梯形典型例題

1、典型例題例1:已知梯形ABCD勺面積是32,兩底與高的和為16,如果其中一條對(duì)角線與兩底垂 直，則另一條對(duì)角線長(zhǎng)為:思路分析此題是幾何中的計(jì)算問(wèn)題：通過(guò)作對(duì)角線的平行線，可以將對(duì)角線與高，上底與下底和 集中到同一個(gè)直角三角形中，這樣就可以利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)：解：如圖 4-50，梯形 ABCD中, AD/ BC BDL BC 設(shè) AD=x BC=y DB=z 由題得：x+y+z=16.兀BCD熟記梯形面積公式解得 x+y=8，z=8,過(guò)D作DE/ AC交BC的延長(zhǎng)線于E：四邊形ADE（是平行四邊形，注意這種輔助線的作法很常用 DE=AC AD=CE將“上底+下底”轉(zhuǎn)化到一條線段上在 Rt

2、 DBE中, Z DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8BD=8根據(jù)勾股定理得 一小十 _',vAC=DE二陋=2忑:點(diǎn)評(píng)：此題主要考查用“方程思想”解決幾何中的計(jì)算問(wèn)題：解題過(guò)程中作“對(duì)角線的 平行線”，將對(duì)角線與高，上底與下底和集中到同一個(gè)直角三角形中，這樣就可以通過(guò)解直 角三角形計(jì)算出對(duì)角線長(zhǎng)，表達(dá)了添加輔助線的目的是把“分散的條件得以集中，隱含條件 加以顯現(xiàn)”的作用：解梯形有關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們也常通過(guò)“作平行線將之轉(zhuǎn)化為平行四邊形的 問(wèn)題來(lái)解決”：例 2:女口圖 4-51，已知 AB=BC AB/ CD / D=90 , ALL BC 求證：CD=CE在厶 CFBP AEB

3、中,這是直角梯形中常見(jiàn)的輔助線思路分析這是一個(gè)直角梯形，通過(guò)作 CFLAB可以將梯形分成矩形和三角形，結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩次全等，到達(dá)證明CD=CE勺目的.證明：如圖4-52，連結(jié)AC，過(guò)C作CFL AB于F.AB 二 BC構(gòu)造三角形證明三角形全等 CFBA AEB AAS CF=AEvZ D=90，CFL AB且 AB/ CD AD=CF AD=AE在 Rt ADC和 Rt AEC中,AD AEAC = AC Rt AD3 Rt AEC HL CD=CE點(diǎn)評(píng)：此題主要考查直角梯形、三角形全等的綜合運(yùn)用在直角梯形中，通過(guò)作梯形一 底的垂線，將梯形分成特殊的四邊形矩形和三角形將題中已知條件

4、AB=BC中的兩條線段AB和BC分別放到兩個(gè)三角形中，結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，禾I用兩次全等，至U達(dá)證明CD=CE的目的解決梯形問(wèn)題時(shí)，除可作以上輔助線外，作一腰的平行線、連對(duì)角線、作對(duì)角線的 平行線也是經(jīng)常用到的.圖 4-53例 3:女口圖 4-53，梯形 ABCD中, AB/ DC，AD=BC 延長(zhǎng) AB至 E,使 BE=DC 求證：AC=CE思路分析此題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及證明兩條線段相等的基本方法.證法一：四邊形ABCD是等腰梯形，/ ADCh BCD等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等又 AB/ DC，/ BCDM CBE 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 / ADCh CBE在厶 ADCfy CBE

5、中,血二EC ADC=ZCBEDC 二 BE ADCACBESAS AC=CE證法二：如圖4-54，連結(jié)BD,DC/ BE DC=BE四邊形DCEB是平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 DB=CE又四邊形ABCD1等腰梯形， AC=BD等腰梯形對(duì)角線相等 AC=CE證法三：如圖4-55，作CF丄AE于F, DML AE于M在厶 AMDF3 BFC中,ZDAM 二上CEFAI> = BC AMD BFC AAS AM=BF又 AB/ DC，MD/ FC, DC=MF又 DC=BE AM+MF=BF+BE F為AE的中點(diǎn), CF是AE的垂直平分線， AC=CE證法四：如圖4-

