TUMAIL公共基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)量關(guān)系筆記

1、數(shù)量關(guān)系1、算數(shù)知識奇偶（1）整數(shù)：正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)。（2）自然數(shù)：0和正整數(shù)。（3）偶數(shù)和奇數(shù)：能夠被2整除的為偶數(shù)，2n；否則為奇數(shù)，2n+1（n為整數(shù)）。又稱單數(shù)和雙數(shù)。（4）0：0是特殊的偶數(shù)。（5）加減：同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇。（6）乘法：乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無偶則為奇。質(zhì)合（1）質(zhì)數(shù)：自然數(shù)中除了1和本身外，無法被其他自然數(shù)整除稱為質(zhì)數(shù)，又稱素?cái)?shù)。最小質(zhì)數(shù)為2。（2）合數(shù)：自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他的自然數(shù)整除稱為合數(shù)。最小合數(shù)為4。（3）0和1：0和1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（4）質(zhì)因數(shù)分解：任何合數(shù)都能分解成若干質(zhì)數(shù)的乘積。（5）短除法：從最小的質(zhì)數(shù)除起

2、，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)。整除（1）整除：整數(shù)a除以非0的整數(shù)b沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除或說b整除a。（2）傳遞：如果ba能整除，cb能整除，則數(shù)a也能被c整除。（3）加減：如果a與b都能被c整除，則a+b與a-b也能被c整除。（4）乘法：如果a能被b整除，c是任意整數(shù)，則積ac也能被b整除。（5）除法：如果a能同時(shí)被b、c整除，且b與c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除，反之也成立。（6）2整除：個(gè)位上是0、2、4、6、8的。（7）3整除：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)。（8）4整除：末兩位能被4整除。（9）5整除：個(gè)位是0或5的。（10）6整除：能同時(shí)被2和3整除。（11）7整除：個(gè)位數(shù)截去，余下的

3、數(shù)減去個(gè)位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)。（12）8整除：末三位能被8整除。（13）9整除：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。最大公約兩個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的整數(shù)為最大公約數(shù)。方法為質(zhì)因數(shù)分解，共有質(zhì)數(shù)的乘積即為最大公約數(shù)。最小公倍兩個(gè)整中共有倍數(shù)中最小的整數(shù)為最小公倍數(shù)。方法為質(zhì)因數(shù)分解，兩數(shù)所有公約數(shù)與非公約數(shù)的乘積即為最小公倍數(shù)。倍數(shù)若a、b是整數(shù)，ab=mn，且m/n是最簡分?jǐn)?shù)，則a是n的倍數(shù)，b是m的倍數(shù)。連比幾個(gè)比例中，每一個(gè)比值的后項(xiàng)是下一個(gè)比值的前項(xiàng)。方法為找出中間量統(tǒng)一比例關(guān)系，一般為最小公倍數(shù)。平均數(shù)（1）算數(shù)平均數(shù)：X=X1+X2+X3+Xn/n。注：算術(shù)平均數(shù)與各數(shù)之差的平方和等于最小數(shù)

4、。（2）幾何平均數(shù)：Mg=。注：n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。（3）加權(quán)平均數(shù)：X=M1X1+M2X2+M3X3+MnXn/M1+M2+M3+Mn（4）加權(quán)權(quán)重：一部分平均值為a，一部分平均值為b，加權(quán)平均數(shù)為c，那么a與b權(quán)重x/y=c-b/a-c。2、代數(shù)知識不定方程ax+by=c，a,b,c均為整數(shù)。（1）奇偶：同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇。（2）尾數(shù)：兩數(shù)和、差、積的尾數(shù)等于兩數(shù)尾數(shù)和、差、積的尾數(shù)。尤其注意5x的尾數(shù)為0或5。（3）互質(zhì)：ax=by，a與b互質(zhì)，那么x/y必然為非整數(shù)。不等式（1）性質(zhì)：若a>b>0，則1/a<1/b。（2）不等式求解：設(shè)未

