浙江大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)系2011碩士研究生入學(xué)考試大綱

1、浙江大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)系2011碩士研究生入學(xué)考試大綱一、數(shù)學(xué)分析考試大綱本數(shù)學(xué)分析考試大綱適用于浙江大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)系各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。數(shù)學(xué)分析是具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，主要內(nèi)容包括：分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)和積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)等。制定本大綱的依據(jù)是根據(jù)教育部頒發(fā)數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱的基本要求；根據(jù)國(guó)內(nèi)外一些優(yōu)秀教材所講到的基本內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)。一、考試基本要求要求考生比較系統(tǒng)地掌握和理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。二、考試方法和考試時(shí)間數(shù)學(xué)分析考試

2、采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為150分鐘。三、考試內(nèi)容和考試要求 （一）考試內(nèi)容1. 分析基礎(chǔ)(1) 實(shí)數(shù)概念、確界(2) 函數(shù)概念(3) 序列極限與函數(shù)極限(4) 無(wú)窮大與無(wú)窮小(5) 上極限與下極限(6) 連續(xù)概念及基本性質(zhì)，一致連續(xù)性（7）收斂原理2. 一元微分學(xué)(1) 導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義(2) 求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則(3) 高階導(dǎo)數(shù)(4) 微分(5) 微分中值定理(6) LHospital法則(7) Taylor公式(8) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)3. 一元積分學(xué) (1) 不定積分法與可積函數(shù)類 (2) 定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算 (3) 定積分的應(yīng)用 (4) 廣義積分4. 級(jí)數(shù)(1

3、) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散判別與性質(zhì)(2) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與一致收斂性(3) 冪級(jí)數(shù)(4) Fourier級(jí)數(shù)5. 多元微分學(xué)(1) 歐氏空間(2) 多元函數(shù)的極限(3) 多元連續(xù)函數(shù)(4) 偏導(dǎo)數(shù)與微分(5) 隱函數(shù)定理(6) Taylor公式(7) 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用(8) 多元函數(shù)的極值6. 多元積分學(xué)(1) 重積分的概念與性質(zhì)（2）重積分的計(jì)算（3）二重、三重廣義積分（4）含參變量的正常積分和廣義積分（5）曲線積分與Green公式（6）曲面積分（7）Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無(wú)關(guān)（二）考試要求1分析基礎(chǔ)(1) 了解實(shí)數(shù)公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對(duì)值不等式及平均值不

4、等式。(2) 熟練掌握函數(shù)概念（如定義域、值域、反函數(shù)等）。(3) 掌握序列極限的意義、性質(zhì)（特別，單調(diào)序列的極限存在性定理）和運(yùn)算法則，熟練掌握求序列極限的方法。(4) 掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則（自變量趨于有限數(shù)和趨于無(wú)限兩種情形），熟練掌握求函數(shù)極限的方法，了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。(5) 熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法（如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等），掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應(yīng)用Stolz公式求序列極限的方法。(6) 理解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的意義，了解同階和高（低）階無(wú)窮大（小）量的意義。(7) 了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。(8) 熟

5、練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及趨于無(wú)窮兩種情形）存在的充分必要條件。2一元微分學(xué)(1) 掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義，解依據(jù)定義求函 數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。(2) 解應(yīng)用求導(dǎo)公式和法則熟練計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)（包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。(3) 理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能利用微分作近似計(jì)算。(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle

6、定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在性及不等式證明等問題。(5) 熟練掌握應(yīng)用LHospital法則求函數(shù)極限的方法。(6) 理解Taylor公式（Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng)）的意義，并熟記五個(gè)基本公式（在x=0點(diǎn)的帶有Peano余項(xiàng)的Taylor公式），能將給定函數(shù)在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。(7) 熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。3一元積分學(xué)(1) 理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法

7、和分部積分法的意義和方法，解應(yīng)用他們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定積分。(2) 了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的根式的有理式的積分方法。(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計(jì)算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。(4) 熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線弧長(zhǎng)、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積，并解應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡(jiǎn)單物理、力學(xué)問題。(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對(duì)收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。4級(jí)數(shù)(1) 掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對(duì)收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分

8、必要條件（Cauchy準(zhǔn)則），收斂和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及級(jí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。(2) 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法（比較判別法、DAlembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。(3) 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列一致收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法則（Cauchy一致收斂準(zhǔn)則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法）及一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。(4) 理解冪級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟記

9、五個(gè)基本冪級(jí)數(shù)展開式（）。能求出給定函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式及應(yīng)用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。(5) 理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Parseval等式，并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和（例如）。5多元微分學(xué)(1) 理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開集與閉集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。(2) 理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計(jì)算多元函數(shù)的全面極限和累次

10、極限。(3) 理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。(4) 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計(jì)算法則，能熟練計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能計(jì)算函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。(5) 理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。(6) 理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。(7) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。(8) 能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。(9) 理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及

11、在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實(shí)際問題。6多元積分學(xué)(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法（特別，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換），能熟練計(jì)算二重和三重積分，并用于計(jì)算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重（n>3）積分的計(jì)算方法（化為累次積分及變量代換）。(3) 了解二重、三重廣義積分的意義（無(wú)界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形），掌握它們的基本判斂法和基本計(jì)算方法。(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)和求積分），了解含參變量的

