正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)

1、【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：1.3.1 正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)二. 教學(xué)目的1、掌握用幾何法繪制正弦函數(shù)的圖象的方法；掌握用五點(diǎn)法畫(huà)正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖的方法及意義；2、掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；3、掌握正弦型函數(shù)的圖象（特別是用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖象）、性質(zhì)及應(yīng)用。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：1、用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的簡(jiǎn)圖；2、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；3、函數(shù)與的圖象的關(guān)系。難點(diǎn)：1、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性的理解；2、函數(shù)與的圖象的關(guān)系。四. 知識(shí)分析1、正弦函數(shù)圖象的幾何作法采用弧度制， x、y 均為實(shí)數(shù)，步驟如下： （1）在 x 軸上任取一點(diǎn) O1 ，以 Ol 為圓心作單位圓； （2）從這個(gè)圓與 x 軸交點(diǎn)

2、 A 起把圓分成 12 等份；（3）過(guò)圓上各點(diǎn)作x軸的垂線，可得對(duì)應(yīng)于0、的正弦線； （4）相應(yīng)的再把 x 軸上從原點(diǎn) O 開(kāi)始，把這0這段分成 12 等份；（5）把角的正弦線平移，使正弦線的起點(diǎn)與 x 軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合；（6）用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。2、五點(diǎn)法作圖描點(diǎn)法在要求不太高的情況下，可用五點(diǎn)法作出，的圖象上有五點(diǎn)起決定作用，它們是。描出這五點(diǎn)后，其圖象的形狀基本上就確定了。因此，在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先描出這五個(gè)點(diǎn)，然后用平滑的曲線將它們連接起來(lái)，就得到在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種方法叫做五點(diǎn)法。注意：（1）描點(diǎn)法所取的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值

3、，不易描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的精確位置，因此作出的圖象不夠精確。（2）幾何法作圖較為精確，但畫(huà)圖時(shí)較繁。（3）五點(diǎn)法是我們畫(huà)三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實(shí)掌握好，與五點(diǎn)法作圖有關(guān)的問(wèn)題曾出現(xiàn)在歷屆高考試題中。（4）作圖象時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為實(shí)數(shù)，因此在 x 軸、 y 軸上可以統(tǒng)一單位，作出的圖象正規(guī)，便于應(yīng)用。（5）如果函數(shù)表達(dá)式不是，則那五點(diǎn)就可能不是如：用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的簡(jiǎn)圖，所用的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表就是：而用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的簡(jiǎn)圖，開(kāi)始的一段圖象所用的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表就是：x02y010103、正弦曲線 下面是正弦函數(shù)的圖象的一部分：4、正弦函數(shù)的值域從正弦線可以看出：正弦線

4、的長(zhǎng)度小于或等于單位圓半徑的長(zhǎng)度；從正弦曲線也可以看出：正弦曲線分布在 y = 1 和 y1 之間，說(shuō)明|sinx|1，即正弦函數(shù)的值域是1 , 1 。注意：這里所說(shuō)的正弦函數(shù)的值域是l,1，是指整個(gè)正弦曲線或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線。如果定義域不為全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是1,1。如，則值域就是0，1， 因而在確定正弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域。5、周期函數(shù)的定義 一般地，對(duì)于函數(shù) yf ( x ) ，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T ，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)， f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù) y = f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

5、注意：( 1)定義應(yīng)對(duì)定義域中的每一個(gè) x 值來(lái)說(shuō)，只有個(gè)別的 x 值或只差個(gè)別的 x 值滿(mǎn)足f(xT)f(x)或不滿(mǎn)足都不能說(shuō) T 是 f(x)的周期。 例如：但是就是說(shuō)，不能對(duì)x的定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有, 因此不是 sinx的周期 。（2）從等式f(xT)f(x)來(lái)看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是與自變量 x 本身相加的常數(shù)才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而應(yīng)寫(xiě)成 f(2 x + T) f( 2x ) ，則是 f ( 2x)的周期。（3）對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就稱(chēng)它為最小正周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般

6、都是指它的最小正周期。（4）并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期例知，常數(shù)函數(shù) f ( x ) = C ( C 為常數(shù)) , x R ，當(dāng) x 為定義域內(nèi)的任何值時(shí)，函數(shù)值都是 C ，即對(duì)于函數(shù) f( x)的定義域內(nèi)的每一個(gè)值 x ，都有 f ( x + T ) C ，因此 f (x)是周期函數(shù)，由于 T 可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒(méi)有最小者，所以 f (x)沒(méi)有最小正周期。再如函數(shù) 設(shè) r 是任意一個(gè)有理數(shù)，那么當(dāng) x 是有理數(shù)時(shí)， x + r 也是有理數(shù)，當(dāng) x 為無(wú)理數(shù)時(shí)， x + r 也是無(wú)理數(shù)，就是說(shuō) D ( x )與 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此