5、知數(shù)，根據(jù)不等式確定范圍，最終確定答案。分段函數(shù)如商場滿200減50，滿500八折。Y= x-50，200x<500;Y=0.8x，x500。等差數(shù)列一個(gè)數(shù)列首項(xiàng)為A1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，和為Sn。（1）通項(xiàng)：An=A1+（n-1）d（n1）；（2）對稱：Am+An=Ap+Aq（m+n=p+q）；（3）公差：d=（An-Am）/（n-m）；（4）求和：Sn=n（A1+An）/2=nA1+1/2n（n-1）d；或者Sn=pn+qn（p、q為常數(shù)），d=2p，A1=p+q;等比數(shù)列一個(gè)數(shù)列首項(xiàng)A1，公比q，和為Sn。（1）通項(xiàng)：An=A1*qn-1；（2）對稱：Am*An=Ap*Aq（m+

6、n=p+q）；（3）公比：q=an/an-1（n2）;（4）求和：Sn=A1（1-qn）/1-q（q1）；Sn=nA1（q=1）；特殊數(shù)列（1）平方數(shù)列求和：Sn=12+22+32+n2=1/6n（n+1）（2n+1）；（2）立方數(shù)列求和：Sn=13+23+33+n3= 1/2n(n+1) 2（3）斐波拉契數(shù)列：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n，nN）3、幾何知識相似全等（1）相似：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。（2）全等：兩邊及其夾角相等；兩角及其夾邊相等；三邊對應(yīng)相等。（3）面積：相似平面圖形面積比為相似比的平方；相似立體圖形體積比是相似比的立方。三角不等式任意兩邊之和大于第三

7、邊，任意兩邊之差小于第三邊。勾股定理（1）直角三角形：勾2+股2=弦2（2）勾股數(shù)：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）（9,40,41）（11,60,61）平面公式（1）三角形：S=ah=absinC（2）梯形：S=(a+b)h（3）平行四邊形：S=ah（4）圓形：C=2r=d，S=r2=d2（5）扇形：S=r2=lr凸多邊形內(nèi)角和：S=(n-2) ×1800直線切割平面區(qū)域數(shù)：an=1+等周（1）平面：周長一定，越趨近于圓，面積越大；面積一定，越趨近于圓，周長越小。（2）立體：表面積一定，越趨近于球，體積越大；體積一定，越趨近于球，表面積越小。立體

8、公式（1）球：S=4r2，V=r3（2）圓柱：S=2r2+2rh,V=SH=r2h（3）錐體：S=r+r2，V=r2h正多面體（1）定義：每個(gè)面都是全等的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)所接面數(shù)均等。（2）模型：正四、正五、正八、正十二和正二十。三視圖主視圖、俯視圖和左視圖，反映物體的長、寬、高尺寸。解析幾何（1）圓：(x-x0)2+(y-y0)2=r2（2）圓內(nèi)點(diǎn)：x2+y2<r2正方形分割一個(gè)正方形可以分割成除2、3、5外任意數(shù)量的小正方形。蜂窩覆蓋小圓對一定區(qū)域進(jìn)行無縫隙覆蓋，蜂窩狀排列時(shí)用的小圓最少。立方體染色將一個(gè)立方體表面染色并切割成邊長為原來的小立方體，則：（1）三面被染色的是8個(gè)在頂

9、角的小立方體；（2）兩面被染色的是12(n-2)個(gè)在棱上的小立方體；（3）一面被染色的是6(n-2)2個(gè)在外表面中央的小立方體；（4）未被染色的是(n-2)3個(gè)不在表面的小立方體。4、行程問題行程問題（1）比例：S與vt成正比，v與t成反比。（2）平均速度：V=S/相遇問題（1）相遇：S=S1+S2=(v1+v2)t（2）直線多次相遇：S總=(2n-1)S（3）環(huán)線多次相遇：S總=nS追及問題（1）追及：S1-S2=(v1-v2)t（2）環(huán)線多次追及：S1-S2=nS青蛙爬井天數(shù)=+1流水問題船速=（順?biāo)?逆速）/2，水速=（順?biāo)倌嫠伲?2火車問題（1）過橋：S=橋長+車長（2）錯(cuò)車：S=L1

