實(shí)變函數(shù)論文

1、題目：勒貝格積分對(duì)比黎曼積分的優(yōu)越性摘要：黎曼積分與勒貝格積分之間有許多的相同之處，而勒貝格積分比黎曼積分要優(yōu)越許多，不僅是從它們的定義上看，本文從多種角度論述了黎曼積分與勒貝格積分的不同點(diǎn)與相似點(diǎn)，舉出了很多的題目和例子，根據(jù)形象的對(duì)比得出了勒貝格積分比之黎曼積分的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：定義 聯(lián)系 區(qū)別 可積性正文：一、定義的區(qū)分：1.黎曼積分的定義：（1）區(qū)間的分割一個(gè)閉區(qū)間a,b的一個(gè)分割是指在此區(qū)間中取一個(gè)有限的點(diǎn)列a=x0<x1<x2<.<xn=b。每個(gè)閉區(qū)間xi,xi + 1叫做一個(gè)子區(qū)間。定義 為這些子區(qū)間長(zhǎng)度的最大值： = max(xi + 1 xi)，其中0

2、in-1。再定義取樣分割。一個(gè)閉區(qū)間a,b的一個(gè)取樣分割是指在進(jìn)行分割a=x0<x1<x2<.<xn=b后，于每一個(gè)子區(qū)間中xi,xi + 1取出一點(diǎn) xitixi+1。的定義同上。精細(xì)化分割：設(shè)x0,.,xn以及t0,.tn-1構(gòu)成了閉區(qū)間a,b的一個(gè)取樣分割，y0,.,ym和s0,.,sm-1是另一個(gè)分割。如果對(duì)于任意0in，都存在r(i)使得xi = yr(i)，并存在使得ti = sj，那么就把分割：y0,.,ym、s0,.,sm-1稱(chēng)作分割x0,.,xn、to,.,tn-1的一個(gè)精細(xì)化分割。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是說(shuō)后一個(gè)分割是在前一個(gè)分割的基礎(chǔ)上添加一些分點(diǎn)和標(biāo)記。于

3、是我們可以在此區(qū)間的所有取樣分割中定義一個(gè)偏序關(guān)系，稱(chēng)作“精細(xì)”。如果一個(gè)分割是另外一個(gè)分割的精細(xì)化分割，就說(shuō)前者比后者更“精細(xì)”。（2）黎曼和對(duì)一個(gè)在閉區(qū)間a,b有定義的實(shí)值函數(shù)f，f關(guān)于取樣分割x0,.,xn-1 、t0,.,tn-1的黎曼和定義為以下和式：和式中的每一項(xiàng)是子區(qū)間長(zhǎng)度xi + 1 xi與在ti處的函數(shù)值f(ti)的乘積。直觀地說(shuō)，就是以標(biāo)記點(diǎn)ti到X軸的距離為高，以分割的子區(qū)間為長(zhǎng)的矩形的面積。2.勒貝格積分的定義：設(shè)f (x) 是E L q(mE < ) 上的有界函數(shù)，則稱(chēng)f (x) L(E) ，如果 對(duì)任意 > 0，必然存在E 的分劃D，使S(D,f) -s

4、(D,f) = imEi；這里S(D,f) 及s(D,f）分別是f (x) 關(guān)于分劃D 的大和及小和，imEi是Ei上的振幅。由上述定義可以看出，勒貝格積分與黎曼積分的主要區(qū)別在于前者是對(duì)函數(shù)的函數(shù)值區(qū)域進(jìn)行劃分；后者是對(duì)函數(shù)定義域進(jìn)行劃分。對(duì)此Lebesgue自己曾經(jīng)作過(guò)一個(gè)比喻，他說(shuō)：“假如我欠人家一筆錢(qián)，要還，此時(shí)按鈔票的面值的大小分類(lèi)，然后計(jì)算每一類(lèi)的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類(lèi)，而是按從錢(qián)袋取出的先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann積分思想?！睆睦碚搶?shí)際上來(lái)說(shuō)，黎曼積分定義下的函數(shù)類(lèi)太小，而勒貝格積分就完美的解決了這一問(wèn)題。二、勒貝格積分與

5、黎曼積分的聯(lián)系： 而根據(jù)上述的定義可以看出，對(duì)于定義在某以特定區(qū)間a,b內(nèi)的函數(shù)f（x），如果它是黎曼可積的，則它必然也是勒貝格可積的，而且在這種情況下，它有相同的積分值。所以我們?cè)谄綍r(shí)的解題中，為方便起見(jiàn)，先考慮函數(shù)是否黎曼可積，因?yàn)槲覀冊(cè)跀?shù)學(xué)分析中所學(xué)的都為黎曼積分，對(duì)黎曼積分較為熟悉。如下：例1 設(shè)f(x)是區(qū)間a,b上的有界單調(diào)函數(shù)，f的不連續(xù)點(diǎn)至多是可列集，因此f在a,b上幾乎為處處連續(xù)的，又因?yàn)閒在a,b上是有界的，故f在a,b上是黎曼可積的，所以也是勒貝格可積的。但是必須指出，具有廣義黎曼積分的函數(shù)并不一定勒貝格可積。如下：例2 設(shè)f(x)=sinxx，在數(shù)學(xué)分析中，f在0,上的

