理論力學(xué)之動(dòng)力學(xué)習(xí)題答案 北航

1、動(dòng)力學(xué)（MADE BY水水）13解：運(yùn)動(dòng)方程：，其中。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將代入得 16證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，xyo所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為：,設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為，由圖可知:，所以: 將，代入上式可得 證畢yzox17證明：因?yàn)?，所以：證畢110y解：設(shè)初始時(shí),繩索AB的長(zhǎng)度為,時(shí)刻時(shí)的長(zhǎng)度為,則有關(guān)系式：，并且 將上面兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：，由此解得： （a）(a)式可寫(xiě)成：，將該式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： (b)將(a)式代入(b)式可得：（負(fù)號(hào)說(shuō)明滑塊A的加速度向上）取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：將其代入直角坐標(biāo)形式的

2、運(yùn)動(dòng)微分方程可得：AOAOBR111解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤(pán)的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在 A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即： （a）因?yàn)?（b）將上式代入（a）式得到A點(diǎn)速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫(xiě)成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：, 將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得113解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A；動(dòng)系

3、：OC桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有：，因?yàn)锳B桿平動(dòng)，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以 當(dāng)時(shí)，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為： x115解：動(dòng)點(diǎn)：銷(xiāo)子M動(dòng)系1：圓盤(pán)動(dòng)系2：OA桿定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)根據(jù)速度合成定理有， 由于動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無(wú)關(guān)，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：117解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤(pán)上的C點(diǎn)；動(dòng)系：O1A桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O1A桿）； 牽連運(yùn)動(dòng)：

4、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有 （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：，根據(jù)加速度合成定理有 （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM彎桿平移，所以有 ?。簞?dòng)點(diǎn)：滑塊M；動(dòng)系：OC搖桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理 可求得：，根據(jù)加速度合成定理 將上式沿方向投影可得：由于，根據(jù)上式可得：， 1-20 MOAB解：取小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，OAB桿為動(dòng)系運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的

5、方向如圖所示，其中：根據(jù)速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其中：，根據(jù)加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽車(chē)B相對(duì)汽車(chē)A的速度是指以汽車(chē)A為參考系觀察汽車(chē)B的速度。?。簞?dòng)點(diǎn)：汽車(chē)B；動(dòng)系：汽車(chē)A（Oxy）；定系：路面。運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車(chē)A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理 將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得： y因此 其中：，由此可得：xO求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的大小為常值，因此有：1-23 質(zhì)量為銷(xiāo)釘M由水平槽帶動(dòng)，使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)水平槽以

6、勻速向上運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦。求圖示瞬時(shí)，圓槽作用在銷(xiāo)釘M上的約束力。MOMO 解：銷(xiāo)釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷(xiāo)釘M的運(yùn)動(dòng)是給定的，所以先求銷(xiāo)釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求約束力。取銷(xiāo)釘為動(dòng)點(diǎn)，水平槽為動(dòng)系。由運(yùn)動(dòng)分析可知銷(xiāo)釘?shù)乃俣葓D如圖所示。MOMO根據(jù)速度合成定理有 由此可求出： 。再根據(jù)加速度合成定理有：由于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是勻速直線平移，所以，并且上式可寫(xiě)成：因?yàn)?，所以根據(jù)上式可求出: 。根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式分別在水平軸上投影： 由此求出：1-24 圖示所示吊車(chē)下掛一重物M，繩索長(zhǎng)為，初始時(shí)吊車(chē)與重物靜止。若吊車(chē)從靜止

7、以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對(duì)吊車(chē)的速度與擺角的關(guān)系式。M解：由于要求重物相對(duì)吊車(chē)的速度，所以取吊車(chē)為動(dòng)系，重物M為動(dòng)點(diǎn)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有將上式在切向量方向投影有因?yàn)?，所以上式可?xiě)成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬?duì)速度，上式可寫(xiě)成初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，根據(jù)速度合成定理可知，由此確定。重物相對(duì)速度與擺角的關(guān)系式為：RRoFORRoO1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動(dòng)（如圖7-8），初始時(shí)小球相對(duì)靜止且到轉(zhuǎn)軸O的距離為，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為時(shí)的相對(duì)速度。解：取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，板為動(dòng)系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂

8、方向的力未畫(huà)出）。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將上式在上投影有 因?yàn)?，所以上式可?xiě)成整理該式可得： 將該式積分有： 初始時(shí),由此確定積分常數(shù)，因此得到相對(duì)速度為1-27 重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。試求小環(huán)M的相對(duì)平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MM解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，金屬絲為動(dòng)系，根據(jù)題意，相對(duì)平衡位置為，因?yàn)榻饘俳z為曲線，所以，因此在本題中相對(duì)平衡位置就是相對(duì)靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c

9、）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1 解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時(shí)，平臺(tái)AB相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力取整體為研究對(duì)象，受力如圖，系統(tǒng)的動(dòng)量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動(dòng)量定理有： 即：當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動(dòng)量定理有：由此解得平臺(tái)的加速度為：（方向向左）x2-2 取彈簧未變形時(shí)滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在x軸投影：根據(jù)動(dòng)量定理有：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：24 取提起部分為研究對(duì)象，受力如

10、圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y (a) (b)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對(duì)象，由于地面上的物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，并起與提起部分沒(méi)有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x25 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象，受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：船的質(zhì)量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)：，并代入上式可得：2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)

11、轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為（常量）。圓盤(pán)中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時(shí)，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，其角速度為，于是有設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分別為。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)速度。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為其中：系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為。初始時(shí)

12、，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖8-12位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可計(jì)算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖（鏈條重力未畫(huà)），設(shè)圓盤(pán)的角速度為，則系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩為：根據(jù)動(dòng)量矩定理有：P整理上式可得： 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù)，于是方程的解為：系統(tǒng)的動(dòng)量在x軸上的投影為：系統(tǒng)的動(dòng)量在y軸上的投影為：根據(jù)動(dòng)量定理：由上式解得：，214 取整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)的動(dòng)能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的

13、A點(diǎn)相對(duì)楔塊C的速度，則根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可知：，因此系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)相對(duì)物塊的速度、物塊的速度、槽對(duì)小球的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。 圖A 圖B解：取小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，水平方向無(wú)外力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動(dòng)量守恒。設(shè)小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，物塊為動(dòng)系，設(shè)小球相對(duì)物塊的速

14、度為，物塊的速度為，則系統(tǒng)的動(dòng)能為設(shè)為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有，即 (1)系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量為： (2)根據(jù)系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒和初始條件由(2)式有由此求出，將這個(gè)結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖C，D所示。設(shè)小球的相對(duì)物塊的加速度為，物塊的加速度為，對(duì)于小球有動(dòng)力學(xué)方程 （a）ABAB 圖C 圖 D對(duì)于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程有 （b）將方程（a）在小球相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的法線方向投影，可得其中相對(duì)加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，

15、可得令，聯(lián)立求解三個(gè)投影方程可求出218 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，兩個(gè)小球?qū)ΨQ(chēng)下滑，設(shè)圓環(huán)的半徑為R。每個(gè)小球應(yīng)用動(dòng)能定理有： （a）將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并簡(jiǎn)化可得： (b )每個(gè)小球的加速度為取圓環(huán)與兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將上式在y軸上投影可得： 將(a),(b)兩式代入上式化簡(jiǎn)后得時(shí)對(duì)應(yīng)的值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時(shí)上式可表示成上述方程的解為：圓環(huán)脫離地面時(shí)的值為而也是方程的解，但是時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。219 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過(guò)鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為，

16、牽連速度為，由系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒，有：z其中：，則上式可表示成：由此解得：其中：，根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有：其中：，將其代入動(dòng)能定理的積分式，可得：將代入上式，可求得：則： 由可求得：220 取鏈條為研究對(duì)象，設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為應(yīng)用動(dòng)量矩定理，鏈條對(duì)O軸的動(dòng)量矩為：外力對(duì)O軸的矩為：因?yàn)椋?，所以上式可表示成：積分上式可得：由初始條件確定積分常數(shù)，最后得：33 取套筒B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可得：，研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有：，再取套筒D為動(dòng)點(diǎn)，BC桿為動(dòng)系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理將上式在x軸上投影有：，34 AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動(dòng)，已知A點(diǎn)的速

17、度CAB的速度瞬心位于C，應(yīng)用速度瞬心法有：，設(shè)OB桿的角速度為，則有設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn)，該點(diǎn)的速度：齒輪I的角速度為： 36 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：將上式在AB連線上投影，可得因此，因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為零，因此只有切向加速度（方向如圖）。根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式將上式在AB連線上投影，可得，（瞬時(shí)針）37 齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)有 xy將上式在x 投影有：由此求得：再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有：，由此求得再研究齒輪II上的圓心，取A為基點(diǎn)將上式在y軸上投影有，由此解得：再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有：由此解得：，又因?yàn)橛纱丝傻茫?9 卷筒作