6、54，連結(jié)BD.DC/ BE, DC=BE四邊形DCEB是平行四邊形，/ DBA" E,兩直線平行，同位角相等又四邊形ABCD1等腰梯形， AC=BD在厶 ABCm BAD中,AC = BD* AD =BCAB = 7VB ABCA BADSSS/ CAB" DBA/ CAB" E, AC=CE等角對(duì)等邊此種方法雖然較繁，但其思路很有價(jià)值，即通過(guò)證明“三線 合一”說(shuō)明是等腰三角形點(diǎn)評(píng)：證法一證兩三角形全等得兩線段相等；證法二、四利用角相等證線段相等；證法 三中通過(guò)梯形常加的輔助線，作梯形底邊上的高，連結(jié)梯形的對(duì)角線，將梯形分割成兩個(gè)直 角三角形與一個(gè)矩形，連結(jié)對(duì)角

7、線再作對(duì)角線的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和一 個(gè)三角形.例4:要剪切如圖4-56尺寸單位：mrti所示的甲、乙兩種直角梯形零件，且使兩種零 件的數(shù)量相等.有兩種面積相等的鋁板，第一塊長(zhǎng) 500mm寬300mm如圖4-57 1，第 二塊長(zhǎng)600mm寬250mm如圖4-572，可供選用.IM1為了充分利用材料，應(yīng)選用第 中鋁板，這時(shí)一塊鋁板最多能剪甲、乙兩種零件共 ，剪完這些零件后，剩余的邊角料面積是 2從圖4-57 1、4-572中選出你要的鋁板示意圖，在上面畫(huà)出剪切線；并把 邊角余料用陰影表示出來(lái).思路分析通過(guò)計(jì)算，兩直角梯形零件面積分別為I 1 - -' - "，而

8、鋁板的面積均為，最多能剪出兩個(gè)甲、兩個(gè)乙零件，即在兩鋁板中設(shè)計(jì)打樣設(shè)計(jì)時(shí)，為了充分 利用材料，考慮到1中寬為300mm則一種方案作兩個(gè)乙高，另一種方案為一個(gè)甲的下底, 思路便打開(kāi)，類(lèi)似地，2也可以這樣分割設(shè)計(jì)，做出嘗試.解：1應(yīng)選用第一塊鋁板，最多能剪出甲、乙兩種零件共4個(gè)，由計(jì)算得第一塊鋁板面積為：一 |：-I汕 r：1 3s = -x (100 + 300)x 200 = 40000(mm 3)而零件甲、乙的面積分別為，罠=1 x (100 + 300) x 150 = 30000Cmm 3)剩余的邊角料的面積是1'2如圖4-58所示正確畫(huà)出圖形.設(shè)計(jì)零件個(gè)數(shù)，從個(gè)數(shù)、數(shù)量上，結(jié)合

9、圖中數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系考慮，往往是應(yīng)用題的 切入點(diǎn)，此外對(duì)圖形的拼湊、計(jì)算、想象，可有利于思維向縱深發(fā)展習(xí)題精選選擇題1 以下命題中，真命題有（）有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形； 有兩條邊相等的梯形是等腰梯形； 兩條 對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中點(diǎn)連線，把梯形分成面積相等的兩 部分.（A）1 個(gè)（B）2 個(gè)（C）3 個(gè)（D）4 個(gè)2.以線段a=16，b=13，c=10，d=6為邊作梯形，其中a、c作為梯形的兩底，這樣的梯 形 （ ）（A）只能作1個(gè)（B）能作2個(gè)（C）能作無(wú)數(shù)個(gè)（D）不能作(B)AE >(D)AE、BE3 .在直角梯形 ABCD中 AD/ BC, AB丄B

