桿與繩不同，它既能產生拉力，也能產生壓力桿與繩不同，它既能產生拉力，也能產生壓力能過最高點能過最高點v臨界臨界0，此時支持力，此時支持力Nmg；rgv0 當當

9、 時，時，N N為支持力，有為支持力，有0 0N Nmgmg，且，且N N隨隨v v的增大而減??；的增大而減?。划?時，N0；當當 ，N為拉力，有為拉力，有N0，N隨隨v的增大而增大的增大而增大質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動，經過最高點而不脫離軌道的臨界速度為v，當小球以2v的速度經過最高點時，對軌道的壓力是 （ ）A0 Bmg C3mg D5mgC例例2 2、長度為、長度為L L0.5m0.5m的輕質細桿的輕質細桿OAOA，A A端有一質量端有一質量為為m m3.0kg3.0kg的小球，如圖的小球，如圖5 5所示，小球以所示，小球以O O點為圓心點為圓心在豎直平面內做圓周運動

10、，通過最高點時小球的速在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率是率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，則此時細桿，則此時細桿OAOA受到受到（）（）A A、6.0N6.0N的拉力的拉力B B、6.0N6.0N的壓力的壓力C C、24N24N的拉力的拉力D D、24N24N的壓力的壓力B練習練習:用鋼管做成半徑為用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環(huán)的光滑圓環(huán)(管徑遠小管徑遠小于于R)豎直放置豎直放置,一小球一小球(可看作質點可看作質點,直徑略小于管徑直徑略小于管徑)質質量為量為m=0.2kg在環(huán)內做圓周運動在環(huán)內做圓周運動,求求:小球通過最高點小球通過最高點A時

11、時,下列兩種情況下球對管壁的作用力。下列兩種情況下球對管壁的作用力。 取取g=10m/s2A的速率為的速率為1.0m/sA的速率為的速率為4.0m/s 2/24/2022解解：AOm先求出桿的彈力為先求出桿的彈力為0的速率的速率v0mg=mv02/l v02=gl=5v0=2.25 m/s (1) v1=1m/s v0 球應受到外壁向下的支持力球應受到外壁向下的支持力N2如圖所示如圖所示:AOmFN2mg得得 FN2 =4.4 N由牛頓第三定律由牛頓第三定律,球對管壁的作用力分別為球對管壁的作用力分別為:(1)對內壁對內壁1.6N向下的壓力向下的壓力;(2)對外壁對外壁4.4N向上的向上的壓力

12、。壓力。lmvFmgN211 lmvFmgN222lmvFmgN2222/24/2022例3：輕桿長L=1m,其兩端各連接質量為1kg的小球，桿可繞距B端0.2m處的軸o在豎直面內自由轉動，輕桿由水平靜止轉至豎直方向，A球在最低點時的速度大小為4m/s，求此時B球對桿的作用力oABBAVA=4VBrA=0.8rB=0.2mgFB研研B B最高點，據(jù)牛二律最高點，據(jù)牛二律 mg+FB= m2rB解解 ABAB在同一個物體上同一時刻在同一個物體上同一時刻相同相同 在B通過最高點時FB= m2rB mg= 1520.2 110=5牛牛由題意，由題意，OBOB桿對桿對B B球作用力方向向上球作用力方向

13、向上據(jù)牛三律據(jù)牛三律 B B球對球對OBOB桿作用力向下，大小為桿作用力向下，大小為5N5NAAV45(rad / s)r0.8=2/24/2022AOB22.(2 ):(2 )BLgLg22.():()CLgLg22.():()DLgLg8如圖所示，長為2L的輕桿，兩端各固定一小球，A球質量為m1，B球質量m2。過桿的中點O有一水平光滑固定軸，桿可繞軸在豎直平面內轉動。當轉動到豎直位置且A球在上端、B球在下端時桿的角速度為，此時桿對轉軸的作用力為零，則A、B小球的質量之比為（ ）A 1：1 D2/24/2022例1：如圖所示，光滑圓盤中心有一個小孔，用細繩穿過小孔，兩端各系一小球A B，A

