河南省鄭州市2020屆高中畢業(yè)年級(jí)高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題卷

1、2021屆鄭州市高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題本大題共12 小題，每題5 分，共 60 分。1.設(shè)集合 AxN | x | 2 ， B y y 1x2 ，那么 A B 的子集個(gè)數(shù)為A.2B .4C.8D.162.復(fù)數(shù) z1i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限iB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.鄭州市某一景區(qū)為了了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游效勞質(zhì)量，收集并整理了2021年1月至 2021年 12月期間月接待游客量單位：萬(wàn)人的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A .月接待游客逐月增加B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量頂峰期大致在

2、7，8月D.各年 1月至 6月的月接待游客量相對(duì)于7月至 12月，波動(dòng)性更小，變化比擬平穩(wěn)11114.定義在 R上的函數(shù) f ( x)()| xm|2 為偶函數(shù)，a f (log) ， b f () 3 ) ， c f (m) ，那么32 22A. c a bB. a c bC. a b cD. b a c5.“紋樣 是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋 是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣，為了測(cè)算某火紋紋樣如圖陰影局部所示的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn)，己知恰有 800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影局部的面積是1618C.10D.32A.B .5556.向量 a

3、與 b 夾角為，且 | a |1， | 2a b |3 ，那么 | b |3A. 3B.2C. 1D.327.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著?算學(xué)啟蒙?中有關(guān)于“松竹并生 " 的問(wèn)題，松長(zhǎng)三尺，竹長(zhǎng)一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，假設(shè)輸人的a ， b 分別為3，1，那么輸出的 n 等于 .5B.4C.3D.28.函數(shù) f ( x)=2x1cos x 的圖象大致是2x1答案： C9.第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)在河南鄭州舉行，某工程比賽期間需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，那么不同的安排方式共有多少種A.60B.90

4、C.120D.15010.拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l， P是 l 上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N 兩點(diǎn)，假設(shè)PF3MF ，那么 |MN |=A. 16B. 8C. 2D.8 333311.三棱錐 PABC 內(nèi)接于球 O， PA平面 ABC，ABC 為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為3 ，球 O 的外表積為16 ，那么直線 PC與平面 PAB所成的角的正弦值為15151515A.B.C.D .75210| 2x1|, x 15x315x2m 2，假設(shè) yf ( g( x) m 有 9個(gè)零點(diǎn)，那么 m 的取值范圍是12. f ( x), g ( x)log 2 ( x 1), x144A . (0

5、,1)B. (0,3)C. (1,5)D. (5,3)33二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共 20分 .13.曲線 y xex2x21在點(diǎn) (0,1) 處的切線方程為 _. 答案： x y 1 0;14.假設(shè) Sn 是等差數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和，假設(shè) a10， a 23a1 ，那么 S10_S515.雙曲線x2y2的右頂點(diǎn)為 A，以 A 為圓心， 6 為半徑做圓，圓A 與雙曲線 C 的一條C : a2b21(a0, b0)漸近線相交于M， N兩點(diǎn)，假設(shè) OM3 ON O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么雙曲線 C的離心率為 _.答案：30 ;2516.數(shù)列 a n 滿足：對(duì)任意 nN * 均有 an

6、1pan2 p2 p為常數(shù)， p 0 且 p1 ，假設(shè)a2 , a3 , a4 , a518, 6, 2,6,11,30 ，那么 a1 的所有可能取值的集合是_.答案： 0, 2,66 .三、解答題：共70分，解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 12分 ABC外接圓半徑為 R，其內(nèi)角 A， B， C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，設(shè) 2R(sin 2 Asin 2 B)(a c) sin C . 1求角 B；假設(shè) b=12， c=8 ，求 sinA的值17.【解析】 (I) 2R(sin2 Asin2 B)(a c)sin C. 2R 2R(sin 2 Asin2 B) (ac)s

7、in C2R,即： a2c2b2ac. 3 分 cos Ba2c2b21 .2ac2因?yàn)?0B, 所以B6分3(II) 假設(shè) b12,c8，由正弦定理，bc, sin C3sin C,sin B3由 b c ，故C 為銳角， cosC6.9分3sin Asin( BC )sin(C )361332323236. 12分318. 12分2三棱錐 M-ABC 中， MA =MB =MC=AC= 2 2 ， AB=BC=2， O 為 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在棱 BC 上，且 BNBC .3（ 1證明： BO 平面 AMC ；（ 2求二面角 N-AM-C 的正弦值 .MAOCNB18.【解析】 I如下

8、圖：連接 OM ，在ABC 中： ABBC 2,AC2 2 ，那么 ABC 90 ,BO2，OBAC.2分在MAC 中： MAMCAC22，O為 AC的中點(diǎn)，那么 OMAC ，且 OM6. 4分在MOB 中： BO2,OM6,MB2 2，滿足： BO2OM 2MB 2根據(jù)勾股定理逆定理得到 OBOMAC,OM 相交于 O ，故 OB平面 AMC .6 分因?yàn)?OB, OC , OM 兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖因?yàn)?MAMBMCAC2 2,AB BC2那么 A(0,2,0), B( 2,0,0), C(0, 2,0), M (0,0,6)8分由 BN2BC 所以， N( 2,22 ,0)

