第一講隨機(jī)事件及其概率

1、 第一講 隨機(jī)事件及其概率一、 基本概念：1、 隨機(jī)試驗(yàn)：三要素可重復(fù)；知所有可能結(jié)果；試驗(yàn)結(jié)束前未知何結(jié)果?；境霭l(fā)點(diǎn)：解任何概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，要與試驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，什么類(lèi)型的試驗(yàn)（即什么概型）。樣本空間（S，）實(shí)驗(yàn)的每一結(jié)果稱(chēng)為基本事件；實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果或所有基本事件稱(chēng)為樣本空間；若干基本事件的整體稱(chēng)為復(fù)合事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件。與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系：基本事件，事件，樣本空間對(duì)應(yīng)了元素，集合，全集。和（并），積（交），對(duì)立（余），差（相對(duì)余）。2、 事件A發(fā)生:指組成事件A的某基本事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了。如果事件A指擲均勻六面體出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，那么擲一次出現(xiàn)2或4或6都認(rèn)為事件A發(fā)生了。3、 對(duì)偶原理（德摩根公式

2、）：交之余等于余之并；并之余等于余之交。即 4、不可能事件的概率為0，反之不然。5、互逆事件 互不相容事件（互斥），反之不然。6、可數(shù)與可列的的概念：稱(chēng)集合A是可數(shù)的（又稱(chēng)可列的），如果集合A的元素可以按照某種規(guī)則排列成 （）例如整數(shù)集是可列的，因?yàn)榭梢园磁帕谐?其中 ，是不超過(guò)x的最大整數(shù)。即0排在第一位，正整數(shù)i排在第2i位上，即，負(fù)整數(shù)。注意到自然數(shù)集也可排列成(1.1)式，故自然數(shù)集與非負(fù)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)，自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集有同樣多的元素，這是非常深刻的結(jié)論：所有可列集的元素一樣多，這也是無(wú)窮集與有限集的本質(zhì)差異。由于有理數(shù)集也是可列的，因此有理數(shù)集與自然數(shù)集的元素一樣多。7、概率的公理

3、化定義：由非負(fù)性、規(guī)范性、可數(shù)可加性定義。8、概率的基本運(yùn)算性質(zhì)：AB則P(A)()且P(BA)=P(B)P(A)；加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)；減法公式：P(AB)=P(A) P(AB) 逆事件公式：P()=1P(A)。9、條件概率：P(A)，P(B)=。乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B).10、獨(dú)立性：事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，則事件A，B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B) P(B)=P(B),當(dāng)P(A)>0 (指條件概率等于無(wú)條件概率) 。A，B，C相互獨(dú)立，則與B，A與，與都相互獨(dú)立，A與B、C的任何運(yùn)算都獨(dú)立，如A與B、BC等

4、獨(dú)立。P(A)，P(B)0，則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。相互獨(dú)立倆倆獨(dú)立，反之不然。二、概型與基本公式：1、 加法公式、乘法公式、德摩根公式、逆事件公式。2、 全概率公式：，設(shè)清楚事件及窨的分劃3、 貝葉斯公式：4、 古典概型（包括幾何概型）：實(shí)驗(yàn)結(jié)果等可能發(fā)生。通常表述成P(A)=（A的有利事件數(shù)）÷(的基本事件總數(shù)) 也可表述成： P(A)=# ( A ) ÷ # ()其中#（A）表示集合A的元素個(gè)數(shù)（古典概型中）或集合A的測(cè)度（幾何概型中）。5、 n重貝努里概型：n次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，每次可能結(jié)果只有兩個(gè)，事件A發(fā)生或不發(fā)生，P(A)=p，則P(事件A發(fā)生k次)=n

5、（即二項(xiàng)分布）。三、典型例題：1、 關(guān)于事件運(yùn)算例1.1 () 設(shè)A、B是任意兩隨機(jī)事件，則解： = （這里用到AB是B的子集及吸收律）例1.2 a.(89.1)已知P(A)=0.5，P(B)=，P(B)=，求P(AB)b. P()=0.4，P(B)=，P(A)=，求P(A解：a. 利用加法公式、乘法公式計(jì)算事件概率P(AB)=P(B)×P(A)=，P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7b. P(A 例1.3（） 若P(AB)=0則（ ）成立。A、A,B互斥； B、A=； C、A,B未必不可能； D、P(A)=0或P(B)=0解：根據(jù)概念與性質(zhì)，概率為零的事件不一定是不可能事件，

