實(shí)變函數(shù)第一章答案

1、習(xí)題1.11證明下列集合等式(1) ；(2) ；(3) 證明 (1) . (2) =.(3) .2證明下列命題(1) 的充分必要條件是：；(2) 的充分必要條件是：Ø；(3) 的充分必要條件是：Ø證明 (1) 的充要條是：(2) 必要性. 設(shè)成立，則, 于是有, 可得 反之若 取, 則, 那么與矛盾.充分性. 假設(shè)成立, 則, 于是有, 即(3) 必要性. 假設(shè), 即 若 取 則 于是 但 與矛盾.充分性. 假設(shè)成立, 顯然成立, 即.3證明定理1.1.6定理1.1.6 (1) 如果是漸張集列, 即 則收斂且(2) 如果是漸縮集列, 即 則收斂且證明 (1) 設(shè) 則對任意

2、存在使得 從而 所以 則 又因?yàn)?由此可見收斂且(2) 當(dāng)時(shí), 對于存在使得 于是對于任意的 存在使得, 從而 可見 又因?yàn)?所以可知收斂且4設(shè)是定義于集合上的實(shí)值函數(shù)，為任意實(shí)數(shù)，證明：(1) ；(2) ；(3) 若，則對任意實(shí)數(shù)有證明 (1) 對任意的 有 則存在使得成立. 即 那么 故 另一方面, 若 則存在使得 于是, 故. 則有(2) 設(shè), 則, 從而對任意的, 都有, 于是, 故有 另一方面, 設(shè), 則對于任意的, 有, 由的任意性, 可知, 即, 故.(3) 設(shè), 則. 由 可得對于任意的, 存在使得, 即, 即, 故, 所以, 故；另一方面, 設(shè), 則對任意有. 由下極限的定義

3、知：存在使得當(dāng)時(shí), 有, 即對任意有; 又由 知 即對任意的, 存在使得當(dāng)時(shí), 有. 取, 則有與同時(shí)成立, 于是有, 從而, 由的任意性知：, 即, 故有;綜上所述：5證明集列極限的下列性質(zhì)(1) ；(2) ；(3) ；(4) 證明 (1) .(2) .(3) .(4) .6如果都收斂，則都收斂且(1) ；(2) ；(3) 習(xí)題1.21建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)解 令, ,則,.定義為: 則為之間的一個(gè)一一對應(yīng).2建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)，其中解 定義: 為:可以驗(yàn)證: 為一個(gè)一一對應(yīng).3建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)，其中解 令，. 定義為: 可以驗(yàn)證: 為一個(gè)一一對應(yīng).4試問：是否存在連續(xù)函數(shù)，

4、把區(qū)間一一映射為區(qū)間?是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為?答 不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為; 因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間存在最大、最小值.也不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為; 因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在介值性定理, 而區(qū)間不能保證介值性定理永遠(yuǎn)成立.5證明：區(qū)間且證明 記,則.任取, 設(shè) 為實(shí)數(shù)正規(guī)無窮十進(jìn)小數(shù)表示, 并令, 則得到單射. 因此由定理1.2.2知.若令, 則. 從而由定理1.2.2知: .最后, 根據(jù)定理知: .對于,定義為:,則為的一個(gè)一一對應(yīng),即. 又因?yàn)? , 則由對等的傳遞性知: 且.6證明：與對等并求它們的基數(shù)證明 令, ,.則. 定義: 為:可以驗(yàn)證: 為一一對應(yīng), 即.

5、 又因?yàn)? 所以 .7證明：直線上任意兩個(gè)區(qū)間都是對等且具有基數(shù)證明 對任意的 取有限區(qū)間則, 則由定理知, 同理. 故.習(xí)題1.31證明：平面上頂點(diǎn)坐標(biāo)為有理點(diǎn)的一切三角形之集是可數(shù)集證明 因?yàn)橛欣頂?shù)集是可數(shù)集，平面上的三角形由三個(gè)頂點(diǎn)所確定，而每個(gè)頂點(diǎn)由兩個(gè)數(shù)決定，故六個(gè)數(shù)可確定一個(gè)三角形，所以中的每個(gè)元素由中的六個(gè)相互獨(dú)立的數(shù)所確定，即 所以為可數(shù)集.2證明：由平面上某些兩兩不交的閉圓盤之集最多是可數(shù)集證明 對于任意的, 使得. 因此可得：. 因?yàn)榕c不相交，所以. 故為單射，從而. 3證明：（1）任何可數(shù)集都可表示成兩個(gè)不交的可數(shù)集之并；（2）任何無限集都可表成可數(shù)個(gè)兩兩不交的無限集之并

