自動控制原理課后答案2西工大版

1、第2章習題及解答2-1建立圖2-33所示各機械系統(tǒng)的微分方程(其中F為外力，x(/)、y(F)為位移; R為彈性系數，/為阻尼系數，加為質最；忽略巫力影響及滑塊與地而的摩擦)。圖2-33系統(tǒng)原理圖解 (a)以平衡狀態(tài)為基點，對質塊7進行受力分析(不再 考慮重力影響)，如圖解2-l(a)所示。根據牛頓泄理可寫出F-燦-f吐=皿酸'丿 7 J dt dr整理得弘)圖解2-1 (a)心dt2f dy(t)k z x1 廠/、(b)如圖解2-1 (b)所示，取A, B兩點分別進行受力分析。對A點有(1)對B點有2心噲竊)(2)七1仗一“)/ft -y)4 bi/e -y) k.y圖解2-1 (

2、b)聯(lián)立式(1)、(2)可得:或+昵尸丄竺dt f(kA +k2)k+k dt(c)如圖解2-1 (c)所示，取A, B兩點分別進行受力分析。對A點有F(m罟-#對B點有k(n害(4)聯(lián)立式(3)、(4)消去中間變最x可得:- 圖解2l(c)圖解2-1 (c)另+竺字dmdt m dr nr2-2應用復數阻抗方法求圖2-34所示各無源網絡的傳遞丙數。 CIICZ)CZFRR(a)應用復數阻抗概念可寫出Ur(t)CZZuc(t)(b)R1 L圖2-34無源網絡R丄U© = /($) + " (s)R +CS(1)(2)聯(lián)立式(1)、(2),可解得:S(S)_/?2(1+&am

3、p;C$)U r(5)& + R、+ RR?Cs微分方程為:du Rx +du r12+ CR 足叭 _ dt + CR,Ur(b)由圖解2-2(b)可寫出(3)uXt)1RczzhG)忑=R1 rG)- RIc(s)(4)ln(s)R+m)+h隔圖解2-2 (b)(5)-112 du 1 +、 c2/?- rdt可得:吉人=(Ls + R2)I2 G)聯(lián)立式(3)、(4)、(5),消去中間變量皿)和幾($)，可得/($)_ R2C2s2 +2RCS + 1Ur(s) R2C2s2 +iRCs + l如八亠m丄 du2 3 du1du2微分方程為#+祁牙+麗"#+你(c)由圖

4、解2-2 (c)可寫出r 匕(S) = & 人($)+ 厶($)+ (厶S+ &”2(S)聯(lián)立式(6)、(7)、(8),消去中間變量h(s)和厶，Uc (s) 色Ur(5")/?厶C$ + (厶+/?/?)C)$+ (/? +/?2 )?！?七tu 斗 di( L+ RR=C du. R + RrR“微分方程為 一+ U = 一 Udr %LC dt %LC R、LC2-3證明圖2-35中所示的力學系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)(即有相同形式的 數學模型)。-#-#圖2-35系統(tǒng)原理圖解(a)取A、B兩點分別進行受力分析，如圖解2-2®)所示。對A點有

5、(1)“一 y) + 厶(丘一刃=fSy-yi)-13對B點有fAy-yi) = kiy對式(1)、(2)分別取拉氏變換，消去中間 變量兒，整理后得心(x-y)久0_必)刃A»BA(y-y 3心)Z)fJiS2 + ( 4- )5 + 1 & k2圖解2-3(可# # (b)由圖可寫出U©# # 圖2-36 :極管電路10.026嚴4 026 .叫格理得U e (5)/?/?»CC + (/?C+ /? C )s +1U r (5)RR-> CC-(s + (7?C + RjC* + /?C)s +1比較兩系統(tǒng)的傳遞函數，如果設& =1/人，

