MATLAB在微積分中的應(yīng)用

1、應(yīng)用MATLAB求解微積分問(wèn)題呂喜明（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古，呼和浩特，010051） 摘要：在微積分的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)一些比較復(fù)雜問(wèn)題。這些問(wèn)題用手工求解，既費(fèi)時(shí)間且容易出錯(cuò)，借助MATLAB可以有效的解決問(wèn)題，從而大大提高工作效率。本文從微積分問(wèn)題出發(fā)，詳盡地介紹MATLAB的符號(hào)運(yùn)算命令及其用法。 關(guān)鍵詞：MATLAB 微積分 極限 導(dǎo)數(shù) 積分 Taylor 級(jí)數(shù)一、引言MATLAB，即“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，它具有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能。本文從微積分問(wèn)題出發(fā)，詳盡地介紹MATLAB的符號(hào)運(yùn)算命令及其用法。 在MATLAB中提供了一些常用的函數(shù)來(lái)支持微積分運(yùn)算，涉及的方面包括求極

2、限，求導(dǎo)數(shù)，求積分，Taylor展開(kāi)，級(jí)數(shù)求和等諸多問(wèn)題。下面我們就來(lái)作詳盡的介紹。運(yùn)用MATLAB求解微積分是很有用的，其速度比人工計(jì)算要快很多，在數(shù)學(xué)建模中更是一種現(xiàn)代化工具，效果和效率都有突破性的提高。二、MATLAB在微積分中的應(yīng)用1 極限(limit)問(wèn)題的求解1單變量函數(shù)的極限（1）的極限【命令】limit【調(diào)用格式】limit(f,x,x0) %f關(guān)于x求趨于x0的極限，x0可以取無(wú)窮大例1：計(jì)算極限【程序代碼】syms x ; %創(chuàng)建符號(hào)變量 y=sin(x)/x; limit(y,x,0) ans =1 例2：求函數(shù)的極限syms x;y=log(x+sqrt(1+x.2)/

3、(x+tan(x);limit(y,x,0) ans =1/2 例3：計(jì)算極限【程序代碼】syms x a b; %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)變量 f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); limit(f,x,inf) %inf表示正無(wú)窮大 ans =exp(a)*b （2）或的極限（單側(cè)極限）【命令】limit【調(diào)用格式】limit(f,x,x0,'right')或limit(f,x,x0,'left')例4：計(jì)算極限【程序代碼】 syms x; %創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)變量 f=(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x); limit(f,x,0,'

4、;right') %求x趨向于0的右極限 例5:計(jì)算極限 (微積分課本90頁(yè)15(9)【程序代碼】syms x; %創(chuàng)建符號(hào)變量y=x/sqrt(1-cos(x); limit(y,x,0,'left') %求y趨向于0的右極限 ans =-2(1/2) 2多變量函數(shù)的極限（1）的極限【命令】limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)【調(diào)用格式】limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)例6:計(jì)算極限 (微積分舊課本P293例2(2)【程序代碼】sym

5、s x y ; %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)變量f=(x*y)/(sqrt(x*y+1)-1);limit(limit(f,x,2),y,0) %求x2 y0時(shí)的極限 ans =2 例7:計(jì)算極限【程序代碼】syms x y a; %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)變量f=exp(-1/(y2+x2)*sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2);limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf) 例8:計(jì)算極限 (微積分新課本P316例2)【程序代碼】syms x y ; %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)變量f=(x*y)/(x2+y2);limit(limit(f,x,0),y,0) %求x0， y0時(shí)的極限 an

6、s =0 注：利用matlab計(jì)算二元函數(shù)的極限時(shí)，其只有計(jì)算功能，沒(méi)有判斷功能。2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(differential coefficient)1一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)：（1）【命令】diff【調(diào)用格式】diff(f,x,n) %關(guān)于x求n階導(dǎo)數(shù)例9： 求的導(dǎo)數(shù)，和【程序代碼】syms x; %創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)變量 y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y,x) y2=diff(y,x,2) y10=diff(y,x,10) y1 =cos(x)/(x2+4*x+3)-sin(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)y2 =-sin(x)/(x2+4*x+3)-2*

7、cos(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)+2*sin(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)2-2*sin(x)/(x2+4*x+3)2y10 =-10*cos(x)/(x2+4*x+3)2*(2*x+4)+90*sin(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)2+18144000*sin(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)2+604800*cos(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)7-2419200*cos(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)-3628800*cos(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)5-27216000*sin(

8、x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)4-1814400*sin(x)/(x2+4*x+3)5+15120*sin(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)2+101606400*sin(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)6-151200*sin(x)/(x2+4*x+3)4+12700800*sin(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)6+6048000*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)3-1814400*sin(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)8+720*cos(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)3-5040*sin(x

9、)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)4-1440*cos(x)/(x2+4*x+3)3*(2*x+4)-sin(x)/(x2+4*x+3)-18144000*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)-76204800*cos(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)5-3628800*cos(x)/(x2+4*x+3)10*(2*x+4)9-32659200*sin(x)/(x2+4*x+3)10*(2*x+4)8+72576000*cos(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)3+54432000*sin(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)2+29030

10、400*cos(x)/(x2+4*x+3)9*(2*x+4)7+3628800*sin(x)/(x2+4*x+3)11*(2*x+4)10-127008000*sin(x)/(x2+4*x+3)8*(2*x+4)4-5040*sin(x)/(x2+4*x+3)3-3628800*sin(x)/(x2+4*x+3)6+151200*sin(x)/(x2+4*x+3)7*(2*x+4)6+120960*cos(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)3-90720*cos(x)/(x2+4*x+3)4*(2*x+4)-756000*sin(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)4+907

