立體幾何—建系難

1、立體幾何（向量法）一建系難例1 （ 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）如圖，四棱錐P ABCD 中,PA 底面 ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD ,F 為3PC的中點(diǎn)，AF PB.（1）求PA的長(zhǎng)；求二面角B AF D的正弦值B題（19圈【答案】解：如圖，聯(lián)結(jié)BD交AC于0,因?yàn)锽C= CD，即 BCD為等腰三角形，又 AC平分/BCD，故AC丄BD.以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB , 0C, AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方 n向，建立空間直角坐標(biāo)系 0 xyz，貝y 0C= CDcos = 1，而AC = 4，得AO = AC OC =3n

2、3.又 OD = CDsin3=“ 3，故 A(0 ,0), B( 3, 0 ,0), C(0,0) 因PA丄底面ABCD，可設(shè)P(0，- 3 , z)，由F為PC邊中點(diǎn)，得F 0，- 1 ,：，又AF舍2 , PB= ( 3 , 3 , z)，因 AF丄 PB,故AF PB= 0 ,即卩 6 扌=0, z= 2去 23)，所以 |PA| = 23.由(1)知 AD = (3 , 3 , 0) , AB = C 3 , 3 , 0), AF= (0, 2 ,.設(shè)平面FAD的法向量為i = (xi, yi, zi)，平面FAB 的法向量為 2 = (x2, y2, z2).由 i Ad = 0,

3、 i f = 0,得3xi + 3yi = 0 ,因此可取=0 ,2yi +i= (3 ,.3 , 2).由 2 AB= 0, 2 AF= 0,得'3x2+ 3y2= 0,廠 故可取2= (3，寸3, 2).2y2+3z2 = 0 ,從而向量1 , 2的夾角的余弦值為cos 1 ,ni n212= =|n i| |n2|8故二面角B AF D的正弦值為J8例2 ( 2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)(理)WORD版含答案(已校對(duì))如圖,四棱錐 P ABCD 中，ABC BAD 90°, BC 2AD, PAB 與 PAD 都是等邊 三角形【答案】 解： 取BC的中點(diǎn)

4、E,聯(lián)結(jié)DE,則四邊形 ABED為正方形.過(guò)P作PO丄平面 ABCD，垂足為 0.聯(lián)結(jié) 0A，OB，0D，0E.由APAB和APAD都是等邊三角形知 PA= PB = PD,所以0A = OB = 0D，即點(diǎn)0為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)，故0E丄BD，從而PB丄0E.因?yàn)?是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以 OE/CD因此PB丄CD.(2)解法一：由(1)知 CD丄 PB, CD 丄 PO, PBnPO= P, 故CD丄平面PBD.又PD?平面PBD，所以CD丄PD.取PD的中點(diǎn)F, PC的中點(diǎn)G,連FG.則 FG/CD , FG丄 PD.聯(lián)結(jié)AF，由AAPD為等邊三角形可得 AF丄PD.所

5、以/ AFG為二面角A PD C的平面角.聯(lián)結(jié) AG , EG,貝U EG/PB.又PB丄AE,所以EG丄AE.設(shè) AB = 2，貝U AE= 2 - 2 ,1EG=尹B = 1，故 AG = AE FGAF + EG2 = 3 ,在AAFG中,所以 cos ZAFG =FG2 + AF2 AG2因此二面角A PD C 的大小為 n arccos,6解法二：由 知，OE, OB, OP兩兩垂直.O xy z.以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè) |AB|= 2，則A( '. 2 , 0 , 0) , D(0，2 , 0),C(2,2， 一. 2 , 0

6、) , P(0 , 02),PC= (2 “ 2，一 2，2), PD = (0,2，2),AP= (-.2, 0, - 2), AD = (2，- 2 , 0).設(shè)平面PCD的法向量為1= (x, y, z),貝U可得 2x y z= 0 , y+ z= 0.取 y = 1，得 x = 0 , z= 1，故 i = (0， 1, 1).設(shè)平面PAD的法向量為2= (m , p , q),則2 AP = (m , p, q) 2 , 0，- 2) = 0 ,2 AD = (m , p , q) (“ 2，' 2, 0) = 0, 可得 m + q = 0, m p = 0.取 m =

7、1，得 p = 1 , q = 1，故 2 = (1 , 1 , 1).n n2于是 COS ，2 > =A PD C的大小為n 在直二棱柱 ABC AB1G|n 1| n2|由于，2等于二面角 A PD C的平面角，所以二面角arccos .3例3（2012高考真題重慶理19 ）（本小題滿分12分 如圖, 中，AB=4 , AC=BC=3 , D 為 AB 的中點(diǎn)DB題(19) S(I)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；(n)若AB1 AC求二面角 的平面角的余弦值.【答案】 解： 由AC = BC, D為AB的中點(diǎn)，得CD丄AB.又CD丄AAi,故CD丄面AiABBi，所以點(diǎn)C到平面A

8、iABBi的距離為CD = :'BC2 BD2 '5.(2)解法一：如圖，取 Di為AiBi的中點(diǎn)，連結(jié) DDi，貝U DDi /AA1/CC1. 又由知CD丄面AiABBi，故CD丄AiD，CD丄DDi,所以ZAiDDi為所求的 二面角Ai CD Ci的平面角.因AiD為AiC在面AiABBi上的射影，又已知 ABi丄AiC，由三垂線定理的逆定理得 ABi丄AiD，從而/AiABi、/AiDA都與ZBiAB互余，因此/AiABiAA i Ai B i= ZAiDA ,所以 RtKiAD "Rt伯1A1A.因此=,即 AA1 = AD A1B1 = 8 ,AD AAi