10、C E是CD中點(diǎn)，則（）(A)AE=BEBE（C）AEV BE大小不確定4.等腰梯形的兩底長(zhǎng)分別為a、b，且對(duì)角線互相垂直，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是（）（A）（B）用（a +b)(C)二(D)a + b5有兩個(gè)角相等的梯形是（）A.等腰梯形角梯形B.直C一般梯形腰梯形或直角梯形6.已知直角梯形的一腰長(zhǎng)為）10cm這條腰與底所成的角為30°,那么另一腰的長(zhǎng)為B . 5cmC. 10cmD. 15cm7.如圖4-59，梯形ABCD中 AD/ BC AB=CD對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則圖中全等 三角形共有（）A. 1對(duì)對(duì)平移對(duì)角線BD即可8.如圖 4-60 , AB/ CD, ALL DQ

11、AE=12 BD=15 AC=20 則梯形 ABCD勺面積是()A. 13050B . 140陽(yáng) 4-6(1D. 160、填空題9 .在梯形 ABC沖，AD/ BC, / B=50，/ C=80 , AD=a BC=b 則/ D=,CD=.10. 直角梯形一底與一腰的夾角為 30°,并且這腰長(zhǎng)為6厘米，則另一腰長(zhǎng)為.11. 已知梯形 ABCD中 AD/ BC AC< BC ACL BD于 O, AC=8 BD=6 則梯形 ABCD勺面積為.12. 已知梯形上、下底長(zhǎng)分別為 & 8, 腰長(zhǎng)為7,則另一腰a的范圍是 ，假設(shè)a為奇數(shù)，則此梯形為 梯形.13. 梯形不在同一底上

12、的兩組角的比值分別為 3： 6和4 ： 2,貝U四個(gè)角的度數(shù)分別為14. 等腰梯形中，上底：腰：下底=1: 2: 3,則下底上的內(nèi)角的度數(shù)是 .15. 已知梯形 ABCD中 AD/ BC, AB=DC 假設(shè)/ B=30° , AD= 2cm BC= 6cm 那么梯形的周長(zhǎng)為.16. 已知梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為5, 腰長(zhǎng)為4,則另一腰長(zhǎng)的取值范圍是17. 已知：等腰梯形的兩底分別為10cm和20cm 一腰長(zhǎng)為 廁沁，則它的對(duì)角線長(zhǎng)為 cm三、解答題18. 梯形ABCD中 AD/ BC, BDL DC,假設(shè)AB=AD=DC梯形ABCD勺周長(zhǎng)為10,求梯形 ABCD勺面積.19. 已知

13、梯形ABCC中，AD/ BC, AD< BC,且/B+Z C=9C° , E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn).求EF = - (BC - AD)證：20. 如圖4-61,已知等腰梯形 ABCD AD/ BC, E為梯形內(nèi)一點(diǎn)且 EA=ED求證：EB=ECB圈 4>6121. 如圖4-62 ,四邊形ABCD1矩形,四邊形 ABDE1等腰梯形,AE/ BD求證： BEDBCD22.如圖4-63，梯形ABCD,/ B+Z C=90 , E、F分別為上、下底的中點(diǎn).求證: EF = |(EC-AD)參考答案:、1. B;2 . D;、9. 100°, b-a ;10 . 3;1

14、1. 24;12 . 5<a<9,等腰梯形;13. 60°, 60°, 120°, 120°cm15 .16. 1<x<7;17. 17;、18.v AD=AB=DC 二 Z 1 = Z 2,AD/ BC 二Z C=Z 2+Z 3,Z 1=Z 3.Z 2=Z 3,a Z C=2Z 3. BD丄 DC,二Z 3=30°,設(shè) CD=x 則 x+x+x+2x=10,x=2 .在 Rt BCD中, BD=二-.作DEI BC,垂足為E.1x4 江 DE 二丄 x2x2則 -,/,19 .過(guò)E作EM/AB, EN/CD交BC分別于

