高中函數(shù)求值域的九種方法和例題講解

1、高中函數(shù)值域和定義域的大小,是高中數(shù)學(xué)常考的一個知識點(diǎn),本文介紹了函數(shù)求值域最常用的九種方法和例題講解.一觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+(23x)的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出(23x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0，故3+(23x)3。函數(shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=x(0x5)的值域。（答案：值域?yàn)椋?，1，2，3，4，5）二反函數(shù)

2、法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/（y1）,其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)閥y<1或y>1）三配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域例3：求函

3、數(shù)y=(x2+x+2)的值域。點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由x2+x+20,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤1，2。此時x2+x+2=（x1/2）29/40，9/40x2+x+23/2,函數(shù)的值域是0,3/2點(diǎn)評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x5154x的值域.(答案:值域?yàn)閥y3)四判別式法若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的

4、判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為（y2）x2(y2)x+(y-3)=0（）當(dāng)y2時,由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3當(dāng)y=2時,方程()無解。函數(shù)的值域?yàn)?y10/3。點(diǎn)評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥8或y>0）。五最值法對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊

5、界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時，z=5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦5z15/4。點(diǎn)評：本題是

6、將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：若x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)椋ǎ〢（，）B7，C0，）D5，）（答案：D）。六圖象法通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=x+1+(x-2)2的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為2x+1(x1)y=3(-1<x2)2x-1(x>2)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值y3,所以，函數(shù)值域3，。點(diǎn)評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域

7、的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域七單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=1-3x,(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x1-3x在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。點(diǎn)評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的

8、區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)八換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例2求函數(shù)y=x-3+2x+1的值域。點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè)t=2x+1（t0）,則x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)閥|y7/2。點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的

9、最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=x-1x的值域。（答案：y|y3/4九構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22,KC=(x+2)2+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時取等號。原函數(shù)

10、的知域?yàn)閥|y5。點(diǎn)評：對于形如函數(shù)y=x2+a±(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí)：求函數(shù)y=x2+9+(5-x)2+4的值域。（答案：y|y52）以上九種是函數(shù)求值域最常用的方法,下面介紹三種特殊情況下求值域的幾種方法.十比例法對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3

11、)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=3/5時，x=3/5,y=4/5時，zmin=1函數(shù)的值域?yàn)閦|z1.點(diǎn)評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。練習(xí)：已知x,yR，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：f(x,y)|f(x,y)1）十一利用多項式的除法例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0，故y3。函數(shù)y的值域?yàn)閥3的一切實(shí)數(shù)。點(diǎn)評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。（答案：y2）十二不等式法例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。點(diǎn)撥：