人口預測問題的數(shù)字建模

1、人口預測問題數(shù)學模型 岳靖雨 王澤摘 要在計劃生育的影響下，我國人口的出生率持續(xù)下降，遠遠低于其他發(fā)展中國家，甚至低于美英等發(fā)達國家。人口出生率的降低，帶來最直接的問題就是我國勞動力的逐年下降，尤其是青壯年勞動力的不足，從而嚴重影響了我國社會生產(chǎn)的發(fā)展。同時，隨時人們生活水平的提高以及衛(wèi)生醫(yī)療事業(yè)的發(fā)展，大大延長了國民的壽命，使得我國出現(xiàn)了人口老齡化的現(xiàn)象，并且這種現(xiàn)象呈現(xiàn)了日益嚴重的趨勢。為此，第十八屆中央委員會第三次全體會議決定開放單獨二胎政策，以提高我國人口的出生率以及降低人口老齡化程度?；诖耍疚闹荚谘芯块_放單獨二胎政策對我國人口出生率以及人口結構的影響。在參閱大量研究報告的基礎上，

2、構建了合適的預測人口的數(shù)學模型，對我國未來幾年內人口總數(shù)及老齡人口數(shù)進行了預測。通過得到的數(shù)據(jù)結果說明了，開放單獨二胎政策確實能夠提高我國人口的出生率，有效地緩解出生率下降的趨勢，但相對于我國的人口基數(shù)，這種增長是非常微小的；未來幾年內，我國老齡人口所占的比例仍會持續(xù)上升，但是在單獨二胎政策的影響下，我國老齡人口所占比例的增長率將會基本保持不變，不會出現(xiàn)計劃生育時期逐漸增大的現(xiàn)象。關鍵詞：單獨二胎政策；人口預測模型；人口老齡化；人口結構一、問題重述人口的數(shù)量和結構是影響經(jīng)濟社會發(fā)展的重要因素。從20世紀70年代后期以來，我國鼓勵晚婚晚育，提倡一對夫妻生育一個孩子。該政策實施30多年來，有效地控

3、制了我國人口的過快增長，對經(jīng)濟發(fā)展和人民生活的改善做出了積極的貢獻。但另一方面，其負面影響也開始顯現(xiàn)。如小學招生人數(shù)（1995年以來）、高校報名人數(shù)（2009年以來）逐年下降，勞動人口絕對數(shù)量開始步入下降通道，人口撫養(yǎng)比的相變時刻即將到來，這些對經(jīng)濟社會健康、可持續(xù)發(fā)展將產(chǎn)生一系列影響，引起了中央和社會各界的重視。因此，我國決定開放單獨二胎政策。實施這項政策不僅是計劃生育工作的一項重要調整，同時也充分適應了我國人口的發(fā)展趨勢，是滿足人民群眾需求的一項關鍵性舉措，具有重大現(xiàn)實意義。本文旨在發(fā)掘該項政策的改變對我國人口數(shù)量、人口老齡化的影響程度，對未來幾年內我國人口數(shù)量及老齡人口所占比例的變化趨勢

4、做出合理的預測。二、問題分析目前，已經(jīng)有了很多對人口預測的研究報告及研究方法。本文在參閱大量研究報告的基礎上，給出了三種典型的數(shù)學模型，分別是Logistic增長模型、線性回歸模型以及灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型。人口預測的準確與否，則取決于所采用的預測方法是否妥當。不同的預測模型，適用的范圍大不相同，相應地預測結果也會大不相同。例如，Logistic增長模型考慮到地球上的資源與生存空間是有限的，人口不可能無限增加。因此，在Logistic增長模型中人口的增長率是先增后減的；線性回歸模型認為數(shù)據(jù)之間呈線性相關，用一條直線去擬合數(shù)據(jù)，對線性相關的數(shù)據(jù)具有很好的擬合效果；灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型通

5、過對原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)并掌握系統(tǒng)發(fā)展的規(guī)律，對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學的定量預測。通過數(shù)據(jù)的累加或累減，能夠提高數(shù)據(jù)的光滑性，對于解決少數(shù)據(jù)，不確定的問題有獨特的優(yōu)勢。影響人口增長的因素繁多，任何一種模型都不能完整地預測其發(fā)展情況，具體采用何種模型或采用哪些種模型，是本文所要解決的主要問題之一。其次，在確定所用的模型之后，就要考慮單獨二胎政策的開放對我國人口的增長率及我國人口老齡化的影響程度，做出合理的預測。三、模型假設1、假設本問題所使用的數(shù)據(jù)均真實有效，具有統(tǒng)計分析價值；2、對人口的預測，只考慮生育模型、出生率、死亡率及性別等因素，不考慮自然災害、戰(zhàn)爭等引起的人口數(shù)量變化；