6、R2 = l/k2 , G =c2=f29則兩系統(tǒng)的傳遞函數相同，所以網系統(tǒng)是相似的。2-4如“圖2-36所示，二極管是一個非線性元件，其電流-和電壓叫之間的關系為 一 =10口(£矗一1),假設電路在工作點n(0) = 2.39V , i(0) = 2.19x 10A處做微小變化，試推導id = f(ud)的線性化方程。解將i(0) = 2.19xl0A代入° = 10-14(/0G26-1)解得叫。=0.679V將匚=10"(£3°°26-1)在("do，*)處展開為泰勒級數, 并取一次近似，有# # dtd20即在(U

7、dc，幾)附近id=f(ud)的線性化方程為4= 0.085-Auo2-5假設某容器的液位高度/?與液體流入量G滿足方程 + -Va=-2z ,式中Sat S S為液位容器的橫截面積，Q為常數。若力與Q在其丁作點(2r0,/70)附近做微最變化，試 導出力關于Qr的線性化方程。解 將亦在仏處展開為泰勒級數并取一次近似Lo=氣 + :-小亦=何+學代入原方程可得(2)在平衡丁作點處系統(tǒng)滿足式(2), (3)相減可得A/j的線性化方程憐命72-6圖2-37是一個單擺運動示意圖。圖中，/為擺桿長度, &為擺和，擺錘質最為7。試建立單擺系統(tǒng)的微分方程，并將其 線性化。解 由圖2-37,根據牛頓

8、定律，在不施加外力的情況下，可寫 出單擺的運動方程：ml2 + mgl sin 0 = 0, 即 - + sin = 0 drdr I將上式中非線性項sin。在平衡點九=0附近進行泰勒級數展開, 取一次近似有將00 = 0代入上式，得：sin0-sin0o = A0o代入原方程可得線性化后的單擺方程-15 -d込edt2+§0=0-# -# -2-7求圖2-38所示各信號x(/)的彖函數X(s)。-# -# -(a) g) = 2 + (f-/o)2 1.X(s)= 土+ *嚴S 5*(b) *.* x(t) = 1 1(/ 1) (f 1) 2 1(/ 3) (t 3)es 1 嚴

9、 1X($)+(s +_M(2s +(c) x(t) = a + (b - a)(t -(b- c)(t _ 厶)一 c(/一 心)?. X (s) = a + (b- a)e，lS - (b-c)etlS - cetiS s44 r 4 T 4(d) x(O=+X二希(1-2誌'+嚴)2-8求下列各拉氏變換式的原函數。 X (s) = J5-1-# -XG)s(s + 2)"s + 3)X")- $($2+2s + 2)(1)X0 =2 3 原式3 廠 + 32x(t) = sin 3t3原式2(s + 2' 4(5 + 2)28(5 + 2) '

10、 245 ' 3(5 + 3)(t)=4+丄宀丄324-17-#-(4)原式=丄£2s s2 +25 + 2 2s 21 1($ + 1)2 +12(5 + 1)2-#-#-.:x(t) = £ + *以(sin t - cost)，試求系統(tǒng)2-9已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應為c(r) = 1 - 2e21 + 的傳遞函數和脈沖響應。解 單位階躍輸入時，有R(s)=-,依題意C(s-2 + _L=« + 2 丄S 5+2 S + l (5 +1)($ + 2) s:.G(s) = R(s) (5 + 1)(5 + 2)-#-#-k(r) = Zf

11、iG(s)=Z7i-1415+15+2-#-2"0己知系統(tǒng)傳遞函數壽=0可且初始條件為他" 試求系統(tǒng)在輸入r(0 = 1(/)作用下的輸出c(r) o解系統(tǒng)的微分方程為d2c(t) 3Jc(r)dr dt+ 2c(/) = 2r(Z)(1)-19-(2)s + 3$ 25(52 +35+2)142+S 5+1$+2考慮初始條件，對式(1)進行拉氏變換，得° 2 s2C(s) + 5 + 3sC(s) + 3+ 2C(5)=-#-#-c(t) = 1-4ef + 2e2t圖2-39有源網絡"11求圖“9所示各有源網絡的傳遞函數恃牛-#-#-解(a)根據運算