15、 M N,則得皿和】、,有AE=BMEN=CD/ B=Z EMC/ C=Z ENB 又/ B+Z C=90°，則/ EMC£ ENB=90，有/ MEN=90。又 BF=CF AE=DE 有 MF=NF:. -。SF=-(BC-AD).MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD ；。20. v 四邊形 ABCD!等腰梯形，.AB=CDZ BAD/ CDA EA=ED.Z EADZ EDA.Z BAD-Z EADZ CDAZ EDA 即 Z BAEZ CDE在BAE和 CDE中,血二 CD”AE 二 DE. BAEA CDE SAS EB=EC21, v 四邊形 A

16、BDE是等腰梯形，/ BDEM ABD AB=DE 又;AB=DC- DE=DC ：四邊形 ABCD!矩形，/ ABDM BDCBDEM BDC在厶 BEDftA BCD中."DEmDC2EDE 二上BDC,BD -BDr BEDA BCD22. 女口圖，過(guò)點(diǎn) E作 EG/AB交 BC于 G,作 EH/CD交 BC于 H,貝UM B=M EGC M C=M EHB又/ B+M C=90°，/ EGCM EHB=90 , M GEH=90 . AD/BC,：四邊形ABGE和四邊形EHCDffi是平行四邊形. AE=BG ED=HC 又 T AE=ED BF=FC BG+HC=

17、ADGF=FH BC-AD=GHt E、F分是上、下底的中點(diǎn)， GH=FH又tM GEH為直角，EF = IgH EF是直角三角形斜邊的中線，：，直角三角形的性質(zhì)EF = 1(BC-AD)習(xí)題精選1一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的2倍，梯形的周長(zhǎng)為25,那么它的對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A. 5C. 5上D. 3上答案：CC1x,則由題意可知腰也為 x,且下底為2x,說(shuō)明：設(shè)該等腰梯形的上底為所以由該梯形的周長(zhǎng)為 25，可得x+2x+2x = 25 , x = 5，如圖，貝U CE = DF,5且 CE+DF = DGAB = 5,知 CE =二，因此，/ C = 60 0；不難得出/ 1 = /

18、 2 =1:- Z ADC =二 / C = 30o,所以 DBL BC, DB =：亠'二 5 ,答案為C.2. 如圖，線段AC BD相交于點(diǎn)O,欲使四邊形ABCD為等腰梯形，應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A. AO = CO, BO = DOB. AO = CO, BO = DO,Z AOB = 90oC. AO = DO, BO = CO, AX BCD. AO = DO, Z AOD = 90o答案：C說(shuō)明：由選項(xiàng)A可得四邊形為平行四邊形；由選項(xiàng) B可得四邊形為矩形；則選項(xiàng)C, AO = DO, BO = CO可得 AC = BD ,由于Z AOD = 180o- 2Z DAO Z COB

19、 = 180o- 2Z BCO得出Z DAO=Z BCO因此，AD/BC ,又AX BC,所以四邊形 ABCD為梯形，且對(duì) 角線AC = BD,即四邊形ABCD為等腰梯形，選項(xiàng) C正確；由選項(xiàng)D中的條件無(wú)法得出 兩條對(duì)角線相等，所以答案為 C.3. 如圖，梯形 ABCD中 , AB/CD ,假設(shè) AD = a , CD = b ,AB = a+b ,則以下等式一定成立的是（）A. Z A = Z BB. BC = aC. BC = b答案：D說(shuō)明：過(guò)點(diǎn) C作 CE/AD，貝9 CE = AD = a , AE = CD = b，所以 BE = AB- AE = a , 得出 CE = BE,貝

