人教版八年級(jí)上學(xué)期 數(shù)學(xué)三角形 輔導(dǎo)講義解析版

1、2019年秋八年級(jí)上學(xué)期 第十一章 三角形 輔導(dǎo)講義一解答題（共20小題）1正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120度，多邊形是幾邊形？?jī)?nèi)角和是多少？2如圖（1）中是一個(gè)五角星，你會(huì)求A+B+C+D+E的值嗎？（2）圖中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)，五個(gè)角的和（即CAD+B+C+D+E）有無變化？如圖（2）說明你的結(jié)論的正確性（3）把圖（2）中的點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上時(shí)，五個(gè)角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有無變化？如圖（3）說明你的結(jié)論的正確性3（1）如圖所示，在ABC中，AD丄BC于D，AE平分BAC，且C大于B，求證：EAD=（CB）（2）若把問題（1）中的“AD丄BC”改為“點(diǎn)F為EA上一點(diǎn)且FD丄B

2、C于D”，畫出新的圖形，并試說明EFD=（CB）（3）若把問題（2）中的“F為EA上一點(diǎn)”改為“F為AE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，則問題（2）中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說明你的理由4如圖，PB和PC是ABC的兩條外角平分線求證：BPC=90BAC根據(jù)第問的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？5如圖所示，AD，BE是BC，AC邊上的高，O是AD，BE的交點(diǎn)，若AOB=C+20度求OBD，C6一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都相等，且比它的內(nèi)角小140，求它的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)7小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等，你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，

3、你能證明它？8已知：ABC的周長(zhǎng)為18cm，AB邊比AC邊短2cm，BC邊是AC邊的一半，求ABC三邊的長(zhǎng)9如圖AM、CM分別平分BAD和BCD（1）若B=32，D=38，求M的度數(shù)；（2）求證：M=（B+D）10如圖，在ABC中，ABC=ACB，A=40，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且1=2，求BPC的度數(shù)11一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為m：n，其中m，n是互質(zhì)的正整數(shù)，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)（用m，n表示）及n的值12如圖1、圖2、圖3中，點(diǎn)E、D分別是正ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的一邊延長(zhǎng)線和另一邊反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ABE與BCD能互相

4、重合，BD延長(zhǎng)線交AE于點(diǎn)F（1）求圖1中，AFB的度數(shù)；（2）圖2中，AFB的度數(shù)為 ，圖3中，AFB的度數(shù)為 13如圖所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度數(shù)14 如圖，四邊形ABCD中，ABCD，P為BC上一點(diǎn)，設(shè)CDP=，CPD=，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，猜想，與B的關(guān)系，并說明理由15請(qǐng)你來推算：（1）一只螞蟻繞一個(gè)矩形的水池邊緣爬行，爬完一圈后，它的身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？（2）如果它繞一個(gè)不規(guī)則的四邊形的邊緣爬行呢？（如圖2），為什么？（3）如果它繞五邊形的水池邊緣爬行呢？你是怎么推算出來的？如果繞n邊形呢？16在ABC中，如果A=B=

5、C，求A，B，C分別等于多少度17如圖所示，在四邊形ABCD中，C與D的平分線相交于P，且A=70，B=80，求P的度數(shù)18已知四邊形ABCD中，A：B=7：5，AC=B，C=D40，求各內(nèi)角的度數(shù)19AD是ABC的一條高，也是ABC的角平分線，若B=40，求BAC的度數(shù)20一個(gè)零件的形狀如圖所示，零件要求A必須等于90，B和C分別為45和35，檢驗(yàn)工人量得BDC=159，就斷定這個(gè)零件不合格，你知道為什么嗎？2019年秋八年級(jí)上學(xué)期 第十一章 三角形 輔導(dǎo)講義參考答案與試題解析一解答題（共20小題）1【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，因而就可以求出外角的度數(shù)根據(jù)

6、任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和公式即可求出內(nèi)角和【解答】解：外角是180120=60度，36060=6，則這個(gè)多邊形是六邊形內(nèi)角和為：（62）180=720【點(diǎn)評(píng)】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握2【分析】（1）如圖，連接CD，把五個(gè)角和轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形內(nèi)角和根據(jù)三角形中一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得（2）（3）五個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角【解答】解：（1）如圖，連接CD在ACD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出