6、3、無較大的國際性人口遷移；4、65歲以上的人口為老齡人口；5、單獨二胎政策在全國范圍內均已實行。四、符號說明符號說明單位Logistic增長模型中，在時刻的人口數(shù)量萬人Logistic增長模型中的系數(shù)，稱為生命系數(shù)Logistic增長模型中的系數(shù)，稱為生命系數(shù)初始年的人口數(shù)量萬人線性回歸模型中的系數(shù)線性回歸模型中的樣本個數(shù)個我國歷年人口數(shù)量萬人對原始數(shù)據(jù)累加一次之后的數(shù)列萬人本文采用的預測我國人口數(shù)量的模型萬人預測人口下限值萬人預測人口上限值萬人五、典型預測模型簡介5.1 模型一：Logistic增長模型Logistic增長模型是一種S形函數(shù)模型，它是皮埃爾弗朗索瓦韋呂勒在1844或1845

7、年研究人口增長關系時提出并命名的。Logistic曲線可以模仿一些情況人口增長的S形曲線。起初階段大致是指數(shù)增長；然后開始變得飽和，增加變慢；最后，達到成熟時增加停止1。此模型屬于微分方程預報模型方法范疇，Logistic人口模型的一半形式為： (5-1)其中稱為生命系數(shù)，為在年時人口數(shù)量，為初始年的人口數(shù)量。(5-1)式是伯努利(Bernoulli)方程，利用計算機編程可得解為： (5-2)曲線的形狀如圖5.1所示，這種曲線稱為S形曲線，由曲線的形狀，可以得到如下結論：圖5.1 Logistic增長曲線在人口總數(shù)達到極限值一半(即)以前，是加速增長時期，過這一點以后，增長的速度逐漸小，并且遲

8、早會達到零，這是減速增長時期。5.2 模型二：線性回歸模型回歸分析起源于生物學研究，是由英國生物學家兼統(tǒng)計學家高爾登(Francis Galton 1822-1911)在19世紀末葉研究遺傳學特性時首先提出來的。高爾登在1889年發(fā)表的著作自然的遺傳中，提出了回歸分析方法以后，很快就應用到經(jīng)濟領域中來，而且這一名詞也一直為生物學和統(tǒng)計學所沿用1。設為自變量，為因變量，與之間存在某種線性關系，即一元線性回歸模型為： (5-3)其中代表影響因素，我們往往認為它是可以控制或預先給定的，故稱之為自變量；因變量就是我們的預測對象；常數(shù)是待定的參數(shù)。給定的對觀測值，代入式(5-3)得： (5-4)稱(5-

9、4)為一元線性回歸模型。顯然，此時的方程組個數(shù)大于待定參數(shù)的個數(shù)，方程無解。估計模型的回歸系數(shù)有許多方法，其中使用最廣泛的是最小二乘(OLS,Ordinary Least Square)法。待定參數(shù)可由下式給出： (5-5) (5-6)其中。5.3 模型三：灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型灰色系統(tǒng)理論指出，用離散的隨機數(shù)，經(jīng)過生成變?yōu)殡S機性被顯著削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)，這樣便可以對變化過程做較長時間的描述，進而建立微分方程形式的模型，建模的實質是建立微分方程的系數(shù)?；疑到y(tǒng)理論中的GM(1,N)模型能夠用于灰色預測，而當問題中考慮的變化趨勢只有一個參考數(shù)列時，也即模型GM(1,N)中的取為1，模型可

10、以化簡為GM(1,1)模型2。該模型如下所示：假設已知數(shù)列： (5-7)進而可以得到累加一次后的數(shù)列： (5-8)利用累加后的數(shù)列建立白化形式的微分方程： (5-9)設，按最小二乘法得到 (5-10)其中： (5-11)易求得該微分方程的解為： (5-12)再對求得的數(shù)列進行累減，就可得到相應的預測值。六、數(shù)值試驗及結果分析在閱讀大量文獻的基礎上，本文給出了三種典型的用于人口預測的模型。接下來將分別用這三種模型對我國的人口進行預測，通過比較、分析，找出較好的預測模型，最后利用該模型對我國出臺單獨二胎政策后的人口進行預測。數(shù)據(jù)來源于文獻4，20052012年我國的人口總數(shù)以及65歲以上的人口總數(shù)

