蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第6章 圖形的相似　復(fù)習(xí)學(xué)案

1、蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第6章 圖形的相似學(xué)員姓名： 年 級(jí)：初三 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：授課日期授課時(shí)段 段授課主題1、相似教學(xué)目標(biāo)1、 掌握相似的判定，熟練運(yùn)用2、 綜合題中善于發(fā)現(xiàn)相似教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容圖形的相似 找一找哪些才是相似圖形？ 【知識(shí)梳理】6.1圖上距離與實(shí)際距離：比例的性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)（2）常用的性質(zhì)有：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積若，則ad=bc合比性質(zhì)若，則分比性質(zhì)若，則合分比性質(zhì)若，則等比性質(zhì)若（b+d+n0），則比例線段：（1） 對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即

2、它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如  a/b=c/d（即ad=bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段（2） 判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系6.2 黃金分割：（1）黃金分割的定義： 如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即ABAC=ACBC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn) 其中AC=AB0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)（2）黃金三角形：黃金三

3、角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值黃金三角形分兩種：等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：；等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：（3） 黃金矩形：黃金矩形的長(zhǎng)寬之比確切值為6.3 相似圖形平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例  推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三

4、角形的第三邊（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例相似圖形（1） 相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同；兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況（3）相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形6.4 探索三角形相似的條件相似三角形的判定（1） 平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本

5、方法相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似6.5 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平

6、方由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方射影定理（1） 射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)（2）RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：AD2=BDDC；AB2=BDBC；AC2=CDBC位似定義：（1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心  注意：兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一

7、點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行或在同一條直線上（2）位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k作圖-位似變換（1） 畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡(jiǎn)易工具可將圖形放大或縮小，借助計(jì)算機(jī)也很好地將一個(gè)圖形放大或縮小（2）注意：畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí)，位似中心的選擇是任意的，這個(gè)點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對(duì)于具體問(wèn)題要考慮畫圖方便且符合要求由于位似中心選擇的任意性，

8、因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯一的典型例題（圖形的相似）題型一：比例線段與黃金分割1已知，那么的值為（）A7B7CD2一般認(rèn)為，如果一個(gè)人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個(gè)人好看如圖，是一個(gè)參加空姐選拔的選手的身高情況，那么她應(yīng)穿 cm的鞋子才能好看？（精確到0.01cm）3已知線段AB的長(zhǎng)是4cm，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則較長(zhǎng)線段AP的長(zhǎng)度為 cm題型二：相似的性質(zhì)與判定1如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AC上，要判定ADB與ABC相似，需添加一個(gè)條件，則以下所添加的條件不正確的是（）AABDCBADBABCCD2如圖，在ABC中，A75°AB6，AC8，將AB

9、C按如圖所示剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不一定相似的是（）ABCD3下列四個(gè)三角形中，與圖中的三角形相似的是（）ABCD4在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE2ED，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則BCF與DEF的周長(zhǎng)比為（）A3B9CD25如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，ABC和DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上（1）求證：ABCDEF；（2）直接寫出ABC和DEF的周長(zhǎng)比和面積比6已知：如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，若AC6，BC8（1）求證：AC2ADAB（2）求線段AD，BD，CD的長(zhǎng)題型三：位似1如圖，線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（1，2）

10、、D（2，0），以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A（2，5）B（2.5，5）C（3，5）D（3，6）2如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（3，1）、（2，1）（1）在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作OAB的位似三角形OCD，使新圖與原圖的相似比為2：1；（2）分別寫出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（3）求OCD的面積題型四：相似的應(yīng)用1如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高，下午課外活動(dòng)時(shí)她測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.8m，但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），他先測(cè)

11、得留在墻壁上的影高為1.2m，又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m，請(qǐng)你幫她算一下，樹(shù)高是（）A3.25mB4.25mC4.45mD4.75m2一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC120mm，高AD80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上（1）求證：AEFABC；（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？3如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部已知小華的身高是1.6m，

12、兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，且APQB（1）求兩個(gè)路燈之間的距離（2）當(dāng)小華走到路燈B的底部時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是多少？題型五：相似動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1如圖，AB16cm，AC12cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移到點(diǎn)A為止，（點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）（1）請(qǐng)直接用含t的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)和AQ的長(zhǎng)，并寫出定義域（2）當(dāng)t等于何值時(shí)，APQ與ABC相似？2如圖，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/

13、s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，EFG的面積為S（cm2）（1）當(dāng)t1秒時(shí)，S的值是多少？（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由3如圖，在RtABC中，ACB90°，AC8，BC6，CDAB于點(diǎn)D點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求線段CD

14、的長(zhǎng)；（2）設(shè)CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得SCPQ：SABC9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由（3）當(dāng)t為何值時(shí)，CPQ為等腰三角形？4如圖，在直角坐標(biāo)系中，RtOAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，OA4，AB3動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0x4）時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5已知，如圖，在ABCD中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD沿AC的方向勻速平移得到PNM，速度為1cm/s；同時(shí)