20、B = / ECB 因此，有/ D = / AEC 二/ B+Z ECB = 2 / B成立，答案 為D.填空題:1.如圖，直角梯形 ABCD中, AD/BC，CD = 8，Z ADC = 120o，則 AB 的長(zhǎng)為.答案：4E,貝V AB = DE，由已知Z ADC = 120o，知Z C = 60o,所以 Rt DEC中, DC= 2EC 得 EC= 4,貝U AB= DE= '=4.2等腰梯形的上、下底分別是 3cm和5cm 一個(gè)角是 1350，則等腰梯形的面積為 .答案：4cm說(shuō)明：如圖，等腰梯形 ABCD AB = 3 , CD = 5 , Z ABC = 135o,則Z B

21、CD = 45o, 過(guò)B作BE! DC則厶BEC為等腰直角三角形，BE= EC同樣過(guò)A作AF丄DC則有AF = FD,而FD+EC = CD AB = 5-3 = 2 , AF = BE,所以AF = 1，因此，該梯形的面積為 (3+5) X 1 寧 2 = 4cm 2.解答題：1.如圖，AB/CD, AE± CD, AE = 12 , BD = 15 , AC = 20 ,求梯形 ABCD勺面積.分析：過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,得到口AFDB則AB = FD, AF =BD,利用勾股定理分別求出 EF、EC的長(zhǎng)解：過(guò)點(diǎn)A作AF/BD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F AB/CD,

22、a四邊形AFDB是平行四邊形 AB = FD, AF = BD = 15 AE! CD AC = 20 , AE = 12/. EF 二 一 二 9 , EC =-"'二 16 FC = EF+EC = 25丄丄丄 S 梯形 ABCD = (AB+CD)?AE 二；(FD+CD)?AE = ： FC?AE2 S 梯形 ABCD = X 25 X 12 = 150 .12.如圖，在 ABC中，/ ACB = 90o,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD = BC,點(diǎn)E、F分別為邊AB AC的中點(diǎn)；求證：四邊形 EFDB是等腰梯 形.分析：利用“兩腰相等的梯形是等腰梯形”進(jìn)行證明證明：連結(jié)EC

23、1 E、F 分別為 AB AC的中點(diǎn)， EF/BC , EF BC四邊形EFDB是梯形2/ ACB = 90o,. EC = EB = ： AB22 CD 二空 BC, EF =BC,二 EF/CD 且 EF = CD四邊形EFDC是平行四邊形 EC = FD,a EB = FD四邊形EFDB是等腰梯形.12. 1梯形選擇題1以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是A .梯形的兩條對(duì)角線相等B .有兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形C.有兩條邊相等的梯形是等腰梯形D 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是等腰梯形2四邊形四個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2: 2: 1: 3,則此四邊形是A 任意四邊形B 任意梯形C 等腰梯形 D

24、 直角梯形3直角梯形的一腰是另一腰的2倍，則此梯形的最大角與最小角的度數(shù)之比是A 2：1 B3：1 C4：1 D5：14等腰梯形的兩腰分別與兩對(duì)角線互相垂直，一底邊與一腰相等， 那么它的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是 A50°，50°，130°， 130° B60°， 60°，120°，120°C45°，45°，135°， 135° D70°， 70°， 110°， 110°5在周長(zhǎng)為40cm的梯形ABCD中，AD/BC, AE/DC交BC于E,

25、 AD 5cm，貝U ABE的周長(zhǎng)為A40cm B30cm C20cm D 15cm6順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)得到的圖形是A 平行四邊形 B 矩形 C.菱形 D 正方形7梯形的上底長(zhǎng)為 6cm，過(guò)上底一個(gè)頂點(diǎn)引一腰的平行線，交下底所得的三角形的周長(zhǎng)是19cm，那么這個(gè)梯形的周長(zhǎng)為 A31cm B. 25cm C .19cm D 28cm8等腰梯形 ABCD 中,AD / BC, AC與BD相交于點(diǎn)0,圖中全等三角形有A2對(duì) B 4對(duì) C 1對(duì) D 3對(duì)9直角梯形 ABCD 中,AB/DC, B C 90 ,AD20,BC10，則 A和 D分別是A30°, 150° B 45