12、廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)及求積分），掌握其一致收斂判別法，了解和函數(shù)。(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲線積分。(6) 理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲面積分。(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算。了解空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件及其對(duì)曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。四、參考書目國(guó)內(nèi)外重點(diǎn)大學(xué)數(shù)學(xué)系用數(shù)學(xué)分析（公開發(fā)行）教材。 二、高等代數(shù)考試大綱一、

13、 考試內(nèi)容（一）線性方程組1數(shù)域及其基本性質(zhì)。2Gauss消元法解線性方程組，線性方程組解的判定。3線性方程組的系數(shù)矩陣、增廣矩陣，矩陣的初等變換與Gauss消元法。 4Cramer法則。5齊次線性方程組的解空間及其維數(shù)、基礎(chǔ)解系和通解。 6非齊次線性方程組的導(dǎo)出組、特解和通解。（二）行列式1-排列，逆序及逆序數(shù)，對(duì)換。2行列式的定義。3行列式的基本性質(zhì)。 4行列式按某一行（列）的展開公式，范德蒙德行列式。5Laplace定理。6矩陣乘積的行列式。（三）矩陣 1矩陣及其轉(zhuǎn)置、加法、數(shù)乘和乘積等運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，對(duì)稱矩陣。2矩陣的秩，矩陣的等價(jià)關(guān)系、等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和等價(jià)類，線性方程組的解與系數(shù)矩陣的秩

14、，矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩。 3矩陣的逆，伴隨矩陣，求逆矩陣，滿秩矩陣。 4初等矩陣及其基本性質(zhì)，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，初等矩陣與矩陣的秩的關(guān)系，初等矩陣與可逆矩陣的關(guān)系。5分塊矩陣及其運(yùn)算，分塊矩陣的初等變換，分塊矩陣的秩與逆。（四）線性空間 1集合，映射與運(yùn)算及其基本性質(zhì)。 2線性空間定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)。 3線性組合，線性表示，線性相關(guān)性。4等價(jià)向量組，極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩，向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系。5基與維數(shù)，坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，過渡矩陣。6線性子空間，及其基與維數(shù)。7子空間的交與和，維數(shù)公式，直和，補(bǔ)空間。（五）歐氏空間 1內(nèi)積，歐氏空間，度量矩陣，向量的長(zhǎng)度和夾角，單位向量，

15、正交。2標(biāo)準(zhǔn)正交基，基的擴(kuò)充，基的改造（Schmidt正交化過程），正交矩陣。 3子空間的正交，正交和，正交補(bǔ)，投影。4向量到子空間的距離，最小二乘法問題。5酉內(nèi)積，酉空間及其標(biāo)準(zhǔn)正交基。（六）線性映射與線性變換1線性映射（變換）及其運(yùn)算，線性映射（變換）的矩陣。2線性映射的像（值域）與核及其維數(shù)，同構(gòu)。3商空間。4正交映射（變換），歐氏空間的同構(gòu)，正交變換及與正交陣，鏡面反射。（七）二次型1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形，（非退化）線性替換，配方法。 2二次型的矩陣，矩陣合同及合同標(biāo)準(zhǔn)形，二次型的秩。 3實(shí)二次型與正交替換。4復(fù)二次型的規(guī)范形，慣性定理與實(shí)二次型（實(shí)對(duì)稱矩陣）的規(guī)范形。5正（負(fù)）定二次型，

16、正（負(fù)）定矩陣，半正（負(fù)）定二次型，半正（負(fù)）定矩陣，矩陣的順序主子式。（八）多項(xiàng)式1一元多項(xiàng)式（函數(shù)），一元多項(xiàng)式的運(yùn)算及其運(yùn)算律，整除，帶余除法，（最大）公因式，輾轉(zhuǎn)相除法，互素（互質(zhì)），不可約多項(xiàng)式，根，最?。O?。┒囗?xiàng)式，復(fù)（實(shí)、有理）多項(xiàng)式的因式分解。2多元多項(xiàng)式（函數(shù)），多元多項(xiàng)式的運(yùn)算及其運(yùn)算律，字典排序法，齊次多項(xiàng)式，Vieta定理，（初等）對(duì)稱多項(xiàng)式，一元多項(xiàng)式的判別式。3二元高次方程組的求解。（九）特征值與特征向量 相似矩陣1線性變換（矩陣）的特征值與特征向量，特征多項(xiàng)式，特征子空間。 2矩陣相似，相似標(biāo)準(zhǔn)形與相似對(duì)角化。3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。4線性變換的不變子空間與根子空間，限制變換，不變子空間與特征向量的關(guān)系。5復(fù)方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其存在性和唯一性。6矩陣（線性變換）的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式與相似對(duì)角化。（十）-矩陣1-矩陣及其秩、逆、伴隨矩陣、初等矩陣、等價(jià)、等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、行列式因子、不變因子、初等因子。2數(shù)字矩陣的特征矩陣、行列式因子、不變因子、初等因子及其應(yīng)用。 （十一）雙線性函數(shù)1線性函數(shù)及其運(yùn)算。2對(duì)偶空間，對(duì)偶基及過渡矩陣，對(duì)偶映射。3雙線性函數(shù)及其度量矩陣，非退化雙線性函數(shù)，（反）對(duì)稱雙線性函數(shù)，非退化對(duì)稱雙線性函數(shù)與歐氏空間的內(nèi)積的關(guān)系。4雙線性度量空間、正交空間、準(zhǔn)歐氏空間、辛空間的基本概念和