考研試題(線性代數(shù)部分)

1、考研試題（線性代數(shù)）部分匯編5 年一、選擇題（）設(shè)1, 2 是矩陣A 的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別是1 ,2 ，則 1,A( 12)線性無關(guān)的充分必要條件是（）。（A） 10（B）20（C）10（D） 20（）設(shè) A 為(n 2)階可逆矩陣，交換的第一行與第二行得到矩陣B，*ABA , B分別是矩陣的伴，隨矩陣，則（ A）交換（ C）交換二、填空題）。*A 的第一列與第二列得B（ B）交換 A 的第一行與第二行得BA*的第一列與第二列得B*（ D）交換 A*的第一行與第二行得B*（）設(shè) 1, 2, 3是三維列向量， 記矩陣 A(1,2, 3)，B ( 123 , 12243,1 32

2、93 ) ，如果A 1，則B。三、解答題（）已知二次型f (x1 , x 2 , x3 ) (1 a) x12(1a) x 22 2 x322(1a)x1 x 2的秩為求 a 的值；求正交變換 X QY ，把二次型f ( x1 ,x 2 , x3 ) 化成標準形；求方程f (x1 , x2 , x3 )0 的解123（）已知階矩陣a ,b ,c不全為零， 矩陣 B246（k為常數(shù)），且AB0，A 的第一行是 (a,b,c) ，36k求線性方程組 AX0的通解6 年一、選擇題（ 11）設(shè) a1, a2 , a, 均為 n 維列向量，A 是 mn 矩陣，下列選項正確的是（ A）若 a1, a2 ,

3、 a, 線性相關(guān)，則Aa1, Aa2 , Aa, 線性相關(guān) .（ B）若 a, a , a, 線性相關(guān)，則Aa , Aa , Aa, 線性無關(guān) .1212（ C）若 a1, a2, a, 線性無關(guān)，則Aa1, Aa2 , Aa, 線性相關(guān) .（ D）若 a1, a2, a, 線性無關(guān)，則Aa1, Aa2 , Aa, 線性無關(guān) .【】（12）設(shè) A為 3階矩陣，將A的第 2 行加到第 1 行得 B ，再將 B的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，110記 P 010，則001（A） CP 1AP （B） CPAP 1（C）C PTAP（ D） C PAPT【】二、填空題（ 4）點 (2,

4、1, 0) 到平面 3x4y5z0 的距離 z =（數(shù)一）（ 4）已知 a1 , a2 為 2 維列向量，矩陣A(2 a1a2 , a1a2 ) ， B(a1, a2 ) 。若行列式 | A |6 ，則|B|=（數(shù)四）21B滿足 BAB 2E，則 B=.（ 5）設(shè)矩陣 A， E 為 2 階單位矩陣，矩陣12三、解答題x1x2x3x4120 已知非齊次線性方程組4 x13x25x3x41 有3個線性無關(guān)的解ax1x23 x3bx41 證明方程組系數(shù)矩陣A 的秩 r A2 求 a,b 的值及方程組的通解 （數(shù)一）20設(shè) 4 維向量組 a1(1 a,1,1,1)T ，a2(2, 2a, 2, 2)T

5、 ， a3 (3,3, 3a, 3)T ，a4 (4, 4, 4, 4a)T ，問 a 為何值時 a1, a2 , a3 , a4 線性相關(guān)？當a1a2 a3a4 線性相關(guān)時，求其一個極大線性無關(guān)組，并將其余量用該極大線性無關(guān)組線性表出。 （數(shù)四）3,向量 1T0,T21 設(shè) 3 階實對稱矩陣A 的各行元素之和均為1,2,1,21,1 是線性方程組 A x =0的兩個解 , ( ) 求 A 的特征值與特征向量( ) 求正交矩陣Q和對角矩陣，使得QTAQ.7 年一、選擇題（ 7）設(shè)向量組1 ,2 , 3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）（A） 12 , 23 , 31 （ B）12 , 23

6、 , 31 （C） 122,22 3 ,32 1（D）122,223,32 1 211100（）設(shè)矩陣A121 ， B010則 A 與（）112000（ A）合同，且相似（ B）合同，但不相似（ C）不合同，但相似（ D）即不合同，也不相似二、填空題010000103（）設(shè)矩陣 A001，則 A 的秩為00000三、解答題x1x2x30（）（分） 設(shè)線性方程組x12x2ax30與方程 x12x2x3a 1x14x2a 2 x30有公共解，求a 的值及所有公共解（）設(shè)階對稱矩陣A 的特征值 11,2 2,32，1(1, 1,1)是 A 的屬于特征值1 的一（分）T個特征向量，記53B A4 A

