八年級(jí)軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題

1、軸對(duì)稱(chēng)： 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題(第1課時(shí))一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容從生活中抽象出、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用軸對(duì)稱(chēng)研究某些最短路徑問(wèn)題2內(nèi)容解析最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”“連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線(xiàn)段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線(xiàn)段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短” (或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問(wèn)題2、 教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)知識(shí)與技能：利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

2、最短和軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題過(guò)程與方法：體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，在小組合作學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)的興趣重難點(diǎn)：會(huì)用轉(zhuǎn)化思想解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，在此前很少在幾何中涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手解答“當(dāng)點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè)時(shí)，如何在l找到點(diǎn)C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線(xiàn)l異側(cè)的兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存

3、在理解上和操作上的困難在證明“最短”時(shí)，需要在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)(與所求作的點(diǎn)不重合)，證明所連線(xiàn)段和大于所求作的線(xiàn)段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線(xiàn)l異側(cè)的兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題”，為學(xué)生搭建“腳手架”在證明“最短”時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)“任意”的作用本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)引言前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”“連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用說(shuō)學(xué)知識(shí)探

4、究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”1將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題1 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪(fǎng)海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖1 中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線(xiàn)全程最短?精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？BAlB··Al 圖1圖2(1)這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回答將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線(xiàn)(圖2)(2)你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)

5、問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生先互相交流，嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為最短的直線(xiàn)l上的點(diǎn)設(shè)C為直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小(圖3)BAlC圖3設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線(xiàn)段和最小問(wèn)題”2嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題B·圖4lA·問(wèn)題2 如圖3，點(diǎn)A，B在

6、直線(xiàn)l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。繋熒顒?dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，互相交流，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，相互補(bǔ)充如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示：(1)如圖4，點(diǎn)A，B分別是直線(xiàn)l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)分別到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離和最短？(2)對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B處，滿(mǎn)足直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB的長(zhǎng)度相等？(3)你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到(2)中符合條件的點(diǎn)B嗎？圖5ABlB'C對(duì)于(1)，學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，很容易解決這個(gè)問(wèn)題即：連接AB，與直線(xiàn)l相交于一點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，可

7、知這個(gè)交點(diǎn)即為所求；對(duì)于(2)(3)，學(xué)生獨(dú)立思考后，嘗試畫(huà)圖，尋找符合條件的點(diǎn)，然后小組交流，學(xué)生代表匯報(bào)交流結(jié)果，師生共同補(bǔ)充得出：只要作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，就可以滿(mǎn)足CBCB(圖5)再利用(1)的方法，連接AB，則AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為所求學(xué)生敘述，教師板書(shū)，并畫(huà)圖(圖5)，同時(shí)學(xué)生在自己的練習(xí)本上畫(huà)圖作法：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；(2)連接AB，與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C即為所求設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)搭建臺(tái)階，為學(xué)生探究問(wèn)題提供“腳手架”，將“同側(cè)”難于解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問(wèn)題，滲透轉(zhuǎn)化思想3證明“最短”問(wèn)題3：你能用所學(xué)的知識(shí)證明ACBC最短嗎？先小組討論十分鐘師生

8、活動(dòng)：師生共同分析，然后學(xué)生說(shuō)明證明過(guò)程，教師板書(shū)：AlB'CC'B證明：如圖6，在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C不重合)，連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC圖6在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短追問(wèn)1：證明ACBC最短時(shí)，為什么要在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C不重合)，證明ACBCACBC？這里的“C”的作用是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C不重合)與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于ACBC，就說(shuō)明ACBC最小設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高

9、邏輯思維能力追問(wèn)2: 回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在反思的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)練習(xí)河岸大橋山ABCQP圖7如圖7，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，最后回到P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成畫(huà)圖其基本思路為：由于兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，所以首先可連接PQ，線(xiàn)段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線(xiàn)路將河岸抽象為一條直線(xiàn)BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線(xiàn)BC的同側(cè)，如何在BC找到一點(diǎn)R，使PR與Q

10、R的和最小”設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法4小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：(1)本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？(2)軸對(duì)稱(chēng)在所研究問(wèn)題中起什么作用？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的基本策略、基本思路和基本方法，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值 5. 思考題 如圖，一牧民需要從P處把羊趕去草地吃草，后去水渠喝水，最后回到營(yíng)地Q處，牧民該如何規(guī)劃路錢(qián)? m 草地 .P .Q 水渠n 設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問(wèn)題學(xué)生們肯定有多種方案，讓他們課后自己討論，用自己的知識(shí)去說(shuō)服別人，通過(guò)這種互相競(jìng)爭(zhēng)的方式，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣 這節(jié)課知識(shí)點(diǎn)雖然比較單一，內(nèi)容也比較少，但是最短路徑問(wèn)題也不是那么好理解的，要光靠講能講清并不容