《導數(shù)知識點復習》

1、.1導數(shù).2回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x.3定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處

2、的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導數(shù)值一般也不相同的值有關，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關。與 xxf)(. 20一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導數(shù)是同. 3.400()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)導函數(shù)也簡稱也簡稱導數(shù)導數(shù)函數(shù)導函數(shù)函數(shù)導函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到處求導數(shù)的過程可以看到,當當x=x0時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當當x變化時變化時,便便 是是x

3、的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導函數(shù)的導函數(shù).即即:00()6fxx( )6fxx2( )3f xxf(x)在在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù)f(x)的導函數(shù)的導函數(shù)x=x0時的函數(shù)值時的函數(shù)值關系關系( )f x.5基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cos

4、x，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x.6導數(shù)的運算法則:法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積

5、的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,再除以第二個函再除以第二個函數(shù)的平方數(shù)的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x.7aby=f(x)xoyy

6、=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x) 在為在為這個區(qū)間內這個區(qū)間內 的的增函數(shù)增函數(shù);如果在這個區(qū)間如果在這個區(qū)間內內 0 得得f(x)的單調的單調遞增區(qū)間遞增區(qū)間; 解不等式解不等式 f/（x）0 右側右側 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側附近的左側 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值.解方程解方程f/(x)=0.當當f/(x)=0時時:.12 一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù)y=f(x)在在a,b上的最大值與最小上的最大值與最小值的值的步驟步驟如下：如下：:求求y=f(x)在在(a

7、，b)內的極值內的極值(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b) 比較比較,其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小的一個為最最小的一個為最小值小值. 求函數(shù)的最值時求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點應注意以下幾點:(1)函數(shù)的函數(shù)的極值是極值是在局部范圍內討論問題在局部范圍內討論問題,是一個是一個局部概局部概 念念,而函數(shù)的而函數(shù)的最值最值是對整個定義域而言是對整個定義域而言,是在整體范圍是在整體范圍 內討論問題內討論問題,是一個是一個整體性的概念整體性的概念.(2)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定

8、有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內內 的可導函數(shù)不一定有最值的可導函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極則此極 值必是函數(shù)的最值值必是函數(shù)的最值.13 (3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個有一個,而函數(shù)的極值則可能不止一個而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有也可能沒有極值極值,并且極大值并且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端點外在區(qū)間內部的最大值但除端點外在區(qū)間內部的最大值(或最小值或最小值),則則一定是極大值一定是極大值(或極小值或極小值). (4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導上可導,則在確定函則在確定函數(shù)的最值時數(shù)的最值時,不僅比較該函數(shù)各導數(shù)為零的點與端不僅比較該函數(shù)各導數(shù)為零的點與端點處的值點處的值,還要比較函數(shù)在定義域內各不可導的點還要比較函數(shù)在定義域內各不可導的點處的值處的值. (5)在解決實際應用問題中在解決實際應