18、平面運(yùn)動(dòng)，C為速度瞬心，其上D點(diǎn)的速度為，卷筒的角速度為：角加速度為：卷筒O點(diǎn)的速度為：O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為： OCB研究卷筒，取O為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。將其分別在x,y軸上投影同理，取O為基點(diǎn)，求C點(diǎn)的加速度。將其分別在x,y軸上投影P310 圖示瞬時(shí)，AB桿瞬時(shí)平移，因此有：AB桿的角速度：圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤(pán)的的角速度為：圓盤(pán)上C點(diǎn)的速度為：AB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有將上式在x軸上投影可得：因此：由于任意瞬時(shí)，圓盤(pán)的角速度均為：將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：，由于，所以圓盤(pán)的角加速度。 BC圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有：P31

19、3 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度和加速度。AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P，AB桿的角速度為：桿上C點(diǎn)的速度為：取AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理有：其中：，根據(jù)幾何關(guān)系可求得：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其A點(diǎn)加速度為零，B點(diǎn)加速度鉛垂，由加速度基點(diǎn)法公式可知由該式可求得由于A點(diǎn)的加速度為零，AB桿上各點(diǎn)加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度分布，AB桿中點(diǎn)的加速度為：再取AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點(diǎn)的加速度，即：將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圓盤(pán)

20、中心為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤(pán)為動(dòng)系，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為直線平移。由速度合成定理有： OAB圖 A速度圖如圖A所示。由于動(dòng)系平移，所以，根據(jù)速度合成定理可求出：由于圓盤(pán)O1 在半圓盤(pán)上純滾動(dòng)，圓盤(pán)O1相對(duì)半圓盤(pán)的角速度為： 由于半圓盤(pán)是平移，所以圓盤(pán)的角速度就是其相對(duì)半圓盤(pán)的角速度。再研究圓盤(pán)，取為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：OAB圖 B為求B點(diǎn)的加速度，先求點(diǎn)的加速度和圓盤(pán)的角加速度。取圓盤(pán)中心為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤(pán)為動(dòng)系，根據(jù)加速度合成定理有 圖 C （a）其加速度圖如圖C所示，O將公式（a）在和軸上投影可得：由此求出：，圓盤(pán)的角加速度為：下面求圓盤(pán)上B點(diǎn)的加速度。取圓盤(pán)為研究

21、對(duì)象，為基點(diǎn)，應(yīng)用基點(diǎn)法公式有： （b）OB圖 D將（b）式分別在軸上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC桿為動(dòng)系（瞬時(shí)平移），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。根據(jù)速度合成定理有：由上式可解得：因?yàn)锽C桿瞬時(shí)平移，所以有：Pyx315（d） 取BC桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。BC桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P，設(shè)其角速度為根據(jù)速度合成定理有：根據(jù)幾何關(guān)系可求出：將速度合成定理公式在x,y軸上投影:由此解得:DC桿的速度3-16(b) BC桿作平面運(yùn)動(dòng),根據(jù)基點(diǎn)法有:由于BC桿瞬時(shí)平移,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC桿為動(dòng)系（平

22、面運(yùn)動(dòng)），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 (a)y其中:為科氏加速度,因?yàn)?所以動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度為: 由于動(dòng)系瞬時(shí)平移,所以,牽連加速度為, 則(a)式可以表示成將上式在y軸上投影:由此求得: yx316(d) 取BC桿為動(dòng)系，套筒A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為其中為動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫(xiě)成 (a)其中：（見(jiàn)315d）為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒為動(dòng)系，由加速度合成定理有yx其中，上式可表示為將上式在y軸投影有：該式可表示成： （b）聯(lián)立求解(a),(b)可得POR317 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心位于P，可以證明：任意瞬時(shí)，

23、速度瞬心P均在以O(shè)為圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時(shí)刻的角速度均為 桿上B點(diǎn)的速度為：ORxyAB桿的角加速度為：取A為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法有將上式分別在x,y軸上投影有xy318 取DC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系根據(jù)幾何關(guān)系可求得：再取DC桿上的D點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影可得xy求加速度：研究C點(diǎn)有將上式在y軸投影有由此求得再研究D點(diǎn)由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影有321 由于圓盤(pán)純滾動(dòng)，所以有根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有求解上式可得：，若圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，摩擦