11、200*sin(x)/(x2+4*x+3)5*(2*x+4)2-30240*cos(x)/(x2+4*x+3)6*(2*x+4)5-90*sin(x)/(x2+4*x+3)2 注：利用matlab計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，只能計(jì)算有限階，不能計(jì)算符號(hào)階。例10：求的導(dǎo)數(shù)【程序代碼】 syms x n; %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)對(duì)象y=sin(x);yn=diff(y,x,n) yn =0 2多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（1）【命令】diff（diff(f,x,m),y,n）或diff（diff(f,y,n),x,m）【調(diào)用格式】diff（diff(f,x,m),y,n）或diff（diff(f,y,n),x,m）例11：求的二

12、階偏導(dǎo)數(shù) (微積分課本P301例8)【程序代碼】syms x y; %定義多個(gè)符號(hào)變量 z=x*sin(x2+y2);zxx=diff(diff(z,x),x) %先對(duì)x再對(duì)x求偏導(dǎo)zxy=diff(diff(z,x),y) %先對(duì)x再對(duì)y求偏導(dǎo)zyx=diff(diff(z,y),x) %先對(duì)y再對(duì)x求偏導(dǎo) zyy=diff(diff(z,y),y) %先對(duì)y再對(duì)y求偏導(dǎo) zxx =6*cos(y2+x2)*x-4*x3*sin(y2+x2)zxy =2*cos(y2+x2)*y-4*x2*sin(y2+x2)*yzyx =2*cos(y2+x2)*y-4*x2*sin(y2+x2)*yzy

13、y =-4*x*sin(y2+x2)*y2+2*cos(y2+x2)*x 例12：已知，求,【程序代碼】syms x y %創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)對(duì)象 z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zxy=diff(diff(z,x,1),y,1) zx3y2=diff(diff(z,x,3),y,2) zxy =(2*x-2)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-(x2-2*x)*exp(-y2-x2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)zx3y2 =-12*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-12*(-2

14、*x-y)*exp(-y2-x2-x*y)+6*(-2*x-y)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)+18*(2*x-2)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(2*x-2)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)-12*(2*x-2)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(2*x-2)*(-2*x-y)2*exp(-y2-x2-x*y)+3*(2*x-2)*(-2*x-y)2*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)+12*(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)+18*(x2-2*x)*(-

15、2*x-y)*exp(-y2-x2-x*y)-6*(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y)-6*(x2-2*x)*(-2*x-y)2*(-2*y-x)*exp(-y2-x2-x*y)-2*(x2-2*x)*(-2*x-y)3*exp(-y2-x2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)3*(-2*y-x)2*exp(-y2-x2-x*y) 【注解 】求或可調(diào)用如下簡(jiǎn)化命令：zxdiff（z,x）或zy=diff（z,y）例13：已知，求【程序代碼】syms x y z; %定義多個(gè)符號(hào)變量 f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2);

16、fx3y2z=diff(diff(diff(f,x,3),y,2),z,1); %求導(dǎo)fx3y2z=simple(fx3y2z) %化解結(jié)果 fx3y2z =-32*x*z*exp(-x2*y-z2)*(12*sin(x2*y)*x2*y-15*sin(x2*y)*x4*y2-3*cos(x2*y)+12*cos(x2*y)*x2*y-2*cos(x2*y)*x6*y3+2*sin(x2*y)*x6*y3) 3 積分( integral)問(wèn)題的求解1不定積分(indefinite integral)的求解：（1）【命令】int【調(diào)用格式】int(f,x)【輸出控制】int(f,x)+C例14：

17、求 (微積分課本P213例7)【程序代碼】syms x C; y=x3*log(x)2; yj=int(y,x)+C yj =1/4*x4*log(x)2-1/8*x4*log(x)+1/32*x4+C 例15：求的不定積分 (微積分課本224頁(yè)3(5)【程序代碼】syms x a b e C; %創(chuàng)建符號(hào)變量y=(sin(a*x)-e(x/b);yj=int(y,x)+C %求不定積分 yj =-1/a*cos(a*x)-b/log(e)*e(x/b)+C 2定積分的計(jì)算【命令】inf（f,x,a,b）【調(diào)用格式】inf（f,x,a,b）例16：計(jì)算 (微積分新課本P244例2)【程序代碼】

18、syms x; y=exp(sqrt(x); I=int(y,x,0,1) I =2 例17：計(jì)算【程序代碼】syms x; %創(chuàng)建符號(hào)變量 y=1/(1+x2); I=int(y,x,0,inf) %計(jì)算定積分 I =1/2*pi 例18：求積分 syms x y z F2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2) % 積分結(jié)果用 32 位數(shù)字表示 F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2)+14912/4641*2(1/4)+64/225*2(3/4)VF2 = 4 冪級(jí)數(shù)(Power series)的泰勒(Taylor)展開(kāi)【命令】taylor【調(diào)用格式】taylor(f,x,n,a) %在點(diǎn)處k項(xiàng)展開(kāi)例19：把sinx在0點(diǎn)展開(kāi)到次。syms x;y=sin(x)m6=taylor(y,7,0) y =sin(x)m6 =x-1/6*x3+1/120*x5 例2