6、故選C。例1.4 (89.4,5) A=“甲產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙產(chǎn)品滯銷(xiāo)”，求A的逆事件。解：本例是用事件描述一事物，設(shè)B1，B2分別為甲乙兩產(chǎn)品暢銷(xiāo)，由題設(shè)A= ，再由對(duì)偶原理 因此A的對(duì)立事件是“甲產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙產(chǎn)品暢銷(xiāo)”。例1.5從某系學(xué)生中任選一名學(xué)生，A=所選者會(huì)英語(yǔ)；B=所選者會(huì)日語(yǔ))，=選者是男。試描述事件AC和A=B。 解：AC表示所選者是會(huì)英語(yǔ)的男生；A=B 則表示會(huì)英語(yǔ)則必會(huì)日語(yǔ)，會(huì)日語(yǔ)則必會(huì)英語(yǔ)。請(qǐng)注意這兩者的差異。 例1.6(003,4) 4個(gè)溫控器只要兩個(gè)溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度，電爐將斷電，假定，是4個(gè)溫控器從小到大顯示的溫度, E=“電爐斷電”，則E= 2、 摸球與球

7、盒問(wèn)題例1.7 () 一批產(chǎn)品中共有10件正品，2件次品，任意抽取兩次，每次一個(gè)，抽出后不再放回，求第二次抽出次品的概率。解法一：兩次抽取，視為一整體考慮，#（）=12×11A= 第一次次品,第二次次品)，（第一次正品，第二次次品 ，故 #(A)=， P(A)=解法二：分別考慮兩次抽取，按全概率公式計(jì)算：所討論的問(wèn)題是求第二次抽取到次品的概率，而對(duì)第一次的情況不關(guān)心，但第一次的結(jié)果影響第二次抽取的結(jié)果。于是可設(shè)，分別表示第一次、第二次取到次品的事件，P()=注：a、第一次取到次品的概率，而兩次都取到次品的概率： ，即故不獨(dú)立，這表明：放回抽樣概率相等且獨(dú)立，不放回抽樣概率相等不獨(dú)立。

8、但打?qū)χ鳎ㄉ?jí)）時(shí)“搶3”，先抓合適。 b、（）箱中盛有20個(gè)黃球30個(gè)白球，依次取出不放回，則第二次取到黃球的概率為。 C、問(wèn)題擴(kuò)充：箱中盛有個(gè)白球，個(gè)黑球，將球一只只（不放回）取出，問(wèn)第k 次摸出的球?yàn)榘浊虻母怕省?這時(shí)不能按上述方法考慮，可采取“定位”方法處理，先確定特殊的、感興趣的。 解法一：先考慮球不可辨別的情形。 在個(gè)位置上確定個(gè)位置放白球，余下的個(gè)位置無(wú)選擇，只能放黑球，故共有種可能，即#。 有利事件A可這樣考慮，先在第k個(gè)位置放白球，余下的個(gè)位置確定個(gè)位置放白球，余下的位置上放黑球，共有種可能，即 # (A )=。 解法二：再考慮球可辨別的情形，將白球黑球編號(hào)成，這時(shí)#！，有利

9、事件A可這樣考慮，在第k位置放白球，有種可能，余下的個(gè)位置放個(gè)球，故#（A）=×()!， 解法三：球不可辨，考慮只取k個(gè)球，(因?yàn)楹竺婷降那蚺c問(wèn)題無(wú)關(guān))， =（）()，。 這三種方法都得到 。 例1.8 將n個(gè)球隨機(jī)地放到r個(gè)盒中，(n>r)，求沒(méi)有空盒的概率。 解：將盒子并放在一起，用 “1”，“1”表示盒子的壁，“0”表示球，r個(gè)盒子共r1個(gè)壁，球不能放在盒外，將“壁”球混放在一起，一頭一尾放壁，#()相當(dāng)于r1n個(gè)兩種元素的擺放方法，共有種排法，有利事件是兩側(cè)先放壁，n個(gè)球放在兩壁中，即形如1 0 0 , n 個(gè)球有n1個(gè)空，在n1個(gè)空中插入r1個(gè)壁，就構(gòu)成了沒(méi)有空盒的