7、在兩種情況下，都有 D ( x + r ) D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函數(shù)， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理數(shù)，而正有理數(shù)集合中沒(méi)有最小者，所以 D (x)沒(méi)有最小正周期。（5）“f ( x + T )f ( x ) ”是定義域內(nèi)的恒等式，即對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值都成立， T 是非零常數(shù)，周期 T 是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量 x 的增加值。（6）周期函數(shù)的周期不只一個(gè)，若T是周期，則 kT ( kN* )一定也是周期。（7）在周期函數(shù) y f（x）中，T是周期，若 x 是定義域內(nèi)的一個(gè)值，則 x + kT 也一定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限

8、集。6、正弦函數(shù)的周期性（1）從正弦線的變化規(guī)律可以看出，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，是它的周期，最小正周期是 2。（2）正弦函數(shù)的周期也可由誘導(dǎo)公式 sin ( x + 2k)sinx ( kZ)得到。7、正弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù) y = sinx ( xR )是奇函數(shù)。（1）由誘導(dǎo)公式 sin（x ） sinx 可知上述結(jié)論成立， （2）反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱(chēng)； （3）正弦曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其所有的對(duì)稱(chēng)中心為（ k, 0 ）。正弦曲線也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其所有的對(duì)稱(chēng)軸方程為。注意：正弦曲線的對(duì)稱(chēng)軸一定是經(jīng)過(guò)正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，此時(shí)正弦值為最大值或最小值。 8、正弦函數(shù)的單調(diào)性

9、 由正弦曲線可以看出：當(dāng)x由增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx由1增大到1；當(dāng)x由增大到時(shí)，曲線逐漸下降，sinx由1減小到1。 由正弦函數(shù)的周期性知道： 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都從1增大到1，是增函數(shù)；在每一個(gè)閉區(qū)間（）上，都從1減小到1，是減函數(shù)。也就是說(shuō)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是：及（） 9、函數(shù)圖象的左右平移變換 如在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)和的簡(jiǎn)圖，并指出它們與圖象之間的關(guān)系。 解析：函數(shù)的周期為，我們來(lái)作這個(gè)函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖。 設(shè)，那么， 當(dāng)Z取0、時(shí)，x取。所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)，圖象上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)。 列表： 類(lèi)似地，對(duì)于函數(shù)，可列出下表： 描點(diǎn)作圖（如下） 利用這

10、類(lèi)函數(shù)的周期性，可把所得到的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得出，及，的簡(jiǎn)圖（圖略）。 由圖可以看出，的圖象可以看作是把的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位而得到的，的圖象可以看作是把的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位得到的。 注意：一般地，函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位而得到的。 推廣到一般有： 將函數(shù)的圖象沿x軸方向平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象。當(dāng)a>0時(shí)向左平移，當(dāng)a<0時(shí)向右平移。 10、函數(shù)圖象的橫向伸縮變換 如作函數(shù)及的簡(jiǎn)圖，并指出它們與圖象間的關(guān)系。 解析：函數(shù)的周期，我們來(lái)作時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。 設(shè)，那么，當(dāng)Z取0、時(shí)，所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)圖

11、象上起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)，這里，所以當(dāng)x取0、時(shí)，所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)的圖象上起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)。 列表： 函數(shù)的周期，我們來(lái)作時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。 列表： 描點(diǎn)作圖，如圖： 利用這類(lèi)函數(shù)的周期性，我們可以把上面的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得出，及，的簡(jiǎn)圖（圖略）。 從上圖可以看出，在函數(shù)的圖象上橫坐標(biāo)為（）的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同（例如，當(dāng)時(shí)，）。因此，的圖象可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。 類(lèi)似地，的圖象可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。 注意：一般地，函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長(zhǎng)

12、（當(dāng)時(shí)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。 推廣到一般有： 函數(shù)的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到。 11、函數(shù)圖象的縱向伸縮變換 如在同一坐標(biāo)系中作出及的簡(jiǎn)圖，并指出它們的圖象與的關(guān)系。 解析：函數(shù)及的周期，我們先來(lái)作時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。 列表： 描點(diǎn)作圖，如圖： 利用這類(lèi)函數(shù)的周期性，我們可以把上圖的簡(jiǎn)圖向左、向右擴(kuò)展，得到及的簡(jiǎn)圖（圖略）。 從上圖可以看出，對(duì)于同一個(gè)x值，的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的兩倍（橫坐標(biāo)不變），從而的值域?yàn)?，2，最大值為2，最小值為2。 類(lèi)似地，的圖象，可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短

