第4章 多自由度系統(tǒng)的振動題解

1、習 題4-1 在題3-10中，設m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題4-1圖 解：由題3-10的結果，代入，可求出剛度矩陣K和質量矩陣M；由頻率方程，得 ，為求系統(tǒng)主振型，先求出adjB的第一列分別將頻率值代入，得系統(tǒng)的主振型矩陣為 題4-2圖4-2 題4-2圖所示的均勻剛性桿質量為m1，求系統(tǒng)的頻率方程。解：設桿的轉角和物塊位移x為廣義坐標。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設，畫出受力圖，并施加物體力偶與力，由平衡條件得到， 設，畫出受力圖，并施加物體力偶與力，由平衡條件得到， ， 得作用力方程為由頻率方程，得題4-3圖4-3 題4-3圖所示的系統(tǒng)中，兩

2、根長度為l的均勻剛性桿的質量為m1及m2，求系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣，并求出當m1=m2=m和k1=k2=k時系統(tǒng)的固有頻率。解：如圖取為廣義坐標，分別畫受力圖。由動量矩定理得到， 整理得到， 則剛度矩陣和柔度矩陣分別得，系統(tǒng)的質量矩陣為由頻率方程，并代入已知條件得，整理得到 ,求得，。用剛度影響系數(shù)法求解剛度矩陣。令，分別由兩桿的受力圖，列平衡方程為；同理，令得到 題4-4圖4-4 題4-4圖所示，滑輪半徑為R，繞中心的轉動慣量為2mR2，不計軸承處摩擦，并忽略繞滑輪的繩子的彈性及質量，求系統(tǒng)的固有頻率及相應的主振型。解：如圖選x1，x2，x3為廣義坐標。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設，畫

3、出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到， ， 設，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到，= 0， ，設，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到，則剛度矩陣和質量矩陣分別得，由頻率方程，得展開為，解出頻率為，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為題4-5圖4-5 三個單擺用兩個彈簧聯(lián)結，如題4-5圖所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。試用微小的角、和為坐標，以作用力方程方法求系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解：如圖選為廣義坐標。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設，畫出受力圖，并施加物體于，由平衡條件得到， ， 設，畫出受力圖，并施加物體，由平衡條件得到， ，設，畫出

4、受力圖，并施加物體，由平衡條件得到，則剛度矩陣和質量矩陣分別得，特征矩陣：由頻率方程，得0，展開為，解出頻率為，。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為4-6 題4-6圖所示的簡支梁的抗彎剛度為EJ，本身質量不計，以微小的平動x1、x2和x3為坐標，用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率及主振型。假設m1=m2=m3=m。題4-6圖解：如圖取廣義坐標，用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。首先，僅在質量處施加豎直單位力F=1，其余各質量塊處不受力，則產(chǎn)生的靜撓度是；處產(chǎn)生的靜撓度是；處產(chǎn)生的靜撓度是。則由材料力學知識，得到，同理可得到其它柔度矩陣的各列，最后得到柔度矩陣為得到系統(tǒng)

5、的位移方程為由系統(tǒng)的特征矩陣，得頻率方程，即其中，展開頻率方程為解出。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，分別代入特征值，得到主振型為。題4-7圖4-7 如題4-7圖所示，用三個彈簧連接的四個質量塊可以沿水平方向平動，假設m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，試用作用力方程計算系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解：如圖選擇廣義坐標。求質量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為， 由頻率方程，得因此可得到頻率方程 解出 ,， ， 解出頻率為，。由特征矩陣,特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，將 代入，即得 歸一化 得將 代入，得 歸一化 得將代入，得 歸一化 得將代入，得 歸一化 得得系統(tǒng)的主振型矩陣為各階主

6、振型如下圖所示：題4-8圖4-8 題4-8圖表示一座帶有剛性梁和彈性立柱的三層樓建筑。假設m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3=EJ。用微小的水平平動x1、x2和x3為坐標，用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣。解：由材料力學知，當懸臂梁自由端無轉角時，其梁的等效剛度為，由此可將題4-11圖等效為(a)圖，其中，廣義坐標如圖（a）示。利用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。即，對圖（a）中的施加單位力，其余不受力，此時第一個彈簧變形為，第二和第三個彈簧變形為零。由此可得個坐標位移為， ，同理求出其余各列。最后得到柔度矩陣為系統(tǒng)的質量矩陣為得到系統(tǒng)的

