已知二個條件確定二次函數(shù)的表達式

1、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一、一、一般式：一般式：y=ax+bx+c (a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a 0) l 求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關鍵是求出待定系數(shù)的解析式，關鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值。的值。l由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標）列出關于由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個點的坐標）列出關于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解就可以寫出二次函數(shù)的解析式。析式。例例1 1 已知已知: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c過點（過點（2 2，1 1）、（）、（1 1，-2 -2 ）（0 0，5 5

2、）三點，求拋物線的解析式）三點，求拋物線的解析式解：由題意可得：解：由題意可得：4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 解之得：解之得：a=5b=-12c=5所以拋物線的解析式是：所以拋物線的解析式是：y=5x2-12x+5.練已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（1,101,10）、）、（1,41,4）、（）、（2,72,7）三點，求這個函數(shù)的表達式？）三點，求這個函數(shù)的表達式？oxy解：解：設所求的二次函數(shù)為設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：a=2, b=-3, c=5所以所

3、求二次函數(shù)是：所以所求二次函數(shù)是：y=2x2-3x+5二、頂點式y(tǒng)=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a+k(a、h h、k k為常數(shù)a a00) ). .l 1.若已知拋物線的若已知拋物線的頂點坐標頂點坐標和拋物線上的另和拋物線上的另一個點一個點的的坐標時，通過設函數(shù)的解析式為頂點式坐標時，通過設函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k. 2. 特別地，當拋物線的頂點為原點是，特別地，當拋物線的頂點為原點是，h=0,k=0,可設函可設函數(shù)的解析式為數(shù)的解析式為y=ax2. 3.當拋物線的對稱軸為當拋物線的對稱軸為y軸時，軸時，h=0,可設函數(shù)的解析式可設函數(shù)的解析式為為y=ax2+k

4、. 4.當拋物線的頂點在當拋物線的頂點在x軸上時，軸上時，k=0，可設函數(shù)的解析，可設函數(shù)的解析式為式為y=a(x-h)2.解：解：1.1.已知拋物線的頂點為（已知拋物線的頂點為（1 1，3 3），與），與y y軸交點為（軸交點為（0 0，5 5）, ,求該拋物線的解析式？求該拋物線的解析式？yox所以設所求的二次函數(shù)解析式為：所以設所求的二次函數(shù)解析式為：y=a(x1)2-3因為已知拋物線的頂點為（因為已知拋物線的頂點為（1 1，3 3）又點又點( 0,-5 )在拋物線上在拋物線上a-3=-5, 解得解得a= -2故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=2(x1)2-3即：即：y=

5、2x2-4x5 2. 已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,-3)，并且，并且當當x=3時有最大值時有最大值4，試確定這個二次函數(shù)的，試確定這個二次函數(shù)的解析式。解析式。解法1：（利用一般式利用一般式）設二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c (a0)由題意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4解方程組得： a= -7 b= 42 c= -59 二次函數(shù)的解析式為：y= -7x2+42x-59 解法解法2：（利用頂點式）（利用頂點式） 當當x=3時，有最大值時，有最大值4 頂點坐標為頂點坐標為(3,4) 設二次函數(shù)解析式為：設

6、二次函數(shù)解析式為： y=a(x-3)2+4 函數(shù)圖象過點（函數(shù)圖象過點（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為： y= -7(x-3)2+43.二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點的圖象過點A(0,5),B(5,0)兩兩點，它的對稱軸為直線點，它的對稱軸為直線x=3，求這個二次函數(shù)的，求這個二次函數(shù)的解析式。解析式。解: 二次函數(shù)的對稱軸為直線x=3 設二次函數(shù)表達式為 y=a(x-3)2+k 圖象過點A(0,5),B(5,0)兩點 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：a= 1 k=-4 二次函數(shù)的表達

7、式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5小結: 已知頂點坐標（h,k）或對稱軸方程x=h時優(yōu)先選用頂點式。 三、交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)a0）l當拋物線與當拋物線與x軸有兩個交點為（軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，時，二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉化為交點式可以轉化為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當拋物線與因此當拋物線與x軸有兩個交點為軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，可設函數(shù)的解析式為時，可設函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，在把另，在把另一個點一個點的坐標代入其中，即可解得的坐標代入

