311　空間向量及其加減運算312　空間向量的數(shù)乘運算

1、3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算【選題明細表】 知識點、方法題號空間向量的概念1,5空間向量的線性運算2,9共線向量3,6,8,11共面向量4,7,10【基礎(chǔ)鞏固】1.若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則(D)(A)m,n,p共線(B)m與p共線(C)n與p共線(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面.2.(2019·天津河西區(qū)期末)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,+等于(D)(A)(B) (C) (D)解析:在長方體ABCD-A1

2、B1C1D1中,+=(+)+=+=.故選D.3.已知空間向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(A)(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D解析:因為=+=2a+4b=2,所以A,B,D三點共線.故選A.4.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+k,若a,b,c三個向量共面,則實數(shù)等于(D)(A)(B)9(C)(D)解析:因為a,b,c三向量共面,所以存在實數(shù)m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以=.5.下列命題:空間向

3、量就是空間中的一條有向線段;不相等的兩個空間向量的模必不相等;兩個空間向量相等,則它們的起點相同,終點也相同;向量與向量的長度相等.其中真命題有(填序號). 解析:假命題,有向線段只是空間向量的一種表示形式,但不能把二者完全等同起來.假命題,不相等的兩個空間向量的模也可以相等,只要它們的方向不相同即可.假命題,當(dāng)兩個向量的起點相同,終點也相同時,這兩個向量必相等,但兩個向量相等卻不一定有相同的起點和終點.真命題,與僅是方向相反,它們的長度是相等的.答案:6.如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點,判斷與是否共線.解:因為M,N分別是

4、AC,BF的中點,且四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,所以=+=+.又=+=-+-,以上兩式相加得=2,即與共線.【能力提升】7.已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外的任意一點O,下列條件中能確定點M與點A,B,C共面的是(D)(A)=-+(B)=-(C)=+(D)=-+解析:若M,A,B,C四點共面,則=a+b+c(a+b+c=1),在選項中只有D符合.故選D.8.已知A,B,C三點共線,則對空間任一點O,存在三個不為零的實數(shù), m,n,使+m+n=0,那么+m+n的值為. 解析:因為A,B,C三點共線,所以存在惟一實數(shù)k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0

5、,又+m+n=0,令=k-1,m=1,n=-k,則+m+n=0.答案:09.(2019·浙江金華期末)在正棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,則=,=. 解析:因為在正棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1B1C1的重心,=a,=b,=c,所以=+=b+c,=+=c+×(+)=c+(-b+-)=c+(-b+a-b)=c+-.答案:b+cc+-10.如圖,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點,且=k,=k,=k,=+m,=+m.求證:(1)A,B,C,D四點共面,E,F,G,H四點共面;(2);(3)=k.證明:(1

6、)因為=+m,所以A,B,C,D四點共面.因為=+m,所以E,F,G,H四點共面.(2)因為=+m=-+m(-)=k(-)+km(-)=k+km=k(+m)=k,所以.(3)=+=k+k=k(+)=k.【探究創(chuàng)新】11.如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G,H,P,Q分別是所在棱的中點.求證:EF,GH,PQ相交于一點O,且O為它們的中點.證明:連接EG,GP,GF,EH,HF,QH,因為E,G分別為AB,AC的中點,所以EG􀱀BC.同理,HF􀱀BC,所以EG􀱀HF.從而四邊形EGFH為平行四邊形,故其對角線EF,GH相交于一點O,且O為它們的中點.只要能證明向量=-,就可以說明P,O,Q三點共線且O為PQ的中點.事實上,=+,=+.因為O為GH的中點,所以+