橢圓定點定值專題

1、圓錐曲線選講1已知橢圓C的中心在原點，焦點在 x軸上，離心率為2,短軸長為血2(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n ) P (2, n), Q ( 2,- n)是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點. 若直線AB的斜率為丄，求四邊形APBQ面積的最大值； 當(dāng)A、B兩點在橢圓上運動，且滿足 / APQ= / BPQ時，直線AB的斜率是否為定值，說明理由.2 2解: (i)設(shè) c 方程為二丨-:a聯(lián)立解得(3+4k2) x2+8 (3 - 2k) kx+4由已知b=2逅，離心率 *4, /二護+F - (3 分)a 22 2a=4,所以，橢圓C的方程為二(4分)2 216412=1

2、n )由(I )可求得點P、Q的坐標(biāo)為P (2, 3). Q (2,- 3),則|PQ|=6,A (xi, yi) , B (X2, y2),直線AB的方程為尸舟對t,代入 x2+tx+t2- 12=0由厶 0，解得-4 V t V 4,由根與系數(shù)的關(guān)系得四邊形APBQ的面積 故，當(dāng)t=0時，；(7分) / APQ= / BPQ時，PA、PB的斜率之和為 0，設(shè)直線PA的斜率為k,2 2則PB的斜率為-k, PA的直線方程為y- 3=k (x - 2)與丄.(9分)2S (2k- 3； k(3 - 2k)- 48=0,心 + 丈尸3+4 kz同理PB的直線方程y-3= - k ( x-2)，可

3、得.''1 上 3+4y! - y2 k ( x - - 2) +3+k (- 2) - 3k ( k i + m J 一 4k_-24k 1K 陽一_ _*2X X2勺_ X2卜 48k _ 2所以所以直線AB的斜率為定計13分）16k2 -12- 48k |X 1 "1* X nq?1 疋 3+4k2勺k廠幷業(yè)？（11分）2已知橢圓石 今(a>b>OD a2 b2的離心率為丄，且經(jīng)過點 （）-2 2（1）求橢圓C的方程；（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線I過右焦點F與橢圓C交于M ,N兩點，若AM、AN的斜率k1, k2滿足k1+k2=m （定值m老）

4、,求直線I的斜率.解：（1） ：橢圓離心率為-,4c2 3cz解得 c=1 , "二厶 b=V3 ( 3 分).橢圓C的方程是(2)若直線I斜率不存在，顯然 k1+k2=0不合題意- (5分)設(shè)直線方程為 I: y=k (X - 1) , M (X1, y1) , N (x2, y2)r 22聯(lián)立方程組 * 43得(3+4k2) x2 - 8k2x+4k2- 12=0 - (7 分)尸k ( k - 1 ?(8 分)2k 24k2 - 12、+ X 二口， X * K A y£ 3+41 芒 3+4 k22 + 2Vi k1+k2=，-r=:-Xj+22-1:2+2=：:-

5、/+.'_3 (巧+心網(wǎng))= =k(2-3* k1+k2=m, 1=mk m，3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓 氐七+勺1 （a>b>0）的焦距為2，且過點（1）求橢圓E的方程；（2） 若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線I經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于 A，B的任意 點，直線AP交I于點M .（i ）設(shè)直線OM的斜率為ki,直線BP的斜率為k2,求證：kik2為定值；（ii ）設(shè)過點M垂直于PB的直線為m.求證：直線 m過定點，并求出定點的坐標(biāo).y/令12X1解：（1）由題意得2c=2，二c=1,又 J , a2=b2+1 . 消去a可得，2b4- 5

6、b2-3=0,解得b2=3或二一+ （舍去），貝U a2=4,橢圓E的方程為(2) ( i )設(shè) P (X1, y1) ( y1 和), A, P, M三點共線,M P (x1, y1)在橢圓上,（ii ）直線BP的斜率為k則直線m的方程為2心廠 yn=° 一：為定值二上.2- xj2- x i 2(2-巧)4”y=2) +y 二+-打c 4片口十,2-引 2 (xj-4)+12-3 訐 刃十(耳1+2)2-!2 -昉十瑚所以直線m過定點(-1, 0).2_ a與c-C,直線x=x軸的交點為N,滿2 24. 已知F1 , F2分別是橢圓(a> b> 0)的左、右焦點，半焦

