高中數(shù)學(xué)必修五《海倫公式探究》(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上海倫公式探究背景：海倫公式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用非常廣泛，它方便了日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三角形的面積計(jì)算，使我們只需知道任意三角形的三邊長(zhǎng)度，就可以用公式求得三角形的面積大小。但是你知道海倫公式的證明方法嗎？本次探究，著手海倫公式的證明方法、推廣，使同學(xué)們能更深刻地記住海倫公式、容易證明，并且合理使用。過(guò)程：海倫公式 證明 三斜求積術(shù) 推廣 運(yùn)用 余弦定理海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫秦九韶公式，傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公

2、式其實(shí)是阿基米得所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。如右圖，假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積S可由圖下公式求得。證明： 與海倫在他的著作"Metrica"(度量論)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為：設(shè)則上式所以， 證明：我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家九韶在數(shù)書九章提出了“三斜求積術(shù)”。 秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半

3、，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積。 所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實(shí)”。以、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜。定理:若三角形的三條邊分別是:大斜、中斜、小斜，則三角形面積為：原文見(jiàn)<數(shù)書九章>卷五第二題:以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之同乘于上，以小斜冪并大斜冪，減上余，四約之為實(shí)，開(kāi)平方，得積證明：如 圖，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2所以，u2-v2=b2-c2(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=

4、(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a因(u+v)=a，所以又 h2=b2-u2，三角形面積=ah/2此即：，其中c>b>a.將根號(hào)下的多項(xiàng)式分解因式，便成為可見(jiàn)，三斜求積術(shù)與古希臘海倫公式是等價(jià)的所以這一公式也被稱為“海倫秦九韶公式”。關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：設(shè)ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ha為a邊上的高，R、r分別為ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =(a+b+c),則SABC =aha=ab×sinC = r p = 2R­­­­2sinAsinBsinC = =其中，S

5、ABC =就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作測(cè)地術(shù)中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。一、 海倫公式的變形S= = = = = = 證一：根據(jù)勾股定理證明。分析：先從三角形最基本的計(jì)算公式SABC =aha入手，運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)出海倫公式。證二：根據(jù)斯氏定理證明。根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣（其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d,為4邊）代入解得海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。二、 海倫公式的推廣由于在實(shí)際應(yīng)用中，往往需計(jì)算四邊形的

6、面積，所以需要對(duì)海倫公式進(jìn)行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p=,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)E。 設(shè)EA = e EB = f1+2 =180 2+3 =1801 =3 EABECD= =解得： e = f = 由于S四邊形ABCD =SEAB將，跟b =代入公式變形，得： 所以，海倫公式的推廣得證。三、 海倫公式的推廣的應(yīng)用海倫公式的推廣在實(shí)際解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運(yùn)用海倫公式的推廣往往事半功倍。例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD =,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：= (4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x2