9、333設(shè)平面 MAN 的法向量為 m(x, y, z) ，那么ANn252( x, y, z)252(,3,0)xy 0,333AMn(0,2,6) (x, y, z)2 y6z0令 y3 ，得 m(5 3,3,1) 10 分因?yàn)?BO平面 AMC ，所以 OB(2,0,0)為平面 AMC 的法向量，所以 m(5 3,3,1)與 OB(2,0,0) 所成角的余弦為 cosm,OB5 65379279所以二面角的正弦值為| sinm, OB | 1( 53 ) 222 79. 12分797979MAOCNB19. 12分橢圓 E : y2x21( a b0) 的離心率為2 ，且過(guò)點(diǎn) C(1,0)

10、 .a 2b221求橢圓 E 的方程；2假設(shè)過(guò)點(diǎn) ( 1,0) 的任意直線與橢圓E 相交于 A ，B 兩點(diǎn)，線段AB 的中點(diǎn)為 M ，求證，恒有 | AB | 2| CM |.19.【解析】 I由題意知 b1，c2 .1a2分又因?yàn)?a 2b 2c 2 解得， a2 . 3分所以橢圓方程為y2x21 .4分2 設(shè)過(guò)點(diǎn) (1 ,0)直線為 xty1，設(shè) A x , y， B x , y3311221xty322由得y2918ty12ty160 ，且.x212那么12ty1 y2,918t26分16y1 y22,918t又因?yàn)?CAx11, y1， CBx21,y2，C A C B ( 1 x 1

11、 ) (2 x 1 ) 1 y 2 y44241 6y1t y2t y1 y2 y 1t 1 2y y1ty 233391 t2164t912t160 ，10 分918t 2318t 29所以 CACB .因?yàn)榫€段 AB 的中點(diǎn)為 M ，所以 | AB| 2|CM|. 12 分20. 12水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深人貫徹科學(xué)開(kāi)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理，處理后的污水A級(jí)水到達(dá)環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo)的概率為p0<p<1 .經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè)，假設(shè)確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；假設(shè)不達(dá)標(biāo)那么必須進(jìn)展B系統(tǒng)處理后直接排放.某廠現(xiàn)有 4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水

12、量的 A級(jí)水池，分別取樣、檢測(cè)，多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將假設(shè)干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，那么混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo)，假設(shè)混合樣本不達(dá)標(biāo)，那么該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；假設(shè)混合樣本達(dá)標(biāo)，那么原水池的污水直接排放現(xiàn)有以下四種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；方案三；三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；方案四：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn) .化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，那么方案越"優(yōu) ". 1假設(shè) p22 ，求 2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；3 2假設(shè) p2 2 ，現(xiàn)有 4個(gè) A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一、

13、二、四中哪個(gè)最“優(yōu)" ？3假設(shè) “方案三 比 “方案四 " 更 “優(yōu) ，求 p的取值范圍 .20.【解析】 (I) 該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是(2 2)28，2分39所以根據(jù)對(duì)立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為811. 4分99(II) i 方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為4.方案二： 由(1) 知，每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，假設(shè)達(dá)標(biāo)那么檢測(cè)次數(shù)為1，概率為8 ；假設(shè)不達(dá)標(biāo)那么檢測(cè)次數(shù)為3，概率為 1.故方案二的檢測(cè)次數(shù)記為， 的可能取值為 2,4,6.9922其分布列如下，2246p64161818181E(2) 26416119822可求得方案二的期望為81468198181方案四：混在一起

14、檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為， 可取 1,5.44其分布列如下，415p64178181E( 4)6417149可求得方案四的期望為15.818181比擬可得 E( 4 ) E(2 )4 ，應(yīng)選擇方案四最“優(yōu) 9 分(ii) 方案三：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為3 ，3 可取 2,5.325pp1p3E( 3 ) 2 p35(1 p3 )53 p3；方案四：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為4 ，4 可取 1,5415pp1p4E( 4 )p45(1p4 )54 p4 ；由題意得 E( 3 )E (4 )53 p354 p4p3.34故當(dāng) 0時(shí)，方案三比方案四更“優(yōu) 12 分p421. 12 分函數(shù) f ( x)xexln x. 1求 f

15、( x) 的最大值；x 2假設(shè) f ( x)( x1xbx1 恒成立，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍 .x) eex21.【解析】 (I)f ( x)xln x，定義域 (0,) ，xf ( x )1 ex ( x 1)( x 1)( x ex )1x2x2，x由 exx1x ， f ( x) 在 (0,1 增，在 (1,) 減， f ( x) maxf (1)1 e 4 分(II) f ( x )( x1 )e xbx1ln xxexxexexbx 1ln x x xexbx 1 0xxxxexln x1xb(xexln x1xxx)min b, 6 分xexln x 1 x( x)令 (x)，令 h(x) x2exxln x， h(x) 在 (0,h(x) 在