培優(yōu)輔導：《圓的證明與計算》-專-題(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上培優(yōu)輔導：圓的證明與計算 專 題（郭艷超2016/3/14） 一、考點分析： 1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關系等等.(3)三者之間的關系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質定理:主要是用來證明垂直關系.(6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理: 線段相等、垂直關系、角相等. 2.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉化

2、.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關的計算：求線段長（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實質還是求線段比）。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間

3、的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結常添加的輔助線.例：（1）如圖，AB是O的直徑，BCAB，ADOC交O于D點，求證：CD為O的切線；（2）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于D，點E為BC的中點，連結DE，求證：DE是O的切線.（3）如圖，以等腰ABC的一腰為直徑作O，交底邊BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E為CF中點），求證：DE是O的切線.（4）如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF，交O于點E，過點E作直線EDAF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，求證：CD是O的切線.2、與圓有關的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理

4、與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學思想方法有：（1）構造思想：如：構建矩形轉化線段；構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構造勾股定理模型；構造三角函數(shù).（2）方程思想：設出未知數(shù)表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結論發(fā)現(xiàn)問題中的

5、線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是O的直徑，點E、C是O上的兩點，基本結論有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切線”三個論斷中，知二推一。（2）如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CKAB于K，則：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的條件、中任選兩個條件，當BGCD于E時（如圖5），則：DE=GB

6、；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 圖形2：如圖：RtABC中，ACB=90°。點O是AC上一點，以OC為半徑作O交AC于點E，基本結論有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）G是BCD的內心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若BC=CE，則：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）設BE、CD交于點H，,則BH=2EH圖形3：如圖：RtABC中，ABC=90°,以AB為直徑作

7、O交AC于D，基本結論有：如右圖：（1）DE切OE是BC的中點； （2）若DE切O，則：DE=BE=CE； D、O、B、E四點共圓CED=2ACD·CA=4BE2, 圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如圖2：若DE的延長線交AB的延長線于點F，若AB=BF，則：;圖形4：如圖，ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O，交BC于點D，交AC于點F，基本結論有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中點。與基本圖形1的結論重合。連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑

8、的圓切斜腰于， 基本結論有：（1）如圖1：AD+BCCD； COD=AEB=90°； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切線”四個論斷中，知一推三）AD·BC2=R2；（2）如圖2，連AE、CO，則有：COAE，COAE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EFAB于F，交AC于G，則：EG=FG.圖形6：如圖：直線PRO的半徑OB于E，PQ切O于Q，BQ交直線PQ于R?；窘Y論有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE&

9、#183;2R=AB2圖形7：如圖，ABC內接于O，I為ABC的內心。基本結論有：（1）如圖1，BD=CD=ID；DI2DE·DA；AIB=90°+ACB;（2）如圖2，若BAC=60°，則：BD+CE=BC.圖形8：已知，AB是O的直徑，C是 中點，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本結論有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中點)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若D是OB的中點，則：CEF是等邊三角形； 四、范例講解1.ABP中，AB

10、P=90°，以AB為直徑作O交AP于C點，弧=，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D.（1）求證：CD為O的切線； （2）連BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。2直角梯形ABCD中，BCD=90°，AB=AD+BC，AB為直徑的圓交BC于E，連OC、BD交于F.求證：CD為O的切線 若，求的值3如圖，AB為直徑，PB為切線，點C在O上，ACOP。（1）求證：PC為O的切線。（2）過D點作DEAB，E為垂足，連AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。4。如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的O與邊AB交于點D，點E為 的中點，AF為ABC的角平分線，

11、且AFEC。（1）求證：AC與O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的長5.如圖，RtABC，以AB為直徑作O交AC于點D， ，過D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.（1）求證：DF為O的切線；（2）若DF=3，O的半徑為5，求的值.6如圖，AB為O的直徑，C、D為O上的兩點， ，過D作直線BC的垂線交直線AB于點E，F(xiàn)為垂足.（1）求證：EF為O的切線；（2）若AC=6，BD=5，求的值.7如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點，過D作O的切線，E為切點，連結CE交AB于點F.（1）求證：DE=DF； （2）連結AE，若OF=1，BF=3，求的值.8如圖，RtABC中，C=90

12、76;，BD平分ABC，以AB上一點O為圓心過B、D兩點作O，O交AB于點一點E，EFAC于點F.（1）求證：O與AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求的值.9如圖，等腰ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點D，DEAC于E.（1）求證：DE為O的切線；（2）若BC=，AE=1，求的值. 10如圖，BD為O的直徑，A為 的中點，AD交BC于點E，F(xiàn)為BC延長線上一點，且FD=FE.（1）求證：DF為O的切線；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面積為，求的值.11、如圖，AB是O的直徑，M是線段OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且ECF=E（1）求證：CF是O的切線；（2）設O的半徑為1，且AC=CE，求的長12、如圖，AB是O的直徑，BCAB，過點C作O的切線CE，點D是CE延長線上一點，連結AD，且AD+BC=CD.（1）求證：AD是O的切線；（2）設OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求線段BC的長.13、如圖，ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點D，且CD=BD.（1）求證：BC是O的切線；（2）已知點M、N分別是AD、CD的中點，BM延長線交O于E，EFAC，分