9、得 AAi = 2 '2.從而 AiD = 'AAi+ AD2 = 2 3cos ZAiDD iAiD AiD 3所以，在RtAiDDi中,DD i AAi解法二：如圖，過(guò) D作DDi /AAi交AiBi于點(diǎn)Di，在直三棱柱中，易知DB，DC，DDi兩兩垂直以 D為原點(diǎn)，射線 DB，DC，DDi分別為x軸、y 軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz.設(shè)直三棱柱的高為 h，則 A（ 2,0,0），Ai （ 2,0，h），Bi（2,0，h），C（0，- ：5，0），Ci（0 ,'5，h），從而 Ai = （4,0，h），A?C= （2，；5,- h）.由Ai 丄 A

10、TC,有 8 h2= 0 , h = 2 '2.故DXi = （ 2,0,2#2）, CCi = （0,0,2寸2）, DC =(0 ,：5 , 0) 設(shè)平面AiCD的法向量為 m = (xi, yi, zi)，貝U m丄DC , m丄DXi,即取 zi = 1，得 m = (-;2 , 0,1),設(shè)平面CiCD的法向量為n = (x2, y2, Z2)，貝U n丄DC , n丄CCi，即 ,，5y2 = 0,2 ；2z2=0,取 X2 = 1，得 n = (1,0,0)，所以cos m , n“ 633所以二面角A1 - CD C1的平面角的余弦值為例4 ( 2012高考真題江西理2

11、0)(本題滿分12分)如圖 1 5，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB = AC= AA1 =' '' 5, BC= 4，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.(1) 證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E,使得OE丄平面BB1C1C,并求出AE的 長(zhǎng)；(2) 求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.【答案】解：證明：連接A0,在AOAi中，作0E丄AAi于點(diǎn)E,因?yàn)锳Ai /BBi，所以 0E丄 BBi.因?yàn)锳iO丄平面ABC，所以AiO丄BC.因?yàn)?AB = AC, OB = OC,所以 AO 丄 BC,所以BC丄平面AAiO.所以BC丄OE,所以

12、OE丄平面 BBiCiC，又 AO = TAB2 BO2 = i , AAi = ；5 ,AO2 得AE=忑i5如圖，分別以O(shè)A , OB , OAi所在直線為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，貝U A(i,0,0), B(0,2,0) , C(0 , 2,0), Ai(0,0,2),142由AE = 5AA1得點(diǎn)E的坐標(biāo)是5, 0，5，4 2由得平面BBiCiC的法向量是OE=匚，0，匚，設(shè)平面AiBiC的法向量5 5（X, y , Z）,AB = 0，由n AiC = 0x+ 2y = 0， 得y+z= 0，令 y= i，得 x = 2，z二一i，即二（2,i， i），所以cos OE

13、，OE n - 30 |OE| n|10即平面BBiCiC與平面AiBiC的夾角的余弦值是3010例5（ 20i2高考真題安徽理i8）（本小題滿分i2分）平面圖形ABBiAiCiC如圖i 4（i）所示，其中BBiCiC 是矩形，BC= 2，BBi =4， AB = AC =2，Ai Bi= AiCi=圖1 4現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和BiCi折疊，使ABC與AAiBiCi所在平面都與 平面BBiCiC垂直，再分別連接AiA，AiB，AiC，得到如圖i 4(2)所示的空間 圖形.對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題.(1) 證明：AAi 丄BC;(2) 求AAi的長(zhǎng)；(3) 求二面角A BC Ai的余弦值.

14、【答案】解：(向量法)：(i)證明：取BC，BiCi的中點(diǎn)分別為D和Di，連接A1D1, DDi , AD.由BBiCiC為矩形知，DD i 丄 BiCi,因?yàn)槠矫鍮BiCiC!平面AiBiCi,所以DDi丄平面AiBiCi,又由 AiBi = AiCi 知，AiDi 丄BiCi.故以Di為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Di -xyz.由題設(shè)，可得AiDi = 2， AD = i.由以上可知 AD丄平面BBiCiC，AiDi丄平面BBiCiC，于是AD /AiDi.所以 A(0，- i,4)，B(i,0,4)，Ai(0,2,0)，C(-i,0,4)，D(0,0,4).故AXi = (

15、0,3，- 4)，BC= ( 2,0,0)，AXi BC = 0，因此aXi丄BC，即卩AAi丄BC.(2) 因?yàn)?AXi = (0,3，- 4)，所以 aXi = 5,即 AAi = 5.(3) 連接AiD，由BC丄AD，BC丄AAi,可知BC丄平面AiAD，BC丄AiD， 所以ZADAi為二面角A BC-Ai的平面角.因?yàn)?DA = (0 , - i,0) , dXi = (0,2 , - 4)，所以cos DA , DAi=即二面角A- BC-Ai的余弦值為-55(綜合法)(1)證明：取BC, BiCi的中點(diǎn)分別為D和Di，連接A1D1, DDi , AD ， A1D.由條件可知，BC丄AD , BiCi丄AiDi,由上可得 AD丄面BBiCiC, AiDi丄面BBiCiC.因此 AD /AiDi，即 AD , AiDi 確定平面 ADiAiD.又因?yàn)镈Di /BBi , BBi丄BC,所以DDi丄BC.又考慮到AD丄BC,所以BC丄平面ADiAiD ,故BC丄AAi