用彼得斯公式估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的誤差分析

1、用彼得斯公式估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的誤差分析朱 安 遠(yuǎn)（冶金工業(yè)部自動(dòng)化研究院·北京，100071）【摘要】本文作者獨(dú)立地推導(dǎo)出了用彼得斯公式估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn) 差系數(shù) Cn 的計(jì)算公式。根據(jù)各種估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差方法的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) Cn 的大小，我們可以分析出各種估計(jì)方法的優(yōu)劣及其適用范圍。【關(guān)鍵詞】彼得斯公式 總體標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) 誤差分析1 彼得斯公式及其由來(lái) 假設(shè)總體為獨(dú)立地抽自總體X的一個(gè)隨機(jī)樣本，定義隨機(jī)變量 其中 這里不妨假設(shè)n為大于2的正整數(shù)。 因故即隨機(jī)變量和隨機(jī)變量 之間的相關(guān)系數(shù)為 據(jù)此其聯(lián)合概率密度就確定了。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們就可求得隨機(jī)變量的概率密度為： 在上式中代入

2、則 在推導(dǎo)彼得斯公式之前，作為預(yù)備知識(shí)，我們先介紹絕對(duì)正態(tài)分布。 絕對(duì)正態(tài)分布是一種常見(jiàn)的不對(duì)稱(chēng)分布。只計(jì)大小而不計(jì)方向的隨機(jī)誤差一般都服從絕對(duì)正態(tài)分布。假設(shè)且 X1，X2 相互獨(dú)立，則 即 其中 那么隨機(jī)變量 的分布就是一個(gè)絕對(duì)正態(tài)分布。不難求得隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 上式中 在上述結(jié)論中，令亦即k = 0 ,則 隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望為： 于是用 作為標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)。此公式就是用于計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差的彼得斯 (Peters) 公式。彼得斯（C. A. F. Peters ,18061880）是德國(guó)天文學(xué)家，18391849年在俄國(guó)工作，主要成就是確定章動(dòng)常數(shù)和恒星視差的光行差

3、等。 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，評(píng)定實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度（Accuracy）是一個(gè)極其重要的問(wèn)題。在評(píng)定準(zhǔn)確度的時(shí)候，一般都要計(jì)算實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的方法除彼得斯法外，還有貝塞爾法、極差法、較差法、最大誤差法和最大殘差法等。標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)理論和實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)都是一個(gè)很重要的指標(biāo)，它描述了隨機(jī)變量的可能值與均值的疏密程度。2 彼得斯公式的誤差分析 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，可能同時(shí)存在系統(tǒng)誤差（Systematic Error）、隨機(jī)誤差（Random Error）和粗大誤差（Parasitic Error）。 當(dāng)粗大誤差被剔除后，決定準(zhǔn)確度的就是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差影響實(shí)驗(yàn)的正確度（Correctness），隨機(jī)誤差影

4、響實(shí)驗(yàn)的精密度（Precision）。 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成結(jié)果稱(chēng)為綜合誤差 ( Composite Error )。而實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度（Accuracy）就是用綜合誤差來(lái)衡量的，它表征了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真值的接近程度。 因?yàn)楸说盟构绞菬o(wú)偏估計(jì) ,故不存在系統(tǒng)誤差。下面我們重點(diǎn)來(lái)討論彼得斯公式的隨機(jī)誤差。由于隨機(jī)變量 和 ( ij，i & j1, 2, , n）之間不是相互獨(dú)立的，其相關(guān)系數(shù)不易求得，故隨機(jī)變量 的方差也不易求得。在這里我們采用下述獨(dú)特的思路來(lái)求隨機(jī)變量Y的方差：首先求出隨機(jī)變量 和它們之間也不是相互獨(dú)立的）的聯(lián)合概率密度，然后求出隨機(jī)變量和 的聯(lián)合概率密度，由此可求得聯(lián)合

5、數(shù)學(xué)期望E(Wi Wj )。根據(jù)公式COV(Wi，Wj )E(Wi Wj )E(Wi )·E(Wj )即可求得隨機(jī)變量Wi 和Wj 之間的協(xié)方差。在此基礎(chǔ)上求隨機(jī)變量Y的方差就輕而易舉了。下面我們就來(lái)逐步地作這些工作： 對(duì)于隨機(jī)變量Vi 和Vj（ij，i & j1, 2, , n），有 故其相關(guān)系數(shù)為： 故二維正態(tài)隨機(jī)變量（Vi，Vj）的聯(lián)合概率密度為： 令 則二維隨機(jī)變量（Wi，Wj ）的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度分別為： 其余地方為零) 其余地方為零) 在上式中代入則 令則 又令則 再令即則 上式中常數(shù) 又 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明： 其中 k = 0, 1, 2, ) 隨機(jī)

6、變量和的協(xié)方差為： 隨機(jī)變量的方差為： 前面已作過(guò)n > 2的假設(shè)，實(shí)際上經(jīng)驗(yàn)算此公式也適合n = 2時(shí)的情況。 用彼得斯公式來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差是無(wú)偏估計(jì)，不存在系統(tǒng)誤差，其隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為故定義其標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為： 精確到小數(shù)點(diǎn)后六位，借助于計(jì)算機(jī)用Excel 97算得標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)Cn如下面的表1所示。根據(jù)各種估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差方法（如貝塞爾法、極差法、較差法、最大誤差法和最大殘差法等）的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) Cn 的大小，我們可以分析出各種方法的優(yōu)劣及其適用范圍。參 考 文 獻(xiàn)1 張世英、劉智敏 編著 ，測(cè)量實(shí)踐的數(shù)據(jù)處理，科學(xué)出版社，1977 年11月（首版）。2 M. 費(fèi)史(波蘭) 著，王福保

7、 譯 ，概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)， 上?？茖W(xué) 技術(shù)出版社，1962年10月（首版）。1990年03月21日完成第一稿1990年12月25日完成第二稿 1998年10月20日完成此定稿The Error Analysis of a Population Standard Deviation Estimated by Peters FormulaZhu An-yuan(Automation Research Institute of Ministry of Metallurgical Industry , Beijing , 100071)Abstract The author has exported

8、on his own the calculating formula of a standard deviation coefficient Cn of a population standard deviation estimated by Peters formula . It can be analysed that various estimating methods are good ,bad and their scope of application according to big or small of different standard deviation coefficients Cns of various estimating methods .Keywords Peters formula population standard deviation standard deviation coefficient error analysis作 者 簡(jiǎn) 介朱安遠(yuǎn) 1964年10月生于湖南省邵東縣。1985年7月畢業(yè)于包頭鋼鐵學(xué)院機(jī)電工程系工業(yè)電氣自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)，獲工學(xué)學(xué)士學(xué)位?，F(xiàn)為冶金工業(yè)部自動(dòng)化研究