14、B等質量，盤上的小球A做半徑為r=20cm的勻速圓周運動，要保持B球靜止，A球的角速度多大？=？FmgF解：隔離解：隔離A A，據(jù)，據(jù) 牛二律牛二律 F= m2r 隔離隔離B B， F = mg 聯(lián)立解得聯(lián)立解得=gr=100.2=5 2(Rad/s)r=0.2實例研究實例研究連接體問題連接體問題2/24/2022例2：細繩一段系一質量為M=0.6千克,的物體,靜止在水平面上,另一端通過光滑小孔吊著質量m=0.3千克的物體,M的中心距圓孔0.2米,已知M與水平面間的最大靜摩擦力是2牛,現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動,問在什么范圍內m會處于靜止狀態(tài) =？FmgF解：研解：研A A即將向圓心滑動狀態(tài)，據(jù)

15、牛二律即將向圓心滑動狀態(tài)，據(jù)牛二律 F= 隔離隔離B B， F = mg r=0.2Mga1Nf21mr聯(lián)得1m g-f=Mr3-2=0.60.2研研A A即將背離圓心滑動狀態(tài)，據(jù)牛二律即將背離圓心滑動狀態(tài)，據(jù)牛二律=？FFMgaNfmg F=22mr 隔離隔離B B， F = mg 聯(lián)得2m g+f=Mr3+2=0.60.253=(rad/s)3515=(rad/s)32/24/2022例例3 3 如圖如圖6-11-96-11-9所示，固定在豎直平面內的光滑圓所示，固定在豎直平面內的光滑圓弧形軌道弧形軌道ABCDABCD，其，其A A點與圓心等高，點與圓心等高，D D點為軌道最高點，點為軌道

16、最高點，DBDB為豎直線，為豎直線，ACAC為水平線，為水平線，AEAE為水平面，今使小球自為水平面，今使小球自A A點正上方某處由靜止釋放，且從點正上方某處由靜止釋放，且從A A點進入圓形軌道運點進入圓形軌道運動，通過適當調整釋放點的高度，總能保證小球最終動，通過適當調整釋放點的高度，總能保證小球最終通過最高點通過最高點D D，則小球在通過，則小球在通過D D點后（點后（ ）A A會落到水平面會落到水平面AEAE上上 B B一定會再次落到圓軌道上一定會再次落到圓軌道上C C可能會落到水平面可能會落到水平面AEAE上上 D D可能會再次落到圓軌道上可能會再次落到圓軌道上A A在水平面上做圓周運

17、動的物體，當角速度在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力，接觸面的支持力接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力，接觸面的支持力等）。等）。二、在水平面內作圓周運動的臨界問題二、在水平面內作圓周運動的臨界問題例例4 4 如圖細繩一端系著質量如圖細繩一端系著質量M M0.6kg0.6kg的物體，靜止在的

18、物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質量水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質量m m0.3kg0.3kg的物體，的物體，M M與圓孔距離為與圓孔距離為0.2m0.2m，并知，并知M M和水平面的最大和水平面的最大靜摩擦力為靜摩擦力為2N2N。現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動，問角速?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動，問角速度度在什么范圍在什么范圍m m會處于靜止狀態(tài)？會處于靜止狀態(tài)？ （g g10m10ms s2 2）Mrom 解析解析 要使要使m m靜止，靜止，m m也應與平面相對靜止，而也應與平面相對靜止，而m m與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：當當為所求范圍最小值時，為所求范圍最小值時，m m有向著圓心運動的有向著圓心運動的趨勢，水平面對趨勢，水平面對m m的靜摩擦力的方向背離圓心，的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力大小等于最大靜摩擦力2 N.2 N.此時，對此時，對m m運用牛頓第二定律，運用牛頓第二定律，有有T Tf fmaxmaxm mr r ，且，且T Tmgmg解得解得1 12.9 rad/s.2.9 rad/s.當當為所求范圍最大值時，為所求范圍最大值時，