橢圓知識點(diǎn)總結(jié)附例題

1、圓錐曲線與方程橢 圓知識點(diǎn)- 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1 橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi, F2距離的和等于常數(shù)2a F1F2的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集 M=P| |PFi|+|PF2|=2a，2a> |FiF2|=2c;這里兩個定點(diǎn)Fi, F2叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。(2a TF1F2時為線段F1F2, 2a c F1F2無軌跡)2.標(biāo)準(zhǔn)方程： c = a - b 焦點(diǎn)在x軸上: 焦點(diǎn)在y軸上:22x_ y_ 二b2(a> b > 0)b2(a> b > 0)焦點(diǎn) F (土c, 0)焦點(diǎn) F (0,±c)注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a&g

2、t;b >0,并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上2 2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：=1或者mx 2(2) 橢圓篤冷=1 (a>b >0)a b+ny2=1m n橢圓的簡單幾何性質(zhì)：1范圍(1)2 2橢圓廿右=1 (a> b > 0)橫坐標(biāo)-a mwa ,縱坐標(biāo)-b <x<b橫坐標(biāo)-b <xWb,縱坐標(biāo)-a <x<a2. 對稱性橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心3. 頂點(diǎn)(1) 橢圓的頂點(diǎn)：Ai (-a , 0), A2 (a, 0), Bi (0, -b ), B2 (0

3、, b)(2) 線段A1A2, B1B2分別叫做橢圓的長軸長等于2a,短軸長等于2b, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4. 離心率(1)我們把橢圓的焦距與長軸長的比 2c ,即-稱為橢圓的離心率，2a a2 cb 2記作 e ( 0 ：e ： 1) , e 2 = 1 一 () aae = 0是圓;e越接近于0(e越小)，橢圓就越接近于圓；e越接近于1(e越大)，橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。(2)橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)(焦點(diǎn))和一定直線(準(zhǔn)線)的距離的比為常 數(shù)e,(Ov ev 1)的點(diǎn)的軌跡為橢圓。(J-PF-e)d(3) 基本

4、線：對稱軸(共兩條線)2 22. 2ab5 橢圓的的內(nèi)外部2 2(1 )點(diǎn) P(xo, yo)在橢圓 2 =ka b 0)的內(nèi)部a b2 2(2)點(diǎn)P(xo, yo)在橢圓篤每=1(a b 0)的外部=a b6幾何性質(zhì)(1) 最大角 CPF? max - *2尸2,(2) 最大距離，最小距離例題講解：一橢圓定義：1. 方程(x - 2 f十y2 + «(x +2 f + y2 =10化簡的結(jié)果是2. 若ABC的兩個頂點(diǎn)A -4,0 ,B 4,0 , ABC的周長為18 ,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是2 23已知橢圓+ »=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為1

5、69二.利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)2 21若方程 厶 + 丄=1 (1)表示圓，貝U實(shí)數(shù)k的取值是5 _k k _3(2) 表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.(3) 表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，貝U實(shí)數(shù)k的取值范圍是.(4) 表示橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2. 橢圓4x2 25y2 =100的長軸長等于,短軸長等于,頂點(diǎn)坐標(biāo)是，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，焦距是, 離心率等于3.2 2橢圓才m“的焦距為2，則m=4 .橢圓5x2 - ky2 =5的一個焦點(diǎn)是(0,2),那么k二.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1. 若橢圓經(jīng)過點(diǎn)(-4,0) , (0, -3),則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 o2. 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且a

6、2 =13 , c2 =12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3. 焦點(diǎn)在x軸上，a:b=2:1, c 6橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4. 已知三點(diǎn)P (5, 2)、F1(-6, 0)、F2(6,0),求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；變式：求與橢圓4x2 9y2 =36共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3, -2)的橢圓方程四.焦點(diǎn)三角形2 2橢圓-r925=1的焦點(diǎn)為F1、F2 , AB是橢圓過焦點(diǎn)F1的弦，則ABF2的周長是2 .設(shè)F1 ,F2為橢圓16x225y2=400的焦點(diǎn)，P為橢圓上的任一點(diǎn),則PF1F2的周長是多少？ UPF1F2的面積的最大值是多少？2 23. 設(shè)點(diǎn)P是橢圓 11上的一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn)