13、到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，從而的值域是，最大值為，最小值為。 注意：對(duì)于函數(shù)（A>0且A1）的圖象，可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)0<A<1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，的值域?yàn)锳，A，最大值為A，最小值為A。 推廣到一般有： 函數(shù)（A>0且A1）的圖象，可以看作是把函數(shù)圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1）或縮短（當(dāng)0<A<1）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到。 12、函數(shù)的圖象 作函數(shù)的圖象主要有以下兩種方法： （1）用“五點(diǎn)法”作圖 用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)，由z取0，來(lái)求出

14、相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象。 （2）由函數(shù)的圖象通過(guò)變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。 法一：先平移后伸縮 法二：先伸縮后平移 可以看出，前者平移個(gè)單位，后者平移個(gè)單位。原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)變量x而言的。因此在用這樣的變換法作圖象時(shí)一定要注意平移的先后順序，否則必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。 當(dāng)函數(shù)（A>0，）表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個(gè)振動(dòng)的振幅；往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間，它叫做振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)，它叫做振動(dòng)的頻率；叫做相位，叫做初相（即當(dāng)x0時(shí)的相位）。【典

15、型例題】 例1. 作出函數(shù)的圖象 分析：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡(jiǎn)形式，然后作出函數(shù)的圖象。 解析：化為 即 其圖象如圖： 點(diǎn)評(píng)：畫(huà)的圖象可分為兩步完成，第一步先畫(huà)出和，的圖象，第二步將得到的圖象向左、右平移，即可得到完整的曲線。 例2. 求下列函數(shù)的周期 （1）（2） 分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過(guò)變量替換將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。 解析：（1）如果令，則是周期函數(shù)，且周期為 即 的周期是 （2） 即 的周期是。 點(diǎn)評(píng)：由上例我們可以看到函數(shù)周期的變換僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中A、為常數(shù)，A0，xR）的周期。 例3. 比較下列各組數(shù)的大小。 （1

16、）sin194°和cos160°；（2）和； （3）和 分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小。 解析：（1） ， 從而 即 （2） 又 在上是減函數(shù) 即 （3） 而在（0，）內(nèi)遞增 點(diǎn)評(píng)： （1）比較同名的三角函數(shù)值的大小，首先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)，利用單調(diào)性，由自變量的大小確定函數(shù)值的大小。 （2）比較不同名的三角函數(shù)的大小時(shí)，應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，然后再進(jìn)行比較。 例4. 求下列函數(shù)的最大值和最小值 （1） （2） （3） 分析：可利用sinx與cosx的值域求解，求解過(guò)程中要注意自變量的取值范圍。 解析：（1） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，

17、 （2） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。 （3）， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。 點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的值域或最大值、最小值問(wèn)題主要得利用sinx與cosx的有界性，以及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 例5. 用兩種方法將函數(shù)的圖象變換為函數(shù)的圖象。 分析1： 解法1： 分析2： 解法2： 點(diǎn)評(píng)：在解法1中，先伸縮，后平移；在解法2中，先平移，后伸縮，表面上看來(lái)，兩種變換方法中的平移是不同的（即和），但由于平移時(shí)平移的對(duì)象已有所變化，所以得到的結(jié)果是一致的。 例6. 用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 分析：按五點(diǎn)作圖法的要求找出五個(gè)點(diǎn)來(lái)，然后作圖。 解析：（1）列表 列表時(shí)取值為0、，再求出相應(yīng)的x值和y值。 （2

18、）描點(diǎn) （3）用平滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn)所得圖象如圖所示： 利用這類(lèi)函數(shù)的周期性，我們可以把上面所得到的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得到，的簡(jiǎn)圖（圖略）。 可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)在上遞減，又因函數(shù)的周期為，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為。同理，增區(qū)間為。 點(diǎn)評(píng)：五點(diǎn)法作圖，要抓住要害，即抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，使函數(shù)式中的取0、，然后求出相應(yīng)的x，y值。 例7. 如圖是函數(shù)的圖象，確定A、的值。 解析：顯然A2 解法1：由圖知當(dāng)時(shí)，y0 故有， 所求函數(shù)解析式為 解法2：由圖象可知將的圖象向左移 即得，即 點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的解析式難點(diǎn)在于確定初相，一般可利用圖象變換關(guān)系和特殊值法?！灸M試題】 1、已知，且，則的值等于 A. B. C. D. 2、函數(shù)的定義域?yàn)?A. RB. 1，1 C. D. 3，3 3、在0，上，滿(mǎn)足的x取