10、事件，故 。 3、按基本公式計(jì)算事件概率。例1.9 某地有甲乙丙三種報(bào)紙，25%讀甲報(bào)，20%讀乙報(bào)，16%讀丙報(bào)，10%兼讀甲乙兩報(bào)，5%讀甲丙兩報(bào)，4%讀乙丙兩報(bào)，2%讀甲乙丙三報(bào)，求： a、只讀甲報(bào)所占比例 b、至少讀一種報(bào)紙所占比例 解：設(shè)讀甲、乙、丙三種報(bào)紙的事件分別為：A、B、C 由已知條件，P(A)= P(B P(C P(AB P(AC P(BC P(ABCa) b） =P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) =0.04)例1.10 (88.4.5) 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1,0.1，顧客購(gòu)買(mǎi)時(shí)

11、，售貨員隨意取一箱，顧客隨機(jī)查看4只，若無(wú)殘次品，則買(mǎi)下，否則退回，試求：a、顧客買(mǎi)下該箱的概率；b、顧客買(mǎi)下的一箱中，確實(shí)無(wú)殘次品概率。解：箱中有i件次品 , = 0,1,2 , 客買(mǎi)下該=P(A)=10.1+12/19=P()=P()/P(A)=1 、按步計(jì)算 例1.11 一副撲克去掉大小王(共52張)，從中任取張，求取到full house (事件)的概率a和雙對(duì)（事件）的概率。解：按牌點(diǎn)分類(lèi)，共1種牌點(diǎn)，事件只有兩種牌點(diǎn)，從1種牌點(diǎn)中取兩種牌點(diǎn)，共有種取法如Q , 5；從兩種牌點(diǎn)中指定一種為三張的如Q，有種取法，再?gòu)乃姆N花色中分別取三張Q，兩張5共有種取法，故()=而()=， 同理，雙

12、對(duì)的概率：注：鞋子配對(duì)也是這類(lèi)問(wèn)題，如從5雙鞋中，任取4只，恰有一雙配對(duì)的概率為。 、逆事件法與排除法例1.12 某市有輛汽車(chē)，編號(hào)，有人將他遇到過(guò)的n輛汽車(chē)（可以重復(fù)）的牌號(hào)全部記錄下來(lái)，假設(shè)每輛車(chē)被遇到的機(jī)會(huì)相同，求抄到的最大號(hào)碼恰是k（事件A）的概率。解：（用排除法）號(hào)碼允許重復(fù)，故()=。表示n輛車(chē)的號(hào)碼均不超過(guò)j，于是 .例1.13 袋中裝有只黑球只白球，每次從袋中隨機(jī)摸出一球，然后換入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求第k次取到黑球的概率。解：直接計(jì)算很困難，因?yàn)榍発1次的情況太復(fù)雜（有可能第j（j k）次取到白球，而換回黑球，有可能均沒(méi)摸到過(guò)白球）。而其逆事件是第k次取到白球，這意味著前

13、k1次摸到的一定都是黑球（否則，將換走白球，不存在白球）。設(shè)次摸到黑，()=。例1.14 一部電梯有位乘客，電梯從底樓出發(fā)到10樓，各層下樓的可能性相同，求電梯在第i層停的概率。 解：直接求很復(fù)雜，在一樓停，有可能一名乘客下，也可能多名乘客下，在i樓停，又受在i樓下的乘客多少影響。 記Ai為電梯在第i層停的事件，每位乘客不在i層下的概率是，都不下的概率為 。、圖解法（幾何概型，均勻分布隨機(jī)變量X A的概率，會(huì)面問(wèn)題）例1.15 在線段AB有一點(diǎn)C介于A，B之間，AC=CB=b在線段AC上隨機(jī)取一點(diǎn)X，在線段CB上隨機(jī)取一點(diǎn)Y，求長(zhǎng)度為AX，XY，YB的線段可構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。 A C B

14、解：如圖。X在AC之間變動(dòng)，Y在CB之間，記AX的長(zhǎng)度為x，YB的長(zhǎng)度為y，則XY的長(zhǎng)度為a+b-x-y，構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊， b 0.5 (a+b) , b故 x+y>a+b-x-y x+y>(a+b)/2s+a+b-x-y>y y<(a+b)/2 y+a+b-x-y>x x<(a+b)/2根據(jù)這些條件，畫(huà)出草圖，可以知道 第二講 一維隨機(jī)變量及其分布一、 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量（簡(jiǎn)記）X是定義在上的實(shí)值可測(cè)函數(shù)。例：如果定義那么 可以定義：引進(jìn)，是將抽象的事物數(shù)量化，以便抓住事物的本質(zhì)。與函數(shù)的區(qū)別，關(guān)于更關(guān)心取值的概率。與隨機(jī)事件的關(guān)系。