7、,若F1PF2是直角,則T1PF2的面積2516變式：已知橢圓9x2 16y2 =144 ,焦點(diǎn)為F1、F? , P是橢圓上一點(diǎn). 若.F1PF2=60 ,求：PFiF2的面積.五.離心率的有關(guān)冋題22.1. 橢圓=1的離心率為，則m =4m22從橢圓短軸的一個端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為1200，貝吐匕橢圓的離心率e為3. 橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個等邊三角形,則橢圓的離心率為 4設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P,若厶FPF2為等 腰直角三角形，求橢圓的離心率。5在 ABC中，.A=30° ,| AB|=2,Sabc -.3 .若以A, B為焦

8、點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ,則該 橢圓的離心率e二.最值問題：21橢圓丄十y2=1兩焦點(diǎn)為F、F2,點(diǎn)P在橢圓上，則尸冋尸呵的最大值為 最小值為42 22、橢圓 話+話"兩焦點(diǎn)為Fi、F2, A(3, 1)點(diǎn)P在橢圓上，則|PF|+|PA|的最大值為,最小值為23、已知橢圓y 1 , A(1 , 0), P為橢圓上任意一點(diǎn),求|PA|的最大值最小4值。224設(shè)F是橢圓+(=1的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,3)在橢圓內(nèi)，在橢圓上求一點(diǎn)P使|PA|+2|PF|最小, 3224求p點(diǎn)坐標(biāo) _最小值.同步測試1 已知 Fi(-8 , 0), F2(8, 0),動點(diǎn) P滿足 |PFi|+|PF2|=16 ,

9、則點(diǎn) P 的軌跡為()A圓B橢圓C線段D直線橢圓2 216 一 9=1左右焦點(diǎn)為Fi、F2，CD為過Fi的弦，則也CDFi的周長為 2 23已知方程 y 1表示橢圓，則k的取值范圍是()1 +k 1 kA -1<k<1B k>0C k X)D k>1 或 k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 長軸長為10 ,短軸長為6(2) 長軸是短軸的 2倍，且過點(diǎn)(2 , 1)(3) 經(jīng)過點(diǎn)(5 , 1), (3, 2)5、若"ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4 , 0), (4 , 0) , AC、AB邊上的中線長之和為 30 ,則"ABC的重

10、心G的軌跡方程為2 2xy6. 橢圓二 2=1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2 ,過點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于 P點(diǎn)。ab若/RPF2=60 ° ,則橢圓的離心率為 7、已知正方形 ABCD,則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為 橢圓方程為2 28已知橢圓的方程為:匸J p點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且0"6。，求PF1F2的面積9若橢圓的短軸為 AB,它的一個焦點(diǎn)為Fi ,則滿足 ABFi為等邊三角形的橢圓的離心率為 2 210.橢圓y 1上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是100362 2x V11 .已知橢圓 p+J=1(an5)的兩

11、個焦點(diǎn)為F1、F2 ,且F1F2 =8 ,弦AB過點(diǎn)F1,則厶ABF2的周12.在橢圓a 252 218、橢圓+(=1322 2與橢圓會+專=(.°)有(A)相等的焦距(B)相同的離心率(C)相同的準(zhǔn)線2 2 2 219、橢圓 -1與 =1 ( 0<k<9 )的關(guān)系為2599一人 25-?.(D)以上都不對(D)有相等的長軸、短軸(A)相等的焦距(B)相同的的焦點(diǎn) (C)相同的準(zhǔn)線2 220、橢圓 L1上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為 2 ,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為6 221.點(diǎn)P為橢圓X225216=1上的動點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，則pf1 pf2的最小值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為22. a2 焦點(diǎn)在x軸上：=1 (a>b >0)準(zhǔn)線方程：x =-a bc222 焦點(diǎn)在y軸上：占，務(wù)=1 (a> b > 0)準(zhǔn)線方程：y=a bc小結(jié)一：基本元素(1) 基本量：a、b、c、e、(共四個量)， 特征三角形(2) 基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心(共七個點(diǎn))2 2+ =1上求一點(diǎn)P使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍25913、 中心在原點(diǎn)、長軸是短軸的兩倍，一條準(zhǔn)線方程為x=4,那么這個橢圓的方程為 _。14、 橢圓的兩個焦點(diǎn)三等分它的兩準(zhǔn)線間