7、距為證日，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足 心虹的兩點，其中入a2 b2足(1) 求橢圓的方程及直線 AB的斜率k的取值范圍；(2) 過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P,試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理由.解：(1)由于卩F；二2函,1卩疋；|二2,解得a2=2, b2=1，從而所求橢圓的方程為E, N三點共線，而點 N的坐標(biāo)為(-2, 0).設(shè)直線AB的方程為嚴(yán)(豐J+y2=消去X得輕廠2) 2+蓉2=2，即里字護一非店Qk2ky=k (x+2),其中k為直線AB的斜率，依條件知 k旳.由7根據(jù)條件可知解得0<|k|<，依題意取業(yè)2k2，yiV22k2+l從而(1

8、+k) y2=_y- 己 2k2+l5二一-'2kzfl消去y2得設(shè)A (X1, yl) , B ( x2, y2),則根據(jù)韋達定理，得又由 V-',得(X1+2, yl)=入(x2+2, y2)從而(HX) 20 （入）是區(qū)間2,丄上的減函數(shù)，從而（2）< e（X)<e Q)LS 3j35亠，故直線AB的斜率的取值范圍是| f.X（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（xo, yo）,則可得切線PA的方程是y - y二-LX -丈仃）, u27j口.,A 1而點 A （ xi， yi）在此切線上，有- Vq-_ （工一垃 q）即 xoxi+2yoyi=xi +2y 1 ,2zl又T

9、 A在橢圓上，有xoxi+2yoy=2 , 同理可得x0x2+2y0y2=2.根據(jù)和 可知直線AB的方程為，xox+2yoy=2，而直線AB過定點N （- 2, 0）, - 2x0=2? xo= - 1, 因此，點P恒在直線x= - 1上運動.（a>b> 0）的離心率為工，其焦點在圓x2+y2=1 上.22 25. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓| 尹bycos6 + y)2=12 2整理得（-十時）8宮'°+ （寸十si口+2 （ 十珥叫）gos ® sin® -1將 代入上式，并注意 cos 9sin 0匪得一 ；y iZo i所以,

10、k仙比薩疋升二-刁為疋值.（10分）（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)A , B, M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角 0,使0M=cos e 0A+求證：直線 OA與OB的斜率之積為定值;（ii ）求 OA2+OB2.解：（1）依題意，得(i)c=1 .于是,a=7 ；, b=1 .（2分）2所以所求橢圓的方程為(2) (i)設(shè) A (X1, y1), B (x2, y2),又設(shè) M (x, y)，因 Y |I ' i i ,y 2sin（7分）22-y+?l=l,2 +咒-1則因M在橢圓上，故2 2，故*尋(r? Ci-yp 二1- (y冷:yy12+y22=1 .2 2 又

11、(才巾+ (訓(xùn) 所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3.)二2,故2 2X1 +X2 =2 .6.已知橢圓(a>b>c)的左焦點為F (-血,0),離心率= " , M、N是橢圓上的動點.2(I )求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(n )設(shè)動點P滿足：I 門I 111 ,直線OM與ON的斜率之積為-丄，問：是否存在定點F1 , F2 ,使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出 F1 , F2的坐標(biāo)，若不存在，說明理由. (川)若M在第一象限，且點證明：MN丄MB .M , N關(guān)于原點對稱，點 M在x軸上的射影為 A ,連接NA并延長交橢圓于點 B ,(I)解：由

12、題設(shè)可知:, a=2 , c '-2 分2 2 2 b =a c =2-3 分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 2二-4 分(n)解：設(shè) p (xp ,yP), M (Xi, yl), N (x2, y2),由 0P = 0H + 20M 可得：5分-可得：IX-12小2由直線OM與ON的斜率之積為,即 X1x2+2y1y2=06 分/2c2、(X2 +2y2 )2 2 x2 +2y2 =4 xp2+2yp2=8 ,即I分由 可得：XP2+2yP2= (x12+2y12) +2 2/ M、N是橢圓上的點， x12+2y12=4 ,0) , F2 (2 , 0),使得動點P到兩定點距離和為定值 砸;.9 分;由橢圓定義可知存在兩個定點F1 (- 2 ,(川)證明：設(shè) M (X1 , y1),