15、如例中的分布函數(shù)：定義實(shí)值函數(shù)，F(xiàn) (x) 就稱(chēng)為r.v X的分布函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a < b, 有 對(duì)于任何（類(lèi)型）分布函數(shù)總是存在的，且二、離散型隨機(jī)變量如果r.v X的所有可能的取值是有限的或可列的。其分布列：刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量的規(guī)律。離散型數(shù)學(xué)期望EX=如果其絕對(duì)收斂。當(dāng)只取有限值時(shí)，EX總是存在的。是隨機(jī)變量，g是（連續(xù)）函數(shù)，則Y g ()也是隨機(jī)變量。 。特別地，稱(chēng)為的方差。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，在x = k處有跳躍（間斷），躍度為 例 對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，每次射擊的命中率為p，且結(jié)果相互獨(dú)立，求：a、射擊次數(shù)X的概率分布, b、X的分布函數(shù)解：設(shè)隨機(jī)變量X為擊

16、中目標(biāo)時(shí)射擊的次數(shù)，可以知道X所有可能的取值為表示前k次沒(méi)有命中目標(biāo)，恰在第k次擊中目標(biāo)，由每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，知 （q =1p）故其分布列為 具有此種特征的稱(chēng)為服從幾何分布。當(dāng)x<1時(shí)，而當(dāng)kx<k+1時(shí)，=于是幾何分布的分布函數(shù)可寫(xiě)成 F (x) 為求離散型的方差，先求EX (X1)的手法，也適用于二項(xiàng)分布、泊松分布。、三種重要的離散型分布(0-1)分布： 只取0或者1兩個(gè)值，記作。 二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，記作且。X可表成n個(gè)獨(dú)立同分布的（0-1）分布之和。即泊松分布：例 設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下： 求a、的概率分布 b、的概率分布及E解a、的分布易求

17、，即. b、的所有可能取值為，例如 故 ，而E有兩種算法，即 或 3、二項(xiàng)分布 例 從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站，途中有個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到的紅燈的次數(shù)，求的分布列，分布函數(shù)和“平均停的次數(shù)”解：首先確定的分布，易知(3，0.4) 故平均停的次數(shù)：EX ×。（分布函數(shù)略）二項(xiàng)分布的泊松近似：(n，p)時(shí)，當(dāng)n較大p較小時(shí)，通常有近似結(jié)果： 其中例2.5 (905) EX=2.4，DX=1.44，求n , p解：np，np(1-p，1p，p=，n=6例2.6 現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一

18、個(gè)處理至少配備多少維修工人使發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率若一人承包維修20臺(tái)，不能及時(shí)維修的概率多大？若三人承包80臺(tái)呢？解：設(shè)隨機(jī)變量為同時(shí)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)，(相當(dāng)300次獨(dú)立試驗(yàn))，故(300，0.01)，若配備m個(gè)維修工，不能及時(shí)維修意味著X > m應(yīng)滿(mǎn)足0.01>查表得m=8，即配備8個(gè)維修工可滿(mǎn)足要求。(2) 同時(shí)，設(shè)Y為20臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，(20,0.01)，不能及時(shí)維修意味著，故(3) 設(shè)Z為80臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，(80，0.01)，不能及時(shí)維修意味著，由泊松近似例2.7 若。解： 例（試驗(yàn)次數(shù)）設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中成功的概率為0.5，問(wèn)需

19、要多少次試驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于0.9解：設(shè)需要進(jìn)行n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由在n次試驗(yàn)中成功次數(shù)(n，0.5)，至少成功一次的概率為：, 由條件故至少需要試驗(yàn)4次，才能使至少成功一次的概率不小于0.9問(wèn)題 某電器需要甲元件，甲元件失效的概率為0.1，問(wèn)并聯(lián)多少只甲元件使電器發(fā)生故障的概率小于0.01。4、泊松分布例 設(shè)取值時(shí)概率最大？解：一般是比較取相鄰兩值的概率于是。當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，X取，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)X取概率最大。例 設(shè)X且E(X-1)(X-2)=1，求。解： 5、分解問(wèn)題例2.11 一部電梯有8位乘客，電梯從底樓出發(fā)到10樓，每位乘客在1樓，2樓，樓下是等可能的，求電梯平均停的次數(shù)