26、°, 135° C 120°, 60° D150°,30°10等腰梯形兩底之差等于一腰長(zhǎng),則腰與上底的夾角為A60°B 120° C135° D 150°參考答案：1. D 2. D提示：設(shè)四個(gè)角分別為2x,2x,x,3x 由四邊形的內(nèi)角和為 360°知四個(gè)角分別是 90°, 90°, 45 135°，可得一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行，且有兩個(gè)角是90°3D 提示：應(yīng)用直角三角形中，如果一條直線邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30 &

27、#176;4B 提示：運(yùn)用等腰梯形及直角三角形的性質(zhì).5B 提示：ABE的周長(zhǎng)等于梯形周長(zhǎng)減去 10 6C提示：運(yùn)用等腰梯形的對(duì)角線相等，可知所得的平行四邊形有一組鄰邊相等.7A 提示：梯形的周長(zhǎng)等于所得三角形周長(zhǎng)加上上底的2倍.& D 提示： ABD 與 ACD, ABC 與 DBC, AOB 與 DOC 全等.9. D .提示：運(yùn)用直角三角形中 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.10B 提示：平移一腰后可得等邊三角形121 梯形 填空題1 梯形上底長(zhǎng)為5cm，過(guò)上底的一端點(diǎn)引一腰的平行線與下底相交，假設(shè)所得三角形的周長(zhǎng)為20cm,則梯形的周長(zhǎng)為 cm2等腰梯形的上底與高

28、相等,下底是上底的3 倍,則下底的一個(gè)底角為 3等腰梯形的一個(gè)銳角等于60°,它的上底是3cm，腰長(zhǎng)是4cm,則下底是 .4一個(gè)梯形的面積是 24,它的上、下底的長(zhǎng)分別是 5和 7,則梯形的高是 5如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC,AD AB DC , BD CD，貝U C .6 .如圖，等腰梯形ABCD中，2假設(shè)梯形的周長(zhǎng)是30cm ,AD cm, B 7假設(shè)等腰梯形的周長(zhǎng)是 30cm, AD / BC, BC 2AD, BD平分 ABC , BD DC，貝U AD &梯形 ABCD 中，AB / CD, A 30 , B 30 ,CD 3cm, AD 10cm，貝U

29、 AB 的長(zhǎng)是參考答案：1.302.45 °3.74.45.60 °6.6 607.6&10 312. 1梯形解答題1.如圖，梯形ABCD中,AB/ DC, AD BC，延長(zhǎng) AB 到 E,使 BEDC .試說(shuō)明AC CE .2.如圖，等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AC,BD為對(duì)角線，延長(zhǎng)BC到E,使CE AD，連結(jié)DE,試判斷 DEC與 DBC相等嗎?50cm ,3 .如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC, ABC的平分線恰為 BD，已知梯形的周長(zhǎng)為AD 1BC 求梯形各邊的長(zhǎng).24如圖，在梯形 ABCD中，AB/CD, M , N是CD和AB的中點(diǎn)，MN AB，那么AD BC嗎？說(shuō)明你的理由.5如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB到DE，再將 DCE翻折，得到 DC E ,則 EDC 6根據(jù)以下圖，填寫(xiě)下表:梯形個(gè)數(shù)123456n周長(zhǎng)5811147.在如下圖的梯形 ABCD中，AD / BC, AC和BD相交于點(diǎn)0,試說(shuō)明S aob S doc&如下圖，要剪切如圖1長(zhǎng)度單位：mm所示的甲、乙兩種直角梯形零件，且使兩種零件的數(shù)量相 等.有兩種面積相等的矩形鋁板可供選用：第一種長(zhǎng)500mm，寬300mm,如圖2所示；第二種長(zhǎng)600mm,寬250mm，如圖3所示.f300t250*- 50() r*600 H(3)_