10、+L2=(v1+v2)t（3）相對運(yùn)動：相對運(yùn)動距離=車長，相對速度=速度和或速度差。5、工程問題工程問題（1）比例：工作量與效率、時(shí)間成正比，效率與時(shí)間成反比。（2）輪流：效率和乘以時(shí)間。工作總量可以設(shè)為每個(gè)人單獨(dú)完成用時(shí)的最小公倍數(shù)。（3）合作：求效率和。水管問題進(jìn)/排水量=（進(jìn)速排速）×時(shí)間牛吃草問題（1）草生長速=（2）初始草量=（吃草速草生長速）×時(shí)間6、利潤問題收支利潤=收入支出利潤率利潤率=1折扣率（1）折扣率=×10（2）部分折扣：=7、容斥原理二集容斥AB=A+BAB三集容斥ABC=A+B+CABBCCA+ABC文氏圖集合抽象為大小一致的圓，集合

11、大小作為數(shù)字標(biāo)注于圖。8、排列組合排列Pmn=（nm1）組合Cmn=（nm1）環(huán)線排列n個(gè)人圍成一圈，排列方式有Hn-1n-1=（n-1）!傳球n個(gè)人經(jīng)過m次傳球，球回到發(fā)球人手中，傳球方式有Qmn=(n-1)k/n±（）錯(cuò)位重排n封信裝入n個(gè)信封，要求信和信封編號不同，則：（1）排列方式：Xn=（n-1）（Xn-2+Xn-1）（n2）（2）性質(zhì)：n個(gè)數(shù)的錯(cuò)位重排數(shù)Xn是（n-1）的倍數(shù)。（3）數(shù)值：X1=0，X2=1，X3=2，X4=9，X5=449、概率問題等可能概率事件空間分為n個(gè)等可能情形，事件A包含其中m個(gè)情形，A事件發(fā)生概率為：G(A)=條件概率在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下，

12、A事件發(fā)生的概率為G(AB)=獨(dú)立重復(fù)概率將某實(shí)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，在一次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中該事件正好發(fā)生m次的概率是：Gmn= Cmnpm(1P)n-m分類分步概率先計(jì)算每一類或每一步的概率，再計(jì)算整個(gè)事件概率。10、抽屜原理抽屜原理（1）原理一：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件；（2）原理二：把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有不少于m+1的物體；（3）原理三：把無窮多件物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里有無窮個(gè)物體。（4）原理四：把mn1個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m1）個(gè)物體。11、

13、數(shù)據(jù)分配數(shù)據(jù)分配（1）若數(shù)據(jù)可以相同，則各數(shù)相等離散性最差；（2）若數(shù)據(jù)不能相同，則公差為1的等差數(shù)列離散性最差。12、運(yùn)籌問題時(shí)間分配將在邏輯上不沖突的事件同時(shí)進(jìn)行。黑夜過橋（1）盡量讓時(shí)間相近的兩個(gè)人一起過橋；（2）讓對岸過橋時(shí)間最短的人把燈送回。空瓶換酒若A個(gè)空瓶可換一瓶酒，有B個(gè)空瓶，最多可以喝到C瓶酒：C=（取整）任務(wù)分配讓相對效率高的人去做他擅長的事才能確保整體效率最高。物質(zhì)集中路兩側(cè)物資總重量小的流向總重量大的。線性規(guī)劃（1）目標(biāo)函數(shù)：M=c1x+c2y（2）約束條件：a1x+a2ya3，b1x+b2yb313、其他題型濃度問題（1）溶液=溶質(zhì)+溶劑（2）濃度=×100%（3）飽和度：溶質(zhì)溶解于溶劑的上限為飽和濃度。時(shí)鐘問題（1）鐘面問題：角度差=時(shí)間(分鐘) ×5.5°（2）壞鐘問題：壞鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)鐘快n分鐘，當(dāng)壞鐘走過m分鐘時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)鐘走過分鐘。日期問題（1）閏年：每個(gè)世紀(jì)前99年，能被4整除的為閏年；每個(gè)世紀(jì)的最后一年，能被400整除的為閏年。（2）星期：平年每過一年，星期數(shù)的變化1；閏年每過一年，星期