20、。解：設(shè)r.v X為電梯停的次數(shù)。X的可能取值為1，2，。直接求非常困難，如果設(shè)表示電梯在第i層樓停的次數(shù)，取值0，1，也難求，涉及幾個(gè)人在第i層下，先求逆事件，8位乘客都不在i層樓停 ，又 例2.12設(shè)袋中裝有n個(gè)白球，m個(gè)黑球，從中任取l個(gè)球（不放回），用X表示取到的白球數(shù)，求X的分布及EX。解：X的分布稱(chēng)為超幾何分布，設(shè),若第i次取到白球，,若第i次取到黑球，則 這里都用到了期望運(yùn)算是（無(wú)條件）線性運(yùn)算。注：n個(gè)球放到m個(gè)盒子中，每球放入各盒等可能，求有球的盒子數(shù)的平均值，有球相當(dāng)于電梯停，這時(shí)n=8, m=10。匹配數(shù)的平均值問(wèn)題也與此類(lèi)似，例如某人寫(xiě)了n封信及n個(gè)相應(yīng)地址，后將信隨機(jī)

21、放在信封中，用X表示信與地址匹配的數(shù)目，求EX (=1)。6、函數(shù)期望的應(yīng)用例2.13 (964) 一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，發(fā)生故障，該天停止工作，若一周到5個(gè)工作日無(wú)故障，可獲利潤(rùn)率0萬(wàn)元，發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，發(fā)生兩次故障獲利0元，發(fā)生三次或三次以上，要虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？解：根據(jù)所求，設(shè) Y是一周內(nèi)獲的利潤(rùn)，Y的取值為-2，0，5，10，又Y的不同取值與發(fā)生的故障次數(shù)有關(guān)，周故障次數(shù)事先不能確定也是隨機(jī)變量，設(shè)其為X，Xb(5,0.2)，而例如故EY= =(萬(wàn)元)例2.14 (954)某廠生產(chǎn)的儀器以70%的概率可直接出廠，以30%的概率需進(jìn)一步調(diào)

22、試，調(diào)試后以80%的概率可出廠，以20%的概率定為不合格品，現(xiàn)該廠生產(chǎn)臺(tái)儀器（生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立），求：(1)全部能出廠的概率； (2)恰有兩件不能出廠的概率；(3)至少兩件不能出廠的概率。解：根據(jù)所問(wèn)與能出廠的件數(shù)有關(guān)，如果設(shè)X為n臺(tái)儀器中能出廠的件數(shù)，則Xb(n,p)，而p未知，問(wèn)題歸結(jié)為確定p一件產(chǎn)品最終能出廠的概率（一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率）。而一件產(chǎn)品能出廠分兩種情況，或是直接出廠，或是需調(diào)試。設(shè)B=，由全概率公式 （1）（2）（3）注：這是復(fù)合問(wèn)題，最終計(jì)算二項(xiàng)分布某些事件的概率，但二項(xiàng)分布中的p未知，利用已知條件先確定p。三、連續(xù)型隨機(jī)變量任何隨機(jī)變量都有分布函數(shù)，設(shè)r.v X 具

23、有分布函數(shù)F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f (t )，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有 就稱(chēng)X為連續(xù)型，其中 f (x) 稱(chēng)為X的概率密度。性質(zhì)：在x連續(xù)，則 特別例2.15 設(shè) X的密度函數(shù)為 ,求（1）系數(shù)A；（2）。解：（1） （2）補(bǔ)充定義：，例2.16 某r.v X密度函數(shù)為，求系數(shù)A解：由密度函數(shù)性質(zhì)有： 下面介紹連續(xù)型r.v X的期望及其函數(shù)的期望設(shè)r.v X的密度函數(shù)為f (x)，若絕對(duì)可積，則稱(chēng)其為r.v X的數(shù)學(xué)期望（均值）。r.v X的函數(shù)g (X ) 的數(shù)學(xué)期望（也要求絕對(duì)可積），特別的，如果存在，則E(XEX)2 稱(chēng)為X的方差，記作DX性質(zhì)：DX=EX2(EX)2，DC=0, D(a X

24、+b)=a 2 DX例2.17 已知X服從分布，有密度函數(shù) 求EX，DX解：EX= 故DX=EX2(EX)2= 注：任何的密度函數(shù)經(jīng)過(guò)分解，總可表示成，其中是的主體部分，是規(guī)則化常數(shù)。本例采用的手法，就是根據(jù)的主體部分配規(guī)則化常數(shù)，即配密度，然后利用密度函數(shù)的積分等于1的性質(zhì)。四、常見(jiàn)的連續(xù)型1、均勻分布：X服從（a,b）上的均勻分布，記作XU (a,b)，其密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為f (x)= (b-a)-1（即區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)）和F(x)=(x-a)/(b-a)，當(dāng)x(a,b)時(shí)，且 EX=(a+b)/2，DX=(b-a)2/12例2.18：設(shè)(0,6)，求方程有實(shí)根的概率p。解：方程有實(shí)根