7、A+2+3+ACE+ADB=1801=B+E=2+3，A+B+ACE+ADB+E=A+B+E+ACE+ADB=A+2+3+ACE+ADB=180；（2）無變化根據(jù)平角的定義，得出BAC+CAD+DAE=180BAC=C+E，EAD=B+D，CAD+B+C+D+E=BAC+CAD+DAE=180；（3）無變化ACB=CAD+D，ECD=B+E，CAD+B+ACE+D+E=ACB+ACE+ECD=180【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用了轉(zhuǎn)化思想求解，（1）是把五個(gè)角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中求解，（2）（3）是把五個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角求解3【分析】（1）在RtADE中，可得AED

8、+DAE=90，又由AED=AEC=180CCAE，且AE平分BAC，即可證得：EAD=（CB）（2）在EFD中，由三角形的外角性質(zhì)知：FED=AEC=B+BAC，所以B+BAC+EFD=90；聯(lián)立ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得到的式子，即可推出EFD，B，C的關(guān)系（3）在EFD中，由三角形的外角性質(zhì)知：FED=AEC=B+BAC，所以B+BAC+EFD=90；聯(lián)立ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得到的式子，即可推出EFD，B，C的關(guān)系【解答】（1）證明：在RtADE中，AED+DAE=90，DAE=90AED，AED=AEC=180CCAE，且AE平分BAC，CAE=BAC=（180CB），DA

9、E=90180C（180CB）=（CB）（2）由三角形的外角性質(zhì)知：FED=AEC=B+BAC，故B+BAC+EFD=90；在ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：B+BAC+C=180，即：C+B+BAC90，得：EFD=（CB）（3）由三角形的外角性質(zhì)知：FED=AEC=B+BAC，故B+BAC+EFD=90；在ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：B+BAC+C=180，即：C+B+BAC90，得：EFD=（CB）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用4【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)即

10、可證明；根據(jù)的結(jié)論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形【解答】證明：PB和PC是ABC的兩條外角平分線，P=180（PBC+PCB）=180（CBD+BCE）=180（A+ACB+BCE）=180（A+180）=90A；根據(jù)的結(jié)論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形，故該三角形是銳角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)注意：三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形5【分析】從圖形中尋找OBD與C關(guān)系，運(yùn)用外角和定理，直角三角形的

11、性質(zhì)尋找OBD與C關(guān)系構(gòu)建方程求解【解答】解：AOB=90+OBD=C+20，OBD+C=90，C=90OBD，90+OBD=90OBD+20，OBD=10，C=80【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是尋找OBD與C關(guān)系，運(yùn)用外角和定理尋找OBD與C關(guān)系構(gòu)建方程求解6【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，內(nèi)角和的公式與外角和的特征，即可求出多邊形的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【解答】解：設(shè)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為n，則每個(gè)外角的度數(shù)為（n140），由n+（n140）=180，得n=160即每個(gè)內(nèi)角為160，從而每個(gè)外角為20由于36020=18，所以這個(gè)多邊形為十八邊形【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的

12、公式與外角和的特征同時(shí)考查了互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為1807【分析】先假設(shè)AB=AC，根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理得出與已知條件相矛盾的結(jié)論，從而證明在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等【解答】證明：假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法8【分析】設(shè)AC的邊長(zhǎng)為xcm，分別表示出AB、BC邊的長(zhǎng)為（x2）cm，xcm，根據(jù)三角形

13、的周長(zhǎng)為18cm，列出方程即可求出三邊的長(zhǎng)【解答】解：設(shè)AC邊長(zhǎng)為xcm，則AB邊長(zhǎng)為（x2）cm，BC邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意，得x+（x2）+x=18，解得x=8，x2=6，x=4，即AB=6cm，BC=4cm，AC=8cm【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形周長(zhǎng)與一元一次方程相結(jié)合的題，根據(jù)周長(zhǎng)列一元一次方程是解題的關(guān)鍵9【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用B、M表示出BAMBCM，再用B、M表示出MADMCD，再根據(jù)角平分線的定義可得BAMBCM=MADMCD，然后求出M與B、D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用B、M表示出BAMBCM，再用B、M表示出MADMCD，再根據(jù)角平分線