8、其中，即可解得a，求出拋物線的解析式。求出拋物線的解析式。l 交點式交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2). x1和和x2分別是拋物線與分別是拋物線與x軸軸的兩個交點的橫坐標，這兩個交點關于拋物線的的兩個交點的橫坐標，這兩個交點關于拋物線的對稱軸對稱，則直線對稱軸對稱，則直線 就是拋物線的對就是拋物線的對稱軸稱軸.221xxx1：已知二次函數(shù)與已知二次函數(shù)與x 軸的交點坐標為（軸的交點坐標為（-1，0）,（1，0），點（），點（0，1）在圖像上，求其解析式。）在圖像上，求其解析式。解：設所求的解析式為拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（1，0） 又點（0，1）在圖像上， a = -1即：解：

9、（解：（交點式交點式）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點二次函數(shù)圖象經(jīng)過點 (3,0),(-1,0)設二次函數(shù)表達式為設二次函數(shù)表達式為 ：y=a(x-3)(x+1) 函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象過點(1,4) 4 =a (1-3)(1+1) 得得 a= -1 函數(shù)的表達式為：函數(shù)的表達式為： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+32：已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點 (1,4),(-1,0)和和(3,0)三三點，求二次函數(shù)的表達式。點，求二次函數(shù)的表達式。知道拋物線與知道拋物線與x軸的兩個交點的坐軸的兩個交點的坐標，選用交點式比較簡便標，選用交點式比較簡便其它解法其它解法：（：（一般式一般式

10、） 設二次函數(shù)解析式為設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c 二次函數(shù)圖象過點二次函數(shù)圖象過點(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得：解得： a= -1 b=2 c=3 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y= -x2+2x+3（頂點式）（頂點式） 解：解： 拋物線與拋物線與x軸相交兩點軸相交兩點(-1,0)和和(3,0) ， (-1+3)/2 = 1 點點(1,4)為拋物線的頂點為拋物線的頂點 可設二次函數(shù)解析式為：可設二次函數(shù)解析式為： y=a(x-1)2+4 拋物線過點拋物線過點(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -

11、1 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為： y= -(x-1)2+4 3 已知二次函數(shù)的圖象在已知二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段軸上截得的線段長是長是4，且當，且當x1，函數(shù)有最小值，函數(shù)有最小值-4，求這，求這個二次函數(shù)的解析式個二次函數(shù)的解析式 (-1, 0)(3, 0)X=1由題意由題意,得得:解解:設圖象與設圖象與x軸的交點坐標為軸的交點坐標為( ,0),( ,0),4121221xxxx3121xx) 1)(3(xxay設把把(1,-4)代入上式得代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)解得解得:a=1 y=x2-2x-31x2x四、用平移式求二次函數(shù)的解析式、四、用平移式求二次函數(shù)的解

12、析式、 1.將拋物線將拋物線 向左平移向左平移4個單位，再向個單位，再向下平移下平移3個單位，求平移后所得拋物線的解析式。個單位，求平移后所得拋物線的解析式。解法：將二次函數(shù)的解析式 轉化為頂點式得：(1)、由 向左平移4個單位得：（左加右減）（2）、再將 向下平移3個單位得 （上加下減） 即：所求的解析式為一、一、 求二次函數(shù)的解析式的一般步驟：求二次函數(shù)的解析式的一般步驟：一設、二列、三解、四還原一設、二列、三解、四還原.二、二次函數(shù)常用的幾種解析式的確定1、一般式、一般式已知拋物線上三點的坐標三點的坐標，通常選擇一般式。通常選擇一般式。已知拋物線上頂點坐標（對稱軸或最值），頂點坐標（對稱

13、軸或最值），通常選擇頂點式。通常選擇頂點式。 已知拋物線與與x軸的交點坐標軸的交點坐標，選擇交點式選擇交點式。2、頂點式、頂點式3、交點式、交點式4、平移式 將拋物線平移，函數(shù)解析式中發(fā)生變化的只有頂點坐頂點坐標標， 可將原函數(shù)先化為頂點式頂點式，再根據(jù)“左加右減，左加右減，上加下減上加下減”的法則，即可得出所求新函數(shù)的解析式。l二次函數(shù)關系二次函數(shù)關系: y=ax2 (a0)y=ax2+k (a0)y=a(x-h)2+k (a0)y=ax 2+bx+c (a0)y=a(x-h)2 (a0)頂點式頂點式一般式一般式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a0)交點式交點式)0 ,)(0 ,212xxX