6、證明 (2) 當(dāng)可數(shù)時(shí)，存在雙射. 因?yàn)樗?.其中：.又因?yàn)榍铱蓴?shù)，所以可表示成可數(shù)個(gè)兩兩不交的無限集之并當(dāng)不可數(shù)時(shí)，由于無限，所以存在可數(shù)集, 且不可數(shù)且無限，從而存在可數(shù)集，且無限不可數(shù). 如此下去，可得都可數(shù)且不相交，從而. 其中無限且不交.4證明：可數(shù)個(gè)不交的非空有限集之并是可數(shù)集5證明：有限或可數(shù)個(gè)互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集證明 有限個(gè)互不相交的有限集之并是有限集；而可數(shù)個(gè)互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集.6證明：單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集證明 不妨設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，則在間斷當(dāng)且僅當(dāng).于是，每個(gè)間斷點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)開區(qū)間.下面證明：若為的兩個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，則有.事實(shí)上，任取一點(diǎn)

7、，使，于是，從而對應(yīng)的開區(qū)間與對應(yīng)的開區(qū)間不相交，即不同的不連續(xù)點(diǎn)對應(yīng)的開區(qū)間互不相交，又因?yàn)橹本€上互不相交的開區(qū)間所構(gòu)成的集合至多是可數(shù)集，所以可知單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集.7證明：若存在某正數(shù)使得平面點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)之間的距離都大于，則至多是可數(shù)集證明 定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤. 顯然當(dāng)時(shí)，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.習(xí)題1.41直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答 直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是. 這是因?yàn)椋簽閱紊洌鵀闈M射，所以. 區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因?yàn)椋?2用表示上的一切連續(xù)實(shí)值函數(shù)之集，證明：

8、(1) 設(shè)，則；(2) 公式定義了單射；(3) 證明 (1) 必要性. 顯然.充分性. 假設(shè)成立. 因?yàn)?，存在有理?shù)列，使得，由，可得及.又因?yàn)闉橛欣睃c(diǎn)列，所以有，故，都有.(2) ，設(shè)，即.由(1)知：. 故為單射. (3) 由(2)知：；又由，可得. 故.3設(shè)為閉區(qū)間上的一切實(shí)值函數(shù)之集，證明：(1) 定義了一個(gè)單射；(2) ，定義了單射；(3) 的基數(shù)是證明 (1) ，設(shè)，即.從而，故為單射. (2) ，設(shè)，則，故為單射. (3) 由(1)知：；又由(2)知：，故.4證明：證明 因?yàn)?，而，故；又由定?.4.5知：.5證明：若為任一平面點(diǎn)集且至少有一內(nèi)點(diǎn)，則證明 顯然. 設(shè)，則使得，可知

9、，故.第一章總練習(xí)題 證明下列集合等式(1) ；(2) 證明 (1) 因?yàn)?,.所以.(2) 因?yàn)樗? 證明下列集合等式(1) ；(2) 證明 (1) .(2) .3證明：，其中為定義在的兩個(gè)實(shí)值函數(shù)，為任一常數(shù)證明 若, 則有且, 于是,故. 所以.4證明：中的一切有理點(diǎn)之集與全體自然數(shù)之集對等證明 因?yàn)?所以(推論1.3.1). 又因?yàn)? 所以, 故.5有理數(shù)的一切可能的序列所成之集具有什么基數(shù)？6證明：一切有理系數(shù)的多項(xiàng)式之集是可數(shù)集證明 設(shè)于是顯然 所以 因此由定理1.3.5知：7證明：一切實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式之集的基數(shù)為證明 記于是顯然 所以 因此由定理1.4.3知：8證明：全體代數(shù)數(shù)(即可作為有理系數(shù)多項(xiàng)式之根的數(shù))之集是可數(shù)集，并由此說明超越數(shù)(即不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù))存在，而且全體超越數(shù)之集的基數(shù)是證明 由于有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可數(shù)集，設(shè)其元素為 記多項(xiàng)式的全體實(shí)根之集為 由于次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集，從而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個(gè)有限集的并，故為可數(shù)集，即設(shè)超越