復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式基礎(chǔ)概念一、基礎(chǔ)知識概述 由于解方程的需要，我們引進(jìn)了復(fù)數(shù)和及其四則運(yùn)算，并建立了復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一對立，我們還學(xué)過向量及其運(yùn)算，在些基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在一起來學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算的幾何意義二、重點知識歸納及講解1、復(fù)數(shù)的向量表示： 復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量集合（為原點）一一對應(yīng)說明：（1）零向量表示復(fù)數(shù)0，相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)；（2）向量的模就是復(fù)數(shù)（、）的模，即2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算：（1）復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點為

2、）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，記作，其中適合的輻角的值，叫做輻角的主值，記作說明： 不等于零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差的整數(shù)倍（2）復(fù)數(shù)的三角形式：叫做復(fù)數(shù)的三角形式，其中，說明： 任何一個復(fù)數(shù)均可表示成的形式其中為的模，為的一個輻角（3）復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算： 設(shè)，則 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）開方：3、復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)模的幾何意義：，即點到原點的距離，一般地即點到點的距離（2）復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義： 圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 即，（3）復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義： 設(shè)，則的幾何意義是把的對應(yīng)向量按逆時針方

3、向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，所得向量即表示積，如圖，的幾何意義是把的對應(yīng)向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫南蛄考幢硎旧?、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式： 把模為1，輻角為（以弧度為單位）的復(fù)數(shù)用記號表示，即，由此任何一個復(fù)數(shù)就可以表示為形式，我們把這一表達(dá)式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式3、 難點知識剖析 復(fù)數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點 由于復(fù)數(shù)集與平面點集間的一一對應(yīng)關(guān)系，使得復(fù)數(shù)問題常常可用幾何方法來解決，幾何問題常常可用復(fù)數(shù)語言來表述，要善于運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想來思考，分析這類問題，找出最簡捷的解題方

4、法 復(fù)數(shù)的?？梢詭椭覀儽硎境鲆恍┏Ｓ们€方程 如圓：； 線段中垂線：； 橢圓：； 雙曲線：典型例題例1、已知，且，復(fù)數(shù)（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范圍解析：（1）， 1）當(dāng)時，則， 而， 此時三角形式為 2）當(dāng)時，則， 而， 此時三角形式為（2）當(dāng)， 而，； 當(dāng)， 而，評析： 化含三角函數(shù)關(guān)系的復(fù)數(shù)為三角形式時，應(yīng)把握概念，準(zhǔn)確運(yùn)用有關(guān)三角公式例2、設(shè)，且，（1）存在實數(shù)、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依題意可設(shè)，則 ，且， 即 ，且 當(dāng)時，當(dāng)時，（2）若，則，即 ，例3、復(fù)數(shù)與滿足：，且，問：當(dāng)為何值時，取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這一最小值解析： 設(shè)， 則，

5、且 ， ，即， （顯然） ，即 當(dāng)時，解得或； 當(dāng)時， 即或時，而時，例4、設(shè)復(fù)數(shù)、滿足：，其中，若、在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別是、，求的面積解析： 由復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，點在單位圓上，設(shè)其輻角主值為，點是，其輻角主值是，點是將逆時針旋轉(zhuǎn)角后對應(yīng)向量的終點，同理向量則是由向量逆時針旋轉(zhuǎn)后，再將模伸長為模的3倍而得到 如圖所示： 例5、已知復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù)的模的最大、小值及對應(yīng)的解析： 方法一： 、 ， 而當(dāng)時， 當(dāng)時，；而當(dāng)時， 方法二： 設(shè) ， ，且當(dāng)時，； 當(dāng)時， 高考中對復(fù)數(shù)的考查多集中在復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，對復(fù)數(shù)的三角形式的考查不多有時可能采取一題多法，即設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

6、和復(fù)數(shù)的三角形式均可解，只不過運(yùn)用三角形式解答時較方便基礎(chǔ)練習(xí)1、 選擇題1、復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D2、設(shè)，給出復(fù)數(shù)：，其中能確定為復(fù)數(shù)的三角形式的有（ ）A3個 B2個 C1個 D0個3、已知，（，），則（ ）A B C D4、若，則復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）A B C D5、若，則（ ）A B C0 D16、設(shè)，若，則最小的正整數(shù)（ ）A1 B2 C5 D77、在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）A B C D8、是兩個非零復(fù)數(shù)，且分別對應(yīng)點、，則的充要條件是（ ）A B的實部為0 C D的虛部為09、復(fù)數(shù)滿足條件：，則的最大值是（ ）A B C D10、設(shè)（、），且，則復(fù)數(shù)的對應(yīng)點的軌跡是（ ）A 圓 B拋物線 C橢圓 D雙曲線2、 綜合題11、已知和均為復(fù)數(shù)，且，為純虛數(shù)，求和的取值范圍12、設(shè)復(fù)數(shù)、分別對應(yīng)復(fù)平面上的、點，、的輻角分別為、，且的面積為定值（為