14、cbxaxy軸交于兩點（與條件：若拋物線三、求二次函數(shù)解析式的思想方法 1、 求二次函數(shù)解析式的常用方法：求二次函數(shù)解析式的常用方法： 2、求二次函數(shù)解析式的、求二次函數(shù)解析式的 常用思想：常用思想： 3、二次函數(shù)解析式的最終形式：、二次函數(shù)解析式的最終形式：待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結合等。轉化思想轉化思想 : 解方程或方程組解方程或方程組 無論采用哪一種解析式求解，無論采用哪一種解析式求解，最后結果最好化為一般式。最后結果最好化為一般式。活學活用活學活用 加深理解加深理解1.某拋物線是將拋物線某拋物線是將拋物線y=ax2 向右平移一個單位長度，向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度再向

15、上平移一個單位長度得到的，且拋物線過點（得到的，且拋物線過點（3,-3），求該拋物線表達式。），求該拋物線表達式。頂點坐標（頂點坐標（1 ，1 ）設）設 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函數(shù)的已知二次函數(shù)的對稱軸是直線對稱軸是直線x=1，圖像上最低點，圖像上最低點P的的縱坐標為縱坐標為-8，圖像還過點圖像還過點(-2,10)，求此函數(shù)的表達式。，求此函數(shù)的表達式。頂點坐標（頂點坐標（ 1 ，-8 ）設）設y=a(x-1)2-83.已知二次函數(shù)的圖象與已知二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點間的距離為軸兩交點間的距離為4，且當，且當x=1時，函數(shù)有最小值時，函數(shù)有最小值-4，求此表達式。求此表達式。頂

16、點坐標（頂點坐標（1 ，-4 ）設）設y=a(x-1)2-44.某拋物線與某拋物線與x軸兩交點的橫坐標為軸兩交點的橫坐標為2，6，且函數(shù)的最，且函數(shù)的最大值為大值為2，求函數(shù)的表達式。求函數(shù)的表達式。頂點坐標（頂點坐標（ 4，2 ）設）設y=a(x-4)2+22、已知二次函數(shù)的圖像過原點，當、已知二次函數(shù)的圖像過原點，當x=1時，時，y有最小值為有最小值為-1，求其解析式。，求其解析式。 解：設二次函數(shù)的解析式為 x = 1, y= -1 , 頂點（1，-1）。又（0，0）在拋物線上， a = 1 即： 解：設y=a(x1)2-31.已知拋物線的頂點為（1 1，3 3），與x軸交點為（0，5）

17、求拋物線的解析式？yox( 0,-5 )-5=a-3 a=-2y=2(x1)2-3即：y=-2x24x5練習練習y=-2（x2 2x 1）-3所以設所求的二次函數(shù)為所以設所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1)3.已知拋物線與已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0）并經(jīng)過點并經(jīng)過點M（0,1），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？又又 點點M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得： a=-1故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1解：因為拋物線與解：因為拋物線與x軸的交點為軸的交點為A(1，

18、0)，B(1，0) ， 選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)解析式選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)解析式：1 1、已知拋物線的圖象經(jīng)過點、已知拋物線的圖象經(jīng)過點(1,4)(1,4)、(-1,-1)(-1,-1)、(2,-2)(2,-2)，設拋，設拋物線解析式為物線解析式為_._.2 2、已知拋物線的頂點坐標、已知拋物線的頂點坐標(-2,3) (-2,3) ，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點(1,4) ,(1,4) ,設拋物設拋物線解析式為線解析式為_._.3 3、已知二次函數(shù)有最大值、已知二次函數(shù)有最大值6 6，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點(2, 3)(2, 3)，(-4,5)(-4,5)，設拋，設拋物線解析式為物線解析式為_._.4 4、已知拋物線的對稱軸是直線、已知拋物線的對稱軸是直線x=-2x=-2，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點(1,3)(1,3)，(5,6)(5,6)，設拋物線解析式為設拋物線解析式為_._.5 5、已知拋物線與、已知拋物線與x x軸交于點軸交于點A(A(1 1，0)0)、B(1B(1，0)0)，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點(2,-3),(2,-3),設拋物線解析式為設拋物線解析式為_._.做一做做一做1 1、已知二次函數(shù)的最大值是已知二次函數(shù)的最大值是2 2，圖象頂點，圖象頂點在直線在直線y=x+