12、放大器“虛地”概念，可寫出/G)二 R】 u© &R、+丄(b)/ ($) _ - Czs _ _ (1 + 5)(1 + R.C2s) r .丄莎1 C.s-#-U r(s)R、/?L (1 + R2 Cs)2-12某位置隨動系統(tǒng)原理框圖如圖2-40所示，已知電位器最大工作角度Q”=330°, 功率放大器放大系數為他。(1) 分別求出電位器的傳遞函數心，第一級和第二級放大器的放大系數人，k“(2) 畫出系統(tǒng)的結構圖；(3) 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數2(s)/0(s)。#解(1)電位器的傳遞函數30180°"717#根據運算放大器的特件，可分別寫出兩

13、級放大器的放大系數為“ _ 30x1010x107A加2電動機圖解22系統(tǒng)結構圖(2)可畫出系統(tǒng)結構如圖解2-12所示:KQKlK2KiKm2 二Ma + 1)麗一 1卜心心心心| K°KK心心 7> + l $(7爲 + 1)1In2 +KrK、K“K s +s + 1 KqKKKK KnK,K,K、K012 3m0123m2-13飛機俯仰角控制系統(tǒng)結構圖如圖"所示，試求閉環(huán)傳遞函數II。圖2-41 E機俯仰角控制系統(tǒng)結構圖 解 經結構圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數Qc(5) _0.7(5 4-0.6)Q(s) 一 2 + (0.9+ 0.7/0衛(wèi) + (1.18

14、+ 0.42K)s+ 0.682-14已知系統(tǒng)方程組如下'試繪制系統(tǒng)結構圖'并求閉環(huán)傳遞函數需。X($) = G ($)/?($) - $($)($) - G8(5)C(5)x 2($)= G2($) x 1($)G)x 3 (s)X3G) = X2 (s) - C(5)G5(5)G3 (5)C($) =G4(5)X3(5)解系統(tǒng)結構圖如圖解2-14所示。利用結構圖等效化簡或梅遜增益公式可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為C(s) _GQ2G3G4/?($)1 + G-,GyG6 + G3G4G5 + G1GGiG4G821圖解2J4系統(tǒng)結構圖2-15繪制圖2W RC無源網絡的結構圖和信

15、號流圖，求傳遞函數赭R %(s) R Ub(s) R】3(s)c* uc(s)1o-#-圖2-42 RC無源網絡解 應用電路理論和復阻抗概念，可以繪出網絡的結構圖如圖解2-15(a)所示。-#-#-片=/?七.3為厶A結構圖屮有1條前向通路，且與各個回路均有接觸，有5個回路，其屮有6對兩兩不 接觸回路，1組三個不接觸回路 1 = 1 , L, = = £<=RCs11、 RCsR2C2s2 9=一 R'C-#-6R2C2s21R'cF-23 -ug 二1Ur(s) A - R3C3s3 4- 5R2C2s2 + 6RCs +1"試用結構圖等效化簡求圖所

16、示各系統(tǒng)的傳遞函數需。（C） 4(d)-# -# -圖2-43系統(tǒng)結構圖原圖=>圖解 2-16(a)所以:c二 G_G?-# -# -(b)原圖=圖解 2-16(b)-# -所以：(c)C(s) _GQ2G3/?(5)1 + GG、+ G G2G3原圖n圖解 2-16(c)所以:C(j) _G&2G3 + Gfi47?(s)1 + G】H l + G2GyH 2 + GQ2G3 + GtG4 + G4H 2圖解 2-16(d)原圖所以:C(S)=g +GlG2G3/?($)- 4 l+gqh +qy+GQ3比-# -r試繪制圖所示系統(tǒng)的信號流圖，求傳遞函數器。際iI HQIT77