11、如下表6.1所示：表6.1 歷年人口及65歲以上人口(萬人)年份20052006200720082009201020112012總人口13075613144813212913280213345013409113473513540465歲以上人口1005510419106361095611307118941228812714所占比例7.69%7.93%8.05%8.25%8.47%8.87%9.12%9.39%從上面的表格可以看出，我國老齡人口所占的比例逐漸增大，為此有必要改變我國的生育政策?；诖?，單獨二胎的政策才得以實現(xiàn)。接下來，分別利用前文中的三種人口預測模型對20052012年的人口進行

12、預測，得到相關的模型，分析、比對各個模型的好壞。模型一：Logistic增長模型將20052012年我國的總人口數(shù)代入到式(5-1)、(5-2)中，利用MATLAB程序Logistic.m文件進行預測，最終得到的模型為： (6-1)各年預測值與真值的比較如下表6.2以及圖6.1所示(其中*代表的是真實值，紅色折線代表的是預測值)：表6.2 Logistic增長模型的預測值與真實值的比較(萬人)年份20052006200720082009201020112012預測值130760131440132120132790133450134110134750135390真實值13075613144813

13、2129132802133450134091134735135404相對誤差%0.00310.00610.00680.00900.00000.01420.01110.0103誤差平方和969.0647圖6.1 Logistic增長模型的預測值與真實值的比較模型二：線性回歸模型將20052012年我國的總人口數(shù)代入到式(5-3)、(5-6)中，利用MATLAB程序Regress.m文件進行預測，最終得到的模型為： (6-2)各年預測值與真值的比較如下表6.3以及圖6.2所示(其中*代表的是真實值，紅色折線代表的是預測值)：表6.3 線性回歸模型的預測值與真實值的比較(萬人)年份200520062

14、00720082009201020112012預測值130790131450132110132770133430134090134750135410真實值130756131448132129132802133450134091134735135404相對誤差%0.02600.00150.01440.02410.01500.00070.01110.0044誤差平方和3153.7圖6.2 線性回歸模型的預測值與真實值的比較模型三：灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型將20052012年我國的總人口數(shù)代入到式(5-7)(5-12)中，利用MATLAB程序GM1_1.m文件進行預測，最終得到的模型為： (6-3

15、)然后可以利用該模型進行預測，第時刻的預測值為： (6-4)顯然預測值是關于的增函數(shù)，說明我國的總人口是呈上升趨勢的。接下來利用(6-4)式對我國總人口進行預測，各年預測值與真值的比較如下表6.4以及圖6.3所示(其中*代表的是真實值，紅色折線代表的是預測值)：表6.4 GM1_1模型的預測值與真實值的比較(萬人)年份20052006200720082009201020112012預測值130756131477132125132776133430134088134749135413真實值130756131448132129132802133450134091134735135404相對誤差%0

16、.00000.02210.00300.01960.01500.00220.01040.0066誤差平方和2191.3圖6.3 GM1_1模型的預測值與真實值的比較三種模型的對比、分析為了比較三種模型的預測效果，將前文中的結果進行對比，觀察下表6.5可知：表6.5 三種模型預測效果比較(萬人)年份人口真實值Logistic模型線性回歸模型灰色GM(1,1)模型預測值相對誤差(%)預測值相對誤差(%)預測值相對誤差(%)20051307561307600.00311307900.02601307560.000020061314481314400.00611314500.00151314770.02

17、2120071321291321200.00681321100.01441321250.003020081328021327900.00901327700.02411327760.019620091334501334500.00001334300.01501334300.015020101340911341100.01421340900.00071340880.002220111347351347500.01111347500.01111347490.010420121354041353900.01031354100.00441354130.0066誤差平方和969.06473153.7219

18、1.3從上面的結果可以清晰的看出，Logistic模型的預測效果最好，而線性回歸模型的預測效果最差。這是因為，Logistic增長模型考慮到人口總數(shù)增長的有限性，且提出了人口總數(shù)增長的規(guī)律即隨著人口總數(shù)的增長，人口增長率逐漸下降。從Logistic模型中的預測結果可以發(fā)現(xiàn)，2009年以前預測值基本都在真實值以下，而2009年以后的預測值均在真實值以上。而灰色GM(1,1)模型對真實值的預測，基本是均勻變化的。為此，本文考慮將兩種模型預測值的均值作為對真實值的預測，即： (6-5)利用(6-5)重新計算人口預測值，如下表6.6所示表6.6 組合模型的預測值與真實值的比較(萬人)年份2005200

19、6200720082009201020112012預測值130758131459132123132783133440134099134750135402真實值130756131448132129132802133450134091134735135404相對誤差%0.00150.00800.00490.01430.00750.00600.01080.0018誤差平方和898在表6.6中，無論是各年預測值的誤差還是總的誤差平方和，都得到了很大的改善，說明這種組合模型對人口的預測具有很好的效果。為此，本文擬采用這種方法對我國生育政策調整后的人口進行預測。由于2013年的中國統(tǒng)計年鑒尚未出臺，因此本