6、廣義黎曼積分是收斂的，但不是絕對(duì)收斂的；而f在0,上不是勒貝格可積的。 還有一些函數(shù)雖然黎曼不可積，但勒貝格可積。如下：例3 簡(jiǎn)單函數(shù)，如下：狄利克雷函數(shù)： 但是我們平時(shí)在求解勒貝格積分的過(guò)程中還是有很多可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分的。如下：例4 計(jì)算fx=13x-1在1,2上的積分 解：用分段函數(shù)求解，f(x)是1,2上的非負(fù)函數(shù)，則有下: fxnn, &1x<13x-113x-1, &13x-1x<2， 顯然，對(duì)每個(gè)fxn均黎曼可積，故也勒貝格可積 1,2fxndx=R11+1n3ndx+(R)1+1n32dx3x-1 =n1+1n3-n+(32-32n2) =32-12

7、n2 于是1,2fxdx=limnfxndx =limn(32-32n2) =32例5 設(shè)E=0,E上函數(shù) fx=x12, &x(0,1x-2, &x(1,) 求Ef(x)dx. 解：同上題理，作分段函數(shù)， fxn=n 0<x1n2 x12 1n2<x1 x-2 1<x<取En=1n2,n,n=1,2,3,由于fxn在En上黎曼可積，故Enfxndx=(R)1n21x12dx+1nx-2 dx =2x1211n2-1xn1 =3-3n (L)Efxdx=limnfxndx =limn3-3n=3而還有一些勒貝格可積的函數(shù)，可利用勒貝格控制收斂定理求解。如

8、下：、例6 證明：limn(0,)dt(1+tn)nt1n=1. 證明 當(dāng)t0,1時(shí)， 1(1+tn)nt1n1t1n1tn>2； 當(dāng) tt,及n>2時(shí)， 1(1+tn)nt1n=1(1+t+n-12nt2+)t1n<2nt2(n-1)<4t2. 令 Ft=1t, &t0,1,4t2, &t1,則 (0,)Fxdx=01dtt+14dtt2=6，因此F(x)在(0,)上可積，于是勒貝格控制收斂定理， limn(0,)dt(1+tn)nt1n=(0,)limndt(1+tn)nt1n=(0,)dtet=1.證畢。三、勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別：眾所周知，黎

9、曼積分比之勒貝格積分有著明顯的局限性。如上部分中例3所舉的狄利克雷函數(shù)，它雖然黎曼不可積，但勒貝格可積。故可知勒貝格可積范圍比黎曼積分廣泛，它將可積函數(shù)類(lèi)拓廣為有界可測(cè)函數(shù)。在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題也在勒貝格積分中得到了較好的解決。這個(gè)問(wèn)題就是兩種極限過(guò)程的交換次序問(wèn)題，尤其是積分與函數(shù)列的極限的交換問(wèn)題。根據(jù)我們之前在數(shù)學(xué)分析中所學(xué)的知識(shí)，一般都是用函數(shù)列一致收斂的條件來(lái)保證極限運(yùn)算和積分運(yùn)算的次序是可以交換的，但是“一致收斂”這個(gè)條件過(guò)于嚴(yán)苛，暴露出了黎曼積分定義的缺陷。而勒貝格積分中不必再使用復(fù)雜的“一致收斂”，轉(zhuǎn)而引進(jìn)新的概念“幾乎處處收斂”，利用測(cè)度的概念，重新定義了交換積分與

10、極限次序的條件，從而使一些黎曼積分無(wú)法或難以解決的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。所以我們經(jīng)常利用勒貝格積分解決黎曼積分中較為復(fù)雜的問(wèn)題。如下：例7 已知 f(x)x2 x0,1大于13無(wú)理點(diǎn)x3 x0,1小于13無(wú)理點(diǎn)0 x0,1有理點(diǎn) 求0,1f(x)dx解：令 g(x)x2 x13,1x3 x0,13 f(x)=g(x)a.e.于0,1,則有下： 0,1f(x)dx=0,1gxdx=01g(x)dx =013x3dx+131x2dx =x44130+x33113=103324綜上所述，勒貝格積分比之黎曼積分的優(yōu)越性清晰可見(jiàn)。首先，勒貝格積分與黎曼積分相互依存，相互補(bǔ)充；第二，勒貝格積分拓展了黎曼積分的定義，將可積的范圍大大擴(kuò)大，降低了可積性條件的要求，放松了黎曼積分的條件；第三，勒貝格積分并沒(méi)有完全地取代黎曼積分，而是在黎曼積分的基礎(chǔ)上的發(fā)展。勒貝格積分不僅是積分發(fā)展史上的一次革命，還滲透進(jìn)了其他學(xué)科，如概率論，泛函分析等，也受到