數(shù)學(xué)物理方程結(jié)課論文

1、N-S方程在平板間脈沖流動中的應(yīng)用摘要粘性流體力學(xué)是一個歷史悠久而又富有新生命力的學(xué)科。它與人們?nèi)粘Ｉ?、健康和旅行無不息息相關(guān)。早在紀(jì)元前希臘學(xué)者阿基米德即建立了液體載物的浮力理論，其領(lǐng)先遠超于力學(xué)建基之始。二千二百年前在李冰父子創(chuàng)導(dǎo)下，我國也建利灌舒洪的都江堰，這個偉大工程當(dāng)時確已掌握現(xiàn)今的水力學(xué)原則和近代的工程設(shè)計理論。在流體粘性效應(yīng)的問題上，不乏先進接連攻關(guān)，終難勝克，足見其艱困之甚。近數(shù)年代里，由于工業(yè)發(fā)展的迫切需求，已促進不少新學(xué)科的萌芽滋長。諸如能源發(fā)展；海洋、大氣和陸地交應(yīng)干擾和持恒；農(nóng)林牧業(yè)的生物科技新探索；城市、河流和山岳的環(huán)境保護；疾病防治的醫(yī)療科學(xué)以及自然災(zāi)害的消減和救

2、援等都賦予流體力學(xué)新的生命。納維-斯托克斯方程又稱為N-S方程，是描述實際流體運動的微分方程式，納維-斯托克斯方程在流體力學(xué)中有十分重要的意義。本文將在闡述粘性流體力學(xué)的基本方程的基礎(chǔ)上，借助于數(shù)學(xué)軟件MAPLE，應(yīng)用N-S方程解決平行平板間的脈沖流動問題。關(guān)鍵詞：N-S方程，平行平板，脈沖流動，Maple第一章 數(shù)學(xué)及物理背景數(shù)學(xué)物理方程以具有物理背景的偏微分方程（組）作為研究的主要對象，主要是指力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)中提出來的偏微分方程，它是隨著17世紀(jì)工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，伴隨著天文學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展而逐步形成的一門獨立學(xué)科。描述許多自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)形式都可以是偏微分方程式，特別

3、是很多重要的物理力學(xué)及工程過程的基本規(guī)律的數(shù)學(xué)描述都是偏微分方程，例如流體力學(xué)、電磁學(xué)的基本定律都是如此。所以數(shù)學(xué)物理方程在推動數(shù)學(xué)理論發(fā)展對于推動數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，加強理論與實際的聯(lián)系，幫助人們認識世界和改造世界都起著重要作用。但是在使用函數(shù)和解方程中，針對表達式和符號運算的問題一直困擾著我們，只能依賴鉛筆和演草紙進行純手工計算，現(xiàn)在這些工作都可以借助計算機代數(shù)系統(tǒng)來完成。計算機代數(shù)系統(tǒng)包括數(shù)值計算、符號計算、圖形演示和編程等四部分。在科學(xué)研究、教育教學(xué)等各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Maple是一種計算機代數(shù)系統(tǒng)，是目前廣泛使用的數(shù)學(xué)計算工具之一。用Maple不但可以進行簡單的加減乘除運算，也可以求

4、解代數(shù)方程、微分方程，進行微分運算或處理線性代數(shù)問題。納維斯托克斯方程是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力以及引力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。納維斯托克斯方程依賴于微分方程來描述流體的運動。這些方程和代數(shù)方程不同，不尋求建立所研究的變量的關(guān)系，而是建立這些變量的變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語來講，這些變化量對應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這表示對于給定的物理問題的納維斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。第二章 納

5、維斯托克斯方程納維斯托克斯方程為一組非線性二階偏微分方程組，一般情況下在數(shù)學(xué)上求其精確解是非常困難的。只有在某些特殊流動情況下，例如當(dāng)非線性的遷移項為零的情況下，可以求得精確解。NS方程 對于粘性不可壓縮流體的方程而言，壓力項及粘性性是線性的，而慣性項卻是非線性的。這一非線性項的存在使得在解方程時，碰到很大的困難。在理想不可壓縮流體的 Euler 方程，雖然也存在非線性的慣性項，但是因為相當(dāng)一部分的實際問題是無旋的。對于無旋流動，問題可歸結(jié)為求解線性的 Laplace 方程（運動學(xué)方程），速度勢求出后，壓力可由拉格朗日積分或伯努力積分求出（動力學(xué)問題），問題得到了很大的簡化。 但是粘性不可壓縮