25、的條件是故 例2.19 (97.3)游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘，25分鐘和55分鐘從底層起行，假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在(0,60)上均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：已知XU (0,60)，于是X的密度函數(shù)f (x)=1/60，當(dāng)(0,60)設(shè)Y是游客等候電梯的時(shí)間（分鐘），則 按定義，EY=Eg(X)= 平均等候11.67分鐘。例2.20 (98.4)某種產(chǎn)品周需求量XU (10,30)，而商店周進(jìn)貨量a是區(qū)間(10,30)上的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售1單位商品，獲利潤(rùn)500無(wú)，若供大于求，則削價(jià)處理，這時(shí)虧損100元，若供不應(yīng)求

26、，可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位獲利300元，為使商店獲利期望值不少于9280元，試確定最少進(jìn)貨量a。分析：1、弄清利潤(rùn)、需求量、進(jìn)貨量之間的關(guān)系；2、需求量X是隨機(jī)變量，進(jìn)貨量a是由商店確定，是非隨機(jī)的未知待定參數(shù)，利潤(rùn)是需求量X的函數(shù)，也是，但含有待定的a，其期望是a的函數(shù)，然后根據(jù)條件求極值。解：設(shè)進(jìn)貨量為，隨機(jī)變量為所獲利潤(rùn) 故期望利潤(rùn)為： 依題意： a 2 +350 a + 52509280由求根公式：a26故期望利潤(rùn)不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位，但不超過(guò)26個(gè)單位。注：據(jù)條件寫(xiě)出隨機(jī)變量的函數(shù)，注意分段函數(shù)應(yīng)分段計(jì)算；這兩例的隨機(jī)變量是連續(xù)型的，區(qū)分它與例2.13的差異。2

27、、正態(tài)分布正態(tài)分布，記作是最重要的分布，許多問(wèn)題以正態(tài)分布為前提。背景：觀測(cè)誤差（非系統(tǒng)誤差）若干獨(dú)立微小因素之綜合，許多的極限分布是正態(tài)分布，應(yīng)該掌握其密度函數(shù)及其圖形。當(dāng)時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)于一般正態(tài)分布，也可標(biāo)準(zhǔn)化：即對(duì)于任意r.v X，若EX=，DX=，Y=(X)/，則EY=0，DY=1，如果則Y=(X)/，標(biāo)準(zhǔn)化處理對(duì)于正態(tài)分布尤其重要。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：，由對(duì)稱(chēng)性， ，則應(yīng)該記住這幾個(gè)特殊值： 例2.21 (871)已知某r.v X的密度函數(shù)為： ，求常數(shù)c，EX，DX。解：不必通過(guò)積分計(jì)算與正態(tài)分布密度相比較，立即可得 。注：如果密度函數(shù)，h(x)是二次函數(shù)，則是正態(tài)分布的主體

28、部分，c是規(guī)則化常數(shù)。例2.22 則隨增大，1） 單調(diào)增大 2）單調(diào)減少 3）保持不變壓器 4）增減不定解：選擇3），因?yàn)榕c參數(shù)無(wú)關(guān)。例2.23 自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度X (毫米) 服從N (30,)，若零件的長(zhǎng)度在30毫米之間為合格品，求生產(chǎn)的零件是合格品的概率。解： 例2.24 (91.1) 若XN (2 ,)，且，求解：0.3=例2.25 (90.4)抽樣調(diào)查表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)(100分制)，近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上占總數(shù)的2.3%，試求考生外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率 。解：設(shè)考生的外語(yǔ)成績(jī)?yōu)閄N ()，其中=72。由條件 0.023=，于是 。故 以下介紹正態(tài)分布的復(fù)合問(wèn)題：例2.26 (915) 在電源電壓不超過(guò)200伏，在200240伏和超過(guò)240伏三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為，假定電源電壓XN (240,)1、 電子元件損壞的概率；2、 電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200240伏的概率。附表：(0.8)=解：設(shè)事件,B=元件損壞。則等，（略）本題是正態(tài)分布與全概率公式，Bayes