7、位移方程為由系統(tǒng)的特征矩陣，得頻率方程，即其中，展開頻率方程為解出。解出固有頻率為由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，分別代入特征值，得到主振型為。主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為柔度矩陣還可以這樣解出： 時：，：， 時：， 題4-9圖4-9 在題4-9圖所示的系統(tǒng)中，各個質量只能沿鉛垂方向運動，假設m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣。解：如圖選擇廣義坐標。求質量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，由頻率方程，得解出頻率為，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，將代入得系統(tǒng)的第一階主振型為滿足如下關系：，展開以上二式得，。取，

8、，可得到。即有滿足如下關系：，展開以上二式得，聯(lián)立得。取，可得到。即得主振型矩陣為4-10 試計算題4-5的系統(tǒng)對初始條件和的響應。解：在習題4-5中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質量矩陣分別為題4-5圖，主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為初始條件為，= 0正則坐標的響應為，由，展開得到其中，。題4-7圖4-11 試計算題4-7的系統(tǒng)對初始條件和 的響應。解：在習題4-7中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質量矩陣分別為，主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標初始條件為= 0，= 正則坐標的響應為，其中頻率為。最終得到響應,由，展開得到題4-8圖4-12 試確定題4

9、-8中三層樓建筑框架由于作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除所引起的響應。解：在習題4-8中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質量矩陣分別為，當作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除時，相當于受到了初始條件的激勵，即，正則坐標初始條件為= ，= 正則坐標的響應為由，展開得到其中。4-13假定一個水平向右作用的斜坡力施加與題4-5中中間擺的質量上，試確定系統(tǒng)的響應。解：在習題4-10中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質量矩陣分別為題4-5圖，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標：由方程（2-28）得到對于斜坡力的卷積積分，第i個正則坐標的響應：用正則坐標表示的位移矢量由，展開得到其中，。4-14

10、 試確定題4-7的系統(tǒng)對作用于質量m1和質量m4上的階躍力F1=F4=F的響應。題4-7圖解：在習題4-11中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質量矩陣分別為，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標：用正則坐標表示的位移矢量由，展開得到其中。題4-8圖4-15 在題4-8的三層樓建筑中，假定地面的水平運動加速度，試求各層樓板相對于地面的穩(wěn)態(tài)水平強迫振動。解：在習題4-12中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質量矩陣分別為，由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標：用正則坐標表示的位移矢量由，展開得到其中,（i =1,2,3）;,。題4-16圖4-16 質量為m1的滑塊用兩個剛度分別為k1及k2的彈簧

11、連接在基礎上，滑塊上有質量為m1、擺長為l的單擺，假設m1=m2=m及k1=k2=k，基礎作水平方向的簡諧振動，其中，試求(1) 單擺的最大擺角；（2）系統(tǒng)的共振頻率。解：如圖所示選擇廣義坐標。利用質量影響系數(shù)法求質量矩陣，設，畫慣性力及，由平衡條件得到，。設，畫慣性力及，由平衡條件得到，。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設，畫出受力圖，并施加物塊力，列平衡方程，得到，設，畫出受力圖，并施加物塊力，列平衡方程，得到，得作用力方程為令為穩(wěn)態(tài)響應，代入上式得，展開為將代入可得到。穩(wěn)態(tài)運動時有，則有由頻率方程，得展開為，解出頻率為，即為共振頻率。題4-17圖4-17 題4-17圖示的系統(tǒng)中，各個質量只

12、能沿鉛垂方向運動，假設在質量4m上作用有鉛垂力，試求各個質量的強迫振動振幅；系統(tǒng)的共振頻率。解：如圖選擇廣義坐標。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，系統(tǒng)的質量矩陣為，由頻率方程，得解得，由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標表示的微分方程由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標：用正則坐標表示的位移矢量其中，（i = 1,2,3）。由，展開得到可用直接方法求解：列出運動方程設其穩(wěn)態(tài)響應為：所以原方程化為： 即：所以：令則：題4-18圖4-18 在題4-18圖的有阻尼系統(tǒng)中，左端的質量塊受階躍力P的作用，初始條件為零，求系統(tǒng)響應。解：（1）寫出無阻尼受迫振動方程（2）求固有頻率和正則振型由頻率方程，得解得，。 由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為（3）正則坐標表示的微分方程（4）引入振型阻尼比建立阻尼矩陣，求主阻尼矩