6、流體的運動中，運動都是有旋的，因而也不存在拉格朗日積分或伯努力積分，因此不得不求解原始的二階偏微分方程組。 到目前為止，還沒有求解非線性偏微分方程到普遍有效的方法，在流體力學(xué)中，求解上述非線性偏微分方程組通常有兩種主要途徑：（1）準(zhǔn)確解：在一些簡單到問題中，由于問題的特點，非線性的慣性項或者等于零，或者是非常簡單的非線性方程組，此時基本方程組或者化為線性方程組，或者化為簡單的非線性方程組，從而可以找出方程組的準(zhǔn)確解來。但是具有準(zhǔn)確解的問題為數(shù)很少，而且一般說來很少能直接地用到實際問題中去。（2）近似解：根據(jù)問題到特點，略去方程中某些次要項，從而得出近似方程。在某些情況下，可以得出近似方程的解。

7、這種途徑稱為近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列兩種情況： （a）小雷諾數(shù)Re情況，此時粘性力較慣性力大得多。可以全部或部分地忽略慣性力得到簡化的線性方程。 （b）大雷諾數(shù)Re情況，若將粘性力全部略去，并且在物面上相應(yīng)地提滑移邊界條件，這就是理想流體的近似模型。在這個近似模型中無法求出符合實際的阻力。 進一步研究發(fā)現(xiàn)，在貼近物面很薄的一層邊界層中，必須考慮粘性的影響，但此時根據(jù)問題的特點，可以略去粘性力中的某些項，從而得到簡化的邊界層方程（仍是非線性的）。而在邊界層外，仍可將粘性全部忽略。（c）對于中等雷諾數(shù)Re的情況，慣性力和粘性力都必須保留，此時只能通過其它途徑簡化問題，或者利用數(shù)值計

8、算方法求方程到數(shù)值解。第三章 平行平面間的脈沖流動圖表 1 平行平板間的脈沖流動平行平面間的脈沖流動是一個可以得到NS方程精確解的非恒定流動，它對研究血液流動是有意義的。圖1兩個固定的平行平面位于= 處，處的壓強梯度隨時間振動，于是方向的流速也將隨壓強梯度而振動。在方向流速均為零，即，從而由連續(xù)性方程可得。于是 NS方程簡化為 邊界條件 假設(shè)壓強梯度的振動為以下形式： 式中，為實數(shù)常數(shù)，代表振動幅度，代表振動頻率，則式（1）改寫為 若流速可以表示為 式中，“”表示括弧中量的實數(shù)部分。代入式（4），得 從而，或?qū)憺?為函數(shù)的非齊次線性方程。這個常微分方程的解是由一個常數(shù)的特解和齊次方程的通解所組

9、成，即，其中特解為 其次方程的通解為 式中，為待定系數(shù)，由邊界條件，可以得出 從而定出常數(shù): 于是方程（3.8）的解為 流速： 為了直觀地分析結(jié)果，將分別賦予相應(yīng)的具體數(shù)值，并應(yīng)用MAPLE作出3D圖像（圖像及MAPLE語句見附錄），可以看出，流速與壓強梯度具有相同的振動頻率，但存在隨而變化的相位差。壁面附近的振幅與中心處振幅不同，由邊界條件可以看出在避免處振幅趨近于零。課程總結(jié)再次接觸數(shù)學(xué)物理方程這門課感觸很深，雖然本科階段對這門課程有過基本的學(xué)習(xí)，但當(dāng)時的感覺只是學(xué)習(xí)從物理問題中抽象出來的數(shù)學(xué)問題，并沒有將方法用于實踐，現(xiàn)在更加注重理論與實踐的結(jié)合，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實際問題，尤其是解決專業(yè)相關(guān)的具體問題。數(shù)學(xué)物理方程這門課素來以“繁，難”著稱，較之高等數(shù)學(xué)有過之而無不及。但是在本次的學(xué)習(xí)過程中，加入了數(shù)學(xué)軟件MAPLE的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，使得單純的數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)變得不再單調(diào)和枯燥，并且將所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于專業(yè)知識的分析與處理，應(yīng)用于實際的物理問題。本課程收獲頗豐得益于教員鞭辟入里的剖析講解、啟發(fā)式的教學(xué)模式和團結(jié)合作、相互探討的課堂氛圍。在課程進行過程中仍存在一點瑕疵，學(xué)生自己準(zhǔn)備章節(jié)時，部分基礎(chǔ)性的理論并沒有充分準(zhǔn)備，例如行波法非齊次問題的處理這一節(jié)中，齊次化原理是求解的基礎(chǔ)，但學(xué)生授課時并沒有準(zhǔn)備