17、7厝琢s)G(s)圖2-44系統(tǒng)結構圖C GQ2G3G4R 1 + GiGAH + G、G、H. + GQG3G4H32-18繪制圖注所示信號流圖對應的系統(tǒng)結構圖，求傳遞函數芻。解系統(tǒng)結構圖如圖解2-18所示。圖解2-18系統(tǒng)結溝圖23X5G） =。12°23434。45 +。12。24045 + 勺2°25（1 。34°43 +。44）X（S）1 + 23°32 °“43 + a44 + 244332 + °23°32°442-19應用梅遜増益公式求2-16題中各結構圖對應的閉環(huán)傳遞函數。(a)圖中有2條前向通路

18、，1個冋路 = 1 厶C（s）片+G G、R（s） A - l-G.H（b）圖中有1條前向通路，3個冋路片=GQ2G3, = 1,厶=qq，L2 G2G3,厶 3 = GiGqGb，a = 1 （厶 + 厶 + 厶 3），c（s） _ Ml G&2G3/?（j） A 1 + GG、+ G&rGs（c）圖中有2條前向通路，5個回路 片=GQ2G3, = 1, P2 = G&4，2=1,厶=-G'GHI，L2 = G2GiH2f厶=GiGqGb，L4 = GtG4,厶 5 = G4 H 2, = 1 （厶 + L、+ 厶 3 + Lq + 厶5 ） 9C（5）_ P

19、1A1 + 巴二 _G&2G3 + G&4R（s）14- G1G2W1 + G2G3/2 + GG-G + GtG4 + G4H 2(d) 圖中有2條前向通路，3個回路P、= GQ2G3, = 1, P2 = G“ 0 = , 厶二GGr/i，L、= -G、HL嚴-G、G、H“ 二 1 （厶+乙+ 厶）,C（$）_Ad +巴_R、P4 _ G IqgR（s） A14- GG.H + G.H + GGiH.2-20應用梅遜增益公式求圖2-46屮各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數。圖2-46系統(tǒng)結構圖解(a) 圖中有1條前向通路，4個冋路P、- GQ2G3G4, 厶=G2H 厶4 = -GGaH

20、v厶二 GlG2GiG4H4, 1 = 1 厶=-Gfi.GH = 1 （厶+厶，+厶3 +厶4 ）則冇C（$）二也二GGG3G4Z?（5） A - G、G、H 1 + GGrGH$ - G'GrGsGqH$ + G'GH、（b）圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路片=G&2G3, = 1, P> = G3G4,= 1 L = 1 + G、H、9厶二-GH，L2 =厶二-GQGHH”, = 1 （厶 + Lj + 厶3） + 厶厶”則有C（s） _ PlA1 + P,A2 _+G3G4（l + Gl/l）R（s） A 1 + G1/71 -GS/7S-

21、G/7.(c) 圖中有4條前向通路，5個冋路P = Gp P2 = G&2,P、= G2, P4 = G2G,厶=Gp 厶2 = GG29厶=Gq, La = G2Gp 厶5 = G&2 9At = A2 = A3 = A4 = LA = 1 （厶 + 厶 2 + 厶 3 + 乙4 ），c($) P4 + P4 + P4 + P4則有A(5)-G + G&，+ G, + GqG2GG，- G】+ G21 - G + GG、+ G、+ G、G + GG? 1 - G】+ G、+ 3GQ,(d) 圖中有2條前向通路，5個冋路 片=GG?, At = 1, P2 = G3,

22、A2 = 1,J = -G*H, L)= G、G、H、,厶3 = GG” LA G Ls GH y > = 1 (厶 +12 + L4 + 厶 5),貝 |J 有C(s) = P4 + 號= G&2 + G3沖系統(tǒng)的結構圖如圖2引示，求傳遞函數誇需/?(5)A1 + GHi + GiG、H、+ G1G2+G3 GsHlGH、-27 -# -(a)(b)圖2-47系統(tǒng)結構圖解(a)求型，圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路 R©)片=GQ2G3, At = L P2 = G4G39 A2 = 1 厶,L = GiG2Hl9 L2 = 一 G、H 2,A = 1