14、的定義可得BAMBCM=MADMCD，然后求出M與B、D關(guān)系【解答】（1）解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，B+BAM=M+BCM，BAMBCM=MB，同理，MADMCD=DM，AM、CM分別平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，MB=DM，M=（B+D）=（32+38）=35；（2）證明：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，B+BAM=M+BCM，BAMBCM=MB，同理，MADMCD=DM，AM、CM分別平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，MB=DM，M=（B+D）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體

15、思想的利用10【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出ACB的度數(shù)，再由1=2得出2+3的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論【解答】解：ABC=ACB，A=40，ACB=（18040）=70，即1+3=701=2，2+3=70，在BPC中，BPC=180（2+3）=18070=110【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180是解答此題的關(guān)鍵11【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為a，多邊形內(nèi)角和為（a2）180度，外角和為360度得到m：n=180（a2）：360，從而用m、n表示出a的值【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為a，多邊形內(nèi)角和為（a2）180度，外角和為360度，m：n=180（a

16、2）：360a=，因?yàn)閙，n 是互質(zhì)的正整數(shù)，a為整數(shù)，所以n=2，故答案為：，2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形內(nèi)角和與多邊形外角和12【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得出D=E，由對(duì)頂角相等結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出BFE=BCD，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得出AFB=ACB，結(jié)合等邊三角形內(nèi)角的度數(shù)即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）即可得出：AFB=BCM，結(jié)合多邊形內(nèi)角和定理以及正多邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）ABE與BCD能互相重合，D=E，DBC=EBF，BFE=180EEBF=180DB=BCDBCD+ACB=180，ACB=60，AF

17、B+BFE=180，AFB=ACB=60（2）同理可得出：AFB=BCM，四邊形ABCD為正方形，五邊形ABCMN為正五邊形，圖2中BCM=90，圖3中BCM=108故答案為：90；108【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角以及多邊形內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是：（1）通過全等三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算找出AFB=ACB；（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理以及正多邊形的性質(zhì)找出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)13【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得ACB=80，結(jié)合已知條件和三角形的外角的性質(zhì)，求得ADC=70，依此類推即可求解【解答】解：在ABC中，A=10，ABC=90，ACB

18、=80，DCE=ACB=80，在ACD中，DCE是它的一個(gè)外角，DCE=A+ADC，ADC=70，EDF=ADC=70在ADE中，EDF是它的一個(gè)外角，EDF=A+AED，AED=60，F(xiàn)EG=AED=60在AEF中，F(xiàn)EG是它的一個(gè)外角，F(xiàn)EG=A+F，F(xiàn)=FEGA=6010=50【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理及其推論14【分析】在CDP中，先由三角形內(nèi)角和為180，得出+=180C；再由ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出B=180C；從而得出+=B【解答】解：在CDP中，CDP+CPD+C=180，CDP=，CPD=，+=CDP+CPD=180C；ABCD，B+C=180，B=18

19、0C；+=B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)15【分析】螞蟻身體轉(zhuǎn)過的角度之和就是多邊形的外角和，因而是360度多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，因而水池是矩形，不規(guī)則的四邊形、五邊形，n邊形都有相同的結(jié)論【解答】解：（1）各角是矩形的外角，螞蟻身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360故螞蟻的身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360；（2）各角是不規(guī)則的四邊形的外角，螞蟻身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360故螞蟻的身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360；（3）各角是五邊形的外角，螞蟻身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360；各角是n邊形的外角，螞蟻身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360故螞蟻的身體轉(zhuǎn)過的角度之和都是360【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和定理多邊形的外角和是360度，多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)16【分析】由三角形內(nèi)角和定理和已知條件得出A+2A+2A=180，求出A=36，即可得出B=C=72【解答】解：A=B=C，B=C=2A，A+B+C=180，A+2A+2A=180，解得：A=36，B=C=72【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵17【分析】已知A=70，B=80，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360度，就可以求出ACD+