24、力應(yīng)滿(mǎn)足，由此可得：當(dāng)：時(shí)，322 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示，由于水平方向沒(méi)有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有：剛體AB作平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，角速度為零。PA點(diǎn)的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點(diǎn)。有運(yùn)動(dòng)關(guān)系式求解以上三式可求得：325 設(shè)板和圓盤(pán)中心O的加速度分別為AR，圓盤(pán)的角加速度為，圓盤(pán)上與板的接觸點(diǎn)為A，則A點(diǎn)的加速度為將上式在水平方向投影有 （a）取圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 (b)應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理有 (c)再取板為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 (d ) 作用

25、在板上的滑動(dòng)摩擦力為： (e)由(a) (b) (c) (d) (e)聯(lián)立可解得：329 解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有AB桿的重力作功，因此應(yīng)用動(dòng)能定理，可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到一般位置時(shí)，其動(dòng)能為AB桿的動(dòng)能與圓盤(pán)A的動(dòng)能之和： P其中：因此系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示成：系統(tǒng)從位置運(yùn)動(dòng)到任意角位置， AB桿的重力所作的功為： 根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式 初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以，因此有將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：將上式中消去可得：根據(jù)初始條件，可求得初始瞬時(shí)AB桿的角加速度 ：因?yàn)?，所以AB桿的角加速度為順時(shí)針。初始瞬時(shí)AB桿的角速度為零，此時(shí)AB桿的加速度瞬心在點(diǎn)，由此可求出AB桿上A點(diǎn)的加速度：

26、C333 設(shè)碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示根據(jù)沖量矩定理有： (a)其中：為AB桿質(zhì)心的速度，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)關(guān)系有 (b)再根據(jù)對(duì)固定點(diǎn)的沖量矩定理：系統(tǒng)對(duì)固定點(diǎn)A（與鉸鏈A重合且相對(duì)地面不動(dòng)的點(diǎn)）的動(dòng)量矩為滑塊對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩和AB桿對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩，由于滑塊的動(dòng)量過(guò)A點(diǎn)，因此滑塊對(duì)A點(diǎn)無(wú)動(dòng)量矩，AB桿對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩（也是系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩）為：將其代入沖量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得： (滑塊的真實(shí)方向與圖示相反)334 研究整體，系統(tǒng)對(duì)A軸的動(dòng)量矩為：其中：AC桿對(duì)A軸的動(dòng)量矩為 設(shè)為BC桿的質(zhì)心，BC 桿對(duì)A軸的動(dòng)量矩為根據(jù)沖量矩定理 可得： BCI （a） 再

27、研究BC桿，其對(duì)與C點(diǎn)重合的固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為根據(jù)沖量矩定理有： （b）聯(lián)立求解（a）,(b) 可得335 碰撞前，彈簧有靜變形第一階段：與通過(guò)完全塑性碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)，不計(jì)常規(guī)力，碰撞前后動(dòng)量守恒，因此有：碰撞結(jié)束時(shí)兩物體向下運(yùn)動(dòng)的速度為第二階段：與一起向下運(yùn)動(dòng)后再回到碰撞結(jié)束時(shí)的初始位置，根據(jù)機(jī)械能守恒可知：此時(shí)的速度向上，大小仍然為第三階段：與一起上升到最高位置，此時(shí)彈簧被拉長(zhǎng)。根據(jù)動(dòng)能定理有：上式可表示成：若使脫離地面，彈簧的拉力必須大于其重力，因此有，將代入上式求得：。若，則注：上述結(jié)果是在假設(shè)與始終粘連在一起的條件下得到的，若與之間沒(méi)有粘著力，答案應(yīng)為，如何求解，請(qǐng)思考。336 取AB桿為研究對(duì)象，初始時(shí)，桿上的A點(diǎn)與水平桿上的O點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)靜止，AB桿上A點(diǎn)的速度為，角速度為，初始時(shí)受到?jīng)_擊力的作用，應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)O的沖量矩定理可得BA其中：由此解得：當(dāng)時(shí)，滑塊A以加速度向右運(yùn)動(dòng)，取AB桿為研究對(duì)象，應(yīng)用相對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的動(dòng)量矩定理有：將上式積分并簡(jiǎn)化可得：其中C是積分常數(shù)由初始條件確定出。上式可表示成若AB桿可轉(zhuǎn)動(dòng)整圈，則