20、文利用該組合模型對2013及2014年的總人口進行預測可得136046和136691(萬人)。然而，單獨二胎政策是于2013年11月9日至12日在北京舉行的第十八屆中央委員會第三次全體會議中提出來的。因此，該項政策的提出對2014年我國新生兒數(shù)量增長的實際影響還沒發(fā)精確計算出，只能給出大致的范圍。在文獻5中指出，短期內我國可能會出現(xiàn)小的生育回潮，新生嬰兒增多，預計每年將達到100200萬左右。所以，2014年的總人口預計在136791136891(萬人)。進而，本文對未來幾年內的人口預測給出的也是一個范圍，即預測人口的最大值及最小值。為了預測開放單獨二胎政策后我國人口的變化，將2013及201

21、4年的人口加入到20052012年的原始數(shù)據(jù)中，形成新的數(shù)據(jù)。利用前文的方法，能夠形成新的預測模型，最終結果如下：其中和分別表示預測的最小值和最大值。利用和可對我國未來幾年內的人口總數(shù)進行預測，為了更好的體現(xiàn)單獨二胎政策的效果，利用(6-5)及和分別對原始數(shù)據(jù)(認為沒有開放單獨二胎政策，2014年新生嬰兒無明顯增多)及新數(shù)據(jù)進行預測(認為實行單獨二胎政策，2014年新增嬰兒100200萬)，相關結果如下表6.7、圖6.4所示：表6.7 開放單獨二胎政策前后人口的預測值對比 (萬人)年份2014201520162017201820192020(原)預測值136691137341137981138

22、619139255139888140519人口增長率(%)0.47410.47550.46600.46240.45880.45460.4511(新)預測值下限136791137418138083138749139415140081140748人口增長率(%)0.54760.45840.48390.48230.48000.47770.4762(新)預測值上限136891137459138140138824139510140198140889人口增長率(%)0.62110.41490.49540.49510.49420.49320.4929圖6.4 開放單獨二胎政策前后人口的預測值對比從表6.7及

23、圖6.4中可以看出，開放單獨二胎政策后，原數(shù)據(jù)的預測值均在新數(shù)據(jù)的預測值之下，說明我國人口的增長明顯提高了。同時，原始數(shù)據(jù)的人口增長率明顯呈下降趨勢，而開放單獨二胎政策后，人口增長率得到了提高并且下降的速度得到了緩解，說明在單獨二胎的政策下，確實能使我國新生兒的出生率提高。人口結構的研究隨著社會的發(fā)展，我國老齡人口所占比例逐年提高，并呈現(xiàn)出“未富先老”的特點。然而，在計劃生育政策的影響下，我國人口出生率遠遠低于同屬發(fā)展中國家的印度等國，甚至低于美英等發(fā)達國家。使得我國的勞動力逐年下降，尤其是青壯年勞動力不足，從而影響我國社會生產(chǎn)的發(fā)展。在此情況下，第十八屆中央委員會第三次全體會議決定開放單獨二

24、胎政策。為此，在政策改變的情況下，有必要研究我國人口結構的變化。本文主要研究未來幾年內，我國老齡人口所占全部人口的比例。但是，在這里我們要注意的是，對老齡人口的預測不能應用和來進行預測，因為和代表的是開放單獨二胎政策后，我國新生嬰兒的增量，而這些新生嬰兒至多步入青年期，因此不會對我國未來幾年內的老齡人口(65歲及以上)產(chǎn)生影響。所以，對老齡人口的預測應該使用(6-5)式，即不考慮單獨二胎政策帶來的新生兒的增量，同時計算老齡人口所占總人口比例。相應的數(shù)學模型及計算結果如下所示：表6.8 老齡人口數(shù)及其占總人口比例(萬人)年份2014201520162017201820192020預測值13551

25、140161449814996155111604416595比例下限(%)9.899110.196510.495110.802211.118211.443811.7788比例上限(%)9.906410.199510.499510.808011.125811.453411.7906表6.9 老齡人口所占比例(%)年份比例年份比例下限比例上限20057.689920139.62919.629120067.926320149.89919.906420078.0497201510.196510.199520088.2499201610.495110.499520098.4728201710.802210.808020108.8701201811.118211.125820119.1201201911.443811.453420129.3897202011.778811.7906圖6.5 老齡人口所占比例的變化趨勢從上面的表6.8、表6.9、以及圖6.