經(jīng)濟數(shù)學(xué)第37次授課提綱新

1、整理課件經(jīng)濟數(shù)學(xué)經(jīng)濟數(shù)學(xué)授課提綱授課提綱n 第二學(xué)期第三十七次授課第二學(xué)期第三十七次授課n授課教師：郭正光授課教師：郭正光 整理課件10.5 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程 上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)：上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)：),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解整理課件二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程( )ypyqyf x(1)(* xy設(shè)是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一

2、個特解的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 2.( )ypyqyf x則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 .整理課件證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程代入方程左端左端, 得得)*( yY(* )p Yy(*)ypyq y()YpYqY)(0)(xfxf(*)q Yy( )ypyqyf x)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解, 又又Y 中含有中含有兩個獨立任意常數(shù)兩個獨立任意常數(shù),證畢證畢因而因而 也是通解也是通解 .)(*)(xyxYy整理課件例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsi

3、ncos21對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程0 yy有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxCxCysincos21 定理定理3 3 設(shè)設(shè) 和和 是是 的兩個的兩個特解，則特解，則 是是 的一個解。的一個解。1y2y( )ypyqyf x12yy0ypyqy整理課件定理定理 4. 設(shè)設(shè)12( ) ,( )y xyx分別是方程分別是方程的特解的特解, 則則是方程是方程12( )( )ypyqyf xypyqyfx12yyy12( )( )ypyqyf xfx的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 整理課件例例1 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyx

4、py 個解個解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解是對應(yīng)齊次方程的解, 且且xexeyyyyxx21312常數(shù)常數(shù)因而相互獨立因而相互獨立, 故原方程通解為故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為故所求特解為有三有三 整理課件)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為Yy

5、 *y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據(jù)根據(jù) f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù)代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法整理課件)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 ( )( )xmf xe P x型型 為實數(shù)為實數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為設(shè)特解為, )(*xQeyx其中其中 為待定多項式為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ

6、(1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即則取則取),(xQm從而得到特解從而得到特解形式為形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為為m次多項式次多項式 .Q (x) 為為 m 次待定系數(shù)多項式次待定系數(shù)多項式整理課件(2) 若若 是特征方程的是特征方程的單根單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為為m 次多項式次多項式, 故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是是 m 次多項式次多項式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*2小結(jié)小結(jié)

7、對方程對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時時,可設(shè)可設(shè)特解特解整理課件例例2 2244yyyx求微分方程求微分方程 的通解的通解. .求微分方程求微分方程 的通解的通解. .例例3 33693xyyyxe小結(jié)：小結(jié)：對于方程對于方程( )xmypyqyP x e設(shè)特解為設(shè)特解為*( ),xye Q x（m次完全多項式）次完全多項式）)(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm*( )(0

8、,1, 2)kxmyx Qx ek當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的k重根重根時時, ,可設(shè)特解可設(shè)特解整理課件例例4 4xexyyy265 求方程的通解的通解. 解解: 本題本題特征方程為特征方程為,0652 rr其根為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù)比較系數(shù), 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解為因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解為所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2整理課件二、二、(

9、 )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx型型( )cos( )sinxlneP xxP xxyqypy ),(為常數(shù)qp*( )cos( )sinkxmmyx eQxxRxx則可設(shè)特解則可設(shè)特解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.整理課件時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當(dāng)xexxxf22cos)()2當(dāng)xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為 ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xxxkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(例例5 (填空填空) 設(shè)設(shè)( )cos( )sinmmQxxRxx為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i整理課件 例例6 求方程求方程 的通解。的通解。2(cos7sin )xyyyexx本次課小結(jié)：本次課小結(jié)：( )ypyqyf x對于方程對于方程一、一、 ( )( )x