極限存在準則,兩個重要極限

1、西南石油大學高等數(shù)學專升本講義 極限存在準則 兩個重要極限【教學目的】1、了解函數(shù)和數(shù)列的極限存在準則； 2、掌握兩個常用的不等式；3、會用兩個重要極限求極限?！窘虒W內(nèi)容】1、夾逼準則； 2、單調(diào)有界準則； 3、兩個重要極限?！局攸c難點】重點是應用兩個重要極限求極限。難點是應用函數(shù)和數(shù)列的極限存在準則證明極限存在，并求極限。【教學設計】從有限到無窮，從已知到未知，引入新知識（5分鐘）。首先給出極限存在準則（20分鐘），并舉例說明如何應用準則求極限（20分鐘）；然后重點講解兩個重要的極限類型，并要求學生能利用這兩個重要極限求極限（40分鐘）；課堂練習（15分鐘）?！臼谡n內(nèi)容】引入：考慮下面幾個數(shù)

2、列的極限1、1000個0相加，極限等于0。2、無窮多個“0”相加，極限不能確定。3、，其中，極限不能確定。對于2、3就需要用新知識來解決，下面我們來介紹極限存在的兩個準則：一、極限存在準則1. 夾逼準則準則 如果數(shù)列及滿足下列條件:那么數(shù)列的極限存在, 且.證： 取上兩式同時成立, 當時，恒有 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限準則 如果當 (或)時,有那么存在, 且等于.準則 I和準則 I'稱為夾逼準則?！咀⒁狻坷脢A逼準則求極限的關鍵是構造出與，并且與的極限是容易求的。例1 求解： 由夾逼定理得：【說明】夾逼準則應恰當結合“放縮法”使用2. 單調(diào)有界準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必

3、有極限.如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。幾何解釋:例2 證明數(shù)列（重根式）的極限存在【分析】已知，求。首先證明是有界的，然后證明是單調(diào)的，從而得出結論證：1、證明極限存在a) 證明有上界，設，則所以對任意的n，有b) 證明單調(diào)上升所以存在2、求極限設，則，解得（舍去）所以=2二、兩個重要極限1.如右圖所示， 例3 求下列極限（1）解：原極限 （2）解：原極限=1（）（3）解：原極限=；2. ，；“”型【說明】（1）上述三種形式也可統(tǒng)一為模型（2）第二個重要極限解決的對象是型未定式。例如，例4 求下列極限（1

4、）解：原極限 （2）解：原極限=【補充】“”型計算公式：其中時，。證明：例5 求下列極限（1）【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式解：=1（2）【分析】是冪指函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式。解：原極限。（3）【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式，但它不是標準型，通過“加1減1”變成標準型。解：原極限=【思考題1】設有k個正數(shù)，令=，求 （“大數(shù)優(yōu)先”準則）。解：而，所以由夾逼準則：【思考題2】設，求解：顯然 。因為，所以數(shù)列有下界。又因為，所以數(shù)列單調(diào)下降，即存在。設=，則，解得，所以=【思考題3】求；解：原極限=【思考題4】求極限解： 【課堂練習】求 。解：而 ，所以 原極限【內(nèi)容小結】1、 夾逼準則 當時，有，且=，則。2、單調(diào)有界準則