23、 (厶+厶2 +厶3) +厶i厶”則有C(5) PL + ?GQ2G3 G4G3(1 + G'G'H JR(s)1 + GGH 1 + G3H、+ GH、+ GiGGH H、求需，有2個前向通路，回路數不變，不變片=1, At = 1 + G3W2 4-G2/3, P2=-G4Hfi2Hif A=1則冇 E($)人+ £亠 1 + G3H2 + GgH、一 G4Hi/?(5)A14- GGH 4- GyH4- GH4-(b)求 3,圖中有4個前向通路，7個回路R(s)P. = G. P2 = G'GrG、P、= G°Gi P4 = GqGGGb At

24、 = A, = A3 = A4 = 1 11 f *9>9Lr = 一G厶2 = -GjGjGj 厶3 = -GqGj L4 = -GqGjGjGj L5 = -GtG2WtL6 = H 2 Lr = GG'H* fA = 1 (厶i + L= + L3 + 厶4 + 厶 5 + Z>6 + 厶7)則有C(s) _ PlAl + P4 + P4 + P4R(s)AG + GQ2G3 + GqG + G0GQ2G31 + G + Gfi-yGy + GqGj + + H、+ G、G、H、求器，有I條前向通路，回路數不變，不變/£ = 1 > = 1 + G1G

25、2H1 + G2G3H2 + H2E(s) 片1 + G1G2H1 + GGH 2 + H2R(s) A 1 + G + GGGs + G0Gt + G1G>/1 + H、+ GGH、2-22己知系統(tǒng)的結構圖如圖2-48所示，圖屮/?(s)為輸入信號，N(s)為干擾信號,求傳遞函數器赭圖2-48系統(tǒng)結構圖解(a)令N=0,求 型。圖中有2條前向通路,3個回路，有1對互不接觸回 陽)路。P = GG” = 1, P, = Ggs，、=1厶= l + GrH,厶=-GqH, L2 = 一0&2，厶3 = GQs ,A = 1 (厶i + L、+ 厶3) + LL、,則冇C(s) PL

26、 + 鬥/XjGQ + GQ3(1 + GH)/?(5)14- GH +4-+ GGGH令R(s) = 0,求£型。有3條前向通路，回路不變。 N(s)Pt = 1, At = 1 Lp P? = G4GQ2, A2 = IfP、= G4G&3, 亠=1 厶，A = 1 (Zq 4- L-, + 厶3) + 厶i厶3,則有C($) 片、+ P3A3 1 GjH + GGfi-, + G 4G (1 + G?H) N($)1 + G?/+ GQ2 + GQ3 + G1G2G3H(b)令Ng, TO,求誥。圖中有I條前向通路，I個回路。 = L2K($ + 1)s + 2-29

27、-# -則有C(s) _ P4 KsR(s) (2K+ l)s + 2(K+ 1)令/?($) = 0, N,s) = 0,求 空L。圖中有1條前向通路，回路不變。 M片=s, = 1,則有=1 =災 + 2)N© (2K + l)s + 2(K + l)令/?（5）= 0, N$） = 0,求 空圖中有1條前向通路，回路不變。Ng則有（c）則自15 + 21C(s) _ P4 _-2KN、($)(2K +1)5 + 2(K +1)令N(s) = 0 ,求型。圖中有3條前向通路，2個回路。/?($)片=G2Cj4, = 1, P2 = (73G4, A2 =1, P、= Ct1G2C

28、!49 A3 = 1, 厶=G2GA9 L2 = -G3G4, A = 1 (厶 + L2)9C(s) _ P1A1 + P22 + P3X _ G2G4 + G3G4 + GQ2G4R(s)1 4- G、Gq + G3G4令R(s) = 0 ,求有1條前向通路，回路不變。N(s)P、 G4f Ar = 1,則有= 坐1 =£N(s) A1 + G-,Ga 4- GG4的質量：擺幅的角位移&很小,sin &, cos &均可進行線性化處理:位于擺2-23圖2-49所示為懸掛在無摩擦旋軸上的雙擺系統(tǒng)，假設，/為擺桿長度，加為擺-31 -/只作用丁左側的桿，若令中間的彈