離散數(shù)學第十三十四章半群與群環(huán)與域

1、第十三、十四章第十三、十四章 半群與群、環(huán)與域半群與群、環(huán)與域l13.1 半群和獨異點的定義l13.4 群的基本定義l14.1 環(huán)的定義l14.4 域的定義13.1 半群和獨異點的定義半群和獨異點的定義定義13.1.1 給定，若 滿足結合律，則稱為半群。即對S中的任意元素x,y,z，有 (x y) z=x (y z)?？梢?，半群就是由集合及其上定義的一個可結合的二元運算組成的代數(shù)結構。定義13.1.2 給定，若是半群且有幺元或滿足結合律且擁有幺元，則稱為獨異點?？梢钥闯?，獨異點是含有幺元的半群。因此有些著作者將獨異點叫做含幺半群。有時為了強調幺元e，獨異點表為。例例13.1.1 給定和，其中N

2、為自然數(shù)集合，+和為普通加法和乘法。由普通加法和乘法滿足結合律易知，和都是半群，而且還是獨異點。因為0是+的幺元，1是的幺元。 例例 由有限字母表所組成的字母串集合*與并置運算所構成的代數(shù)結構是個特異點。因為首先它滿足結合律，例如ab/(cd/ef ) = (ab/cd)/ef = abcdef.其次，它有一個幺元，使得對*內任意一元素A，有 /A=A/=A.故是個特異點。顯然，我們令+ *，則是一個半群。定義13.1.3 給定半群，若 是可交換的，則稱是可交換半群。類似地可定義可交換獨異點。例例13.1.2 給定和，其中P(S)是集合S的冪集，和為集合上的并與交運算?？芍投际强山粨Q半群。不

3、僅如此，它們還都是可交換獨異點，因為與S分別是它們的幺元。 13.4 群的基本定義群的基本定義定義13.4.1 給定，若是獨異點且每個元素存在逆元，或者說 是可結合的，關于 存在幺元，G中每個元素關于 是可逆的，則稱是群?？梢?，群是獨異點的特例，或者說，群比獨異點有更強的條件。例例13.4.1 給定和，其中Z和Q分別是整數(shù)集合和有理數(shù)集合，+和是一般加法和乘法?？芍侨?，0是幺元，每個元素iZ的逆元是-i；不是群，1是幺元，0無逆元。但便成為群。這里我們只介紹群的一個重要性質：定理13.4.1 是群|G|1無零元。其中|G|表示集合G的基數(shù)（勢）證明見p255定義13.4.4 給定群，若 是可

4、交換的，則稱是可交換群或是Abel群。例例13.4.3 例13.4.1中和例12.1.2中都是Abel群。 14.1 環(huán)環(huán)定義14.1.1 給定，其中+和都是二元運算，若是Abel群，是半群，對于+是可分配的，即：對任意x,y,zR，x (y+z) = x y + x z(y+z) x = y x + z x則稱是環(huán)。為了方便，通常將+稱為加法，將稱為乘法，把稱為加法群，稱為乘法半群。而且還規(guī)定，運算的順序先乘法后加法。注意這里加法和乘法不一定僅限于初等數(shù)學的加與乘。同樣，加運算的幺元我們用“0”表示，乘運算的幺元用“1”表示，0與1的含義也不一定僅限于初等代數(shù)中的0與1.由于環(huán)的定義中的存在

5、，對于+是可分配的，即：對任意x,y,zR，x (y+z) = x y + x z(y+z) x = y x + z x所以加法的幺元(我們用0表示)必是乘法的零元，故有零元。但我們知道，群中一定不出現(xiàn)零元，因此不可能是群，只是一個半群。定義 環(huán)的加法群的幺元或乘法零元稱為環(huán)的零元，以0示之。若aR，則其加法逆元以a表之。常常又根據(jù)環(huán)中乘法半群滿足不同性質，將環(huán)冠于不同的名稱。定義14.1.2 給定環(huán)，若是可交換半群，則稱是可交換環(huán)；若是獨異點，則稱是含幺環(huán)(即的幺元就稱為環(huán)的幺元)；若滿足等冪律，則稱是布爾環(huán)。通常用1表示的幺元。在中，若aR的逆元存在，則以a-1表示其乘法逆元。例例14.1.1 ，和等都是環(huán)。而且除外都是擁有加法幺元數(shù)0和乘法幺元數(shù)1的可交換含幺環(huán)。這里Z、R、Q、E、C分別為整數(shù)集合、實數(shù)集合、有理數(shù)集合、偶數(shù)集合和復數(shù)集合，而+和分別是大家熟悉的加法和乘法運算。例 是環(huán)，其中Mn(R)是n階實矩陣的集合，+、 分別是矩陣加法和乘法。14.4 域域對于環(huán)施加進一步限制，即是可交換群，便得到另外