7、E ，其中 E 為階單位矩陣 驗證 1 是矩陣 B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量求矩陣 B8 年一、選擇題（ 5） 設(shè) A 為 n 階非零矩陣， E 為 n 階單位矩陣，若A30 ，則（）。（ A）EA 不可逆， EA 不可逆（ B）EA 不可逆，E A可逆（ C）EA可逆， EA 可逆（ D）EA可逆， EA 不可逆x（）設(shè) A 為階實對稱矩陣，如果二次曲面方程(x, y, z) A y1在正交變換下的標準方程的圖形如圖，z則 A 的正特征值個數(shù)為（）（圖形為單葉雙曲面）（ A） （ B） （C） （ D）（數(shù)一）（）設(shè) A12 ，則在實數(shù)域上與A 合同的矩陣為（）21（ A）

8、21（ B）21（ C）21（ D）12（數(shù)四）12121221二、填空題（ 1）設(shè) A 為階矩陣，1,2 為線性無關(guān)的二維列向量，A 10，A 22 12 ，則 A 的非零特征值為（數(shù)一）（ 2）設(shè)階矩陣A 的特征值互不相同，若行列式A0 ，則 r ( A)（數(shù)四）（）設(shè)階矩陣A 的特征值1， 2，2，則 4 A 1E（數(shù)三）三、解答題（） （分） ATT ，,是三維列向量，T 是 的轉(zhuǎn)置，T 是 的轉(zhuǎn)置證r(A)2 ；若，線性相關(guān)，則 r(A)<2. （數(shù)一）2a1（分）a22a，現(xiàn)矩陣 A 滿足方程 AX B ，其中 X ( x1 , x2 ,T，（）設(shè)矩陣 A2a1, xn )a

9、22an nB(1,0, ,0) T 求證：A(n1)a n ；a 為何值時，方程組有唯一解，求x1 ；a 為何值時，方程組有無窮多解，求通解（數(shù)一）（數(shù)四的題）（）（分 設(shè) A 為階矩陣，1 ,2 為 A 的分別屬于，的特征向量，向量3滿足 A323證明 1, 2,3 線性無關(guān)；令 P(1, 2,3)，求 P1AP （數(shù)四的題）9 年數(shù)學一一、選擇題（5） 設(shè)1 ,2 ,3113 是三維向量空間R 的一組基，則由基1 ,22,33到基12 ,23 ,31 的過渡矩陣為（）。111111101120244222111111（A）220（B） 02 3（ C）（ D）24644403310311

10、1111246666（）設(shè)A, B均為 階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若A ， 3，則分塊矩陣62A , BA, B2 BOA 的伴隨矩陣為（）BO（A）O3B（ ）O2B（ ）O3A（D）O2A2 AOB3AOC2BO3BO二、填空題（13）若3維向量 ， 滿足 T2，其中 T 為 的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的非零特征值為。三、解答題1-1-11（20）（ 11分）設(shè) A -111，-10-4-22求滿足 A 2 1，A 23 1的所有向量2， 3；對中的任意向量2，3，證明1，2， 3線性無關(guān) 。（21）（ 11分）設(shè)二次型 f (x1, x2, x3 ) ax12ax22 ( a 1) x322x1

11、x2 2x2 x3（）求二次型 f 的矩陣的所有特征值；（）若二次型 f 的規(guī)范形為 y12y22，求 a的值 .數(shù)學二一、選擇題（）設(shè)A, B均為 階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若A ， 3，則分塊矩陣72A , BA, B2 BOABO的伴隨矩陣為（）（A） O3B（B） O2B（C）O3A（D） O2 A2 AO3AO2BO3BO100（8）設(shè) ， 均為 階矩陣，T為 的轉(zhuǎn)置矩陣，且T0 1 0，若P (1,2,3),A P3P PP AP002Q ( 12, 2, 3),則QTAQ為（ ）210110200100（A）1 1 0（B）1 20（C）010（D）0 2 00020020020

12、02二、填空題（14）若3維向量 ， 滿足T2，其中 T 為 的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的非零特征值為。三、解答題1-1-1-1（22）（ 11分）設(shè) A -111， 1求滿足 A ，A2 的所有向量，3；213120-4-2-2對中的任意向量2，3，證明1，2， 3線性無關(guān) 。（23）（ 11分）設(shè)二次型 f (x1, x2, x3 )ax12ax22 ( a1) x322x1 x2 2x2 x3（）求二次型 f 的矩陣的所有特征值；（）若二次型 f 的規(guī)范形為 y12y22，求 a的值 .數(shù)學三一、選擇題（5）設(shè) A, B均為 2階矩陣，A 2，B 3，則分塊矩陣A , B 分別為 A, B的伴隨矩陣，若O A 的伴隨矩陣為（）BO（A） O3B（B） O2B（C）O3A（D） O2 A2AO3AO2BO3BO100（6）設(shè) ， 均為 階矩陣，PT為 的轉(zhuǎn)置矩陣，且PTAP0 1 0，若P ( 1, 2, 3),A P3P002Q ( 12, 2, 3),則QTAQ為（ ）210110200100（A）1 1 0（B）1 20（C）010（D）02 0002002002002二、填空題300（13）設(shè)TT,若矩陣T 相似于000，則 。(1,1,1) ,(1,0, k)k00