楊輝角性質(zhì)證明

1、1. 二項(xiàng)式定理的證明(用數(shù)學(xué)歸納法)證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=(a+b) 1= a+b=右邊; 因此，當(dāng) n=1 時(shí)等式成立。(2)假設(shè) n=k 時(shí)等式成立，即(a+b) k= Ck0ak+Ck1ak-1 b+Grak-rbr+Gr+1ak-r-1 br+1+Gk-1abk-1+Gkbk現(xiàn)在證明當(dāng) n=k+1 時(shí)等式也成立。由于( a+b) k+1=( a+b) k( a+b)0 k 1 k-1r k-r rr+1 k-r-1r+1=(Gk a +Ck a b+Ga b + Gk a b +Ckk-1abk-1+Ckkbk)( a+b)0 k+11 kr k-r+1 rr+1 k-r r

2、+1=Ga +Gab+Ck ab + Gk a b +k-1 2 k-1 k k+Gk ab +Gk ab0 k1 k-1 2r k-r r+1r+1k-r-1r+2+ Ckab+Ga b +Ga b + Gk a b +k-1 k k k+1+Gk ab+Gk b0 k+110 kr+1 r k-r r+1=Ga + (G + G ) ab+ (G +G ) a b +( Gkk+ Gkk-1)abk+Gkkbk+1利用：G°= G+10 , &+ G°= G+11Gr+1+Gr= G+T Gk+ Ckk-1= Ck+ik, Gk= Ck+ik+1 則得到(a+b

3、) k+1=0k+11k葉1 k-r 葉1G+i a +Ck+i a b+G+i a b +k kk+1 k+1+ Ck+1 ab +Ck+1 b o這就是說(shuō)，如果n=k時(shí)等式成立，那么n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1)和(2),可知關(guān)于任意自然數(shù)n,公式都成立。k m2.證明：當(dāng)m 1,2 - 1時(shí)，C2k-1是奇數(shù)。證明：對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)m都存在唯一的自然數(shù)km 與正奇數(shù)lm ，使m=2。設(shè)1=21h ,2=2k2 I?,，n = 2k2 打,.當(dāng) m 1,2； ,2k -1Cm =(2k - 1)(2 2)(2k - m)C2k _1k km時(shí)，1 2 m2k1l1(2k - 2k

4、9;1I1) (2k - 2k2I2)(2k - 2km|m)2k2l2k - k：(21)25 - I2)(2k km lm)上式的分子、分母都是奇數(shù)，且分式值是正整數(shù)，m2k -1是奇數(shù)3.證明:C k c kkc k c k c k1Ck +Ck1 + Ck2 + + Cn-1+ Cn = Cn1k 1k 1k 1k 1k 1k 1k 1k 1k1k 1Ck 1(Ck 2 一 Ck 1 丿(Ck 3 " Ck -2?(Cn一 Cn-1 )(Cn 1 一 Cn 丿二 Cn 1法二:kkkkk 2 + Ck 3 + Cn-1 + Cnk 1 k 1Ck+ 5 3 + Ck-1 +

5、Ck-1 +Cn =+Ck=Ck1+Ck=C4. 證明k3 = (k 1)k(k 1) k = 6C3 / Ck13 + 23+n3 = 6(Cj + C：+ C；勺)+ (C； + C； + 十 V)24 2 1=6Cn+2 + Cn+1 = 2n(n+ Dj5. (1)將各斜邊的數(shù)字相加后按從上而下的順序列 出：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。(2)研究上述數(shù)列的規(guī)律后，可以猜測(cè)：無(wú)窮階 楊輝三角類(lèi)似的數(shù)列為：a< a? = 1耳 2 二 a“a“(n將 令表示成組合數(shù)的和，并證明an 2 一 an 1 ana = C kT C k22kkk 1a2k一廠C

6、2 +C：2(nN*)根據(jù)楊輝三角的基本性質(zhì)3可以推出a2k-1a2ka2k-1a2k-2,a2k 1a2k6. 2n - 1階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個(gè)更多?n n21階楊輝三角中，共有3 個(gè)奇數(shù)，共有22nT 2心3n個(gè)偶數(shù)(k N*),n2n Tn Tn ,試比較3與223的大小7 演示實(shí)驗(yàn)教師或?qū)W生將16個(gè)均勻小球逐個(gè)平穩(wěn) 地放入如圖的教具內(nèi)。統(tǒng)計(jì)最后各個(gè)矩形 框內(nèi)的小球個(gè)數(shù)。連續(xù)做三次實(shí)驗(yàn)，分析 統(tǒng)計(jì)結(jié)果；并將結(jié)果推廣到有 n+1層的教 具，2n個(gè)小球的情形，并給出合理解析（1）設(shè)小球從第一層落入第n層下面的第k個(gè)矩 形框的通道條數(shù)為F（n, k），則根據(jù)教具的對(duì)稱(chēng)性及 小球的均勻

7、性，可建立如下遞推模式：F（ 1，1）=1，F(xiàn) （n，k）=F （n，n-k+1），F(xiàn) （n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1, 2,，n+1，規(guī)定 F （n，0） =F （n，n+1） =0 （n N*）。類(lèi)比楊輝三角形的基本性質(zhì)：0rn-r rrTrCO l，C n Cn ，Cn 1 Cn Cn可猜測(cè)：F（n 1,kp dk = 12 , n 1（可以用數(shù)列方法證明結(jié)論為真，留課后思考）故在理想狀態(tài)下，2n個(gè)小球從第一層落到第n層, 從左到右各矩形框內(nèi)的小球個(gè)數(shù)分別為Cn,Cn,Cn,n1 n,Cn , Cn(2)小球從某層落到下層可看作進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，其中小球向左邊落入

8、的概率為2。那么小球從第 一層落到第n+1層可以看成是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試 驗(yàn)，小球最后落入第k個(gè)矩形框內(nèi)可以看成是小球從 左邊落入恰好發(fā)生n-k+1次，其概率為n二 Cn_1n1,k = 1,2, ,n 1 2 。在大量重復(fù)試驗(yàn)下，統(tǒng)計(jì)規(guī)律為：2n個(gè)小球落到第n+1層的第k個(gè)矩形框內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為Pk 2 C：1,k = 1,2, ,n 1。8. “楊輝三角”，與“11的方冪”仔細(xì)觀察“楊輝三角”不難發(fā)現(xiàn)，0行是1=11°, 1 行是 11=111, 2 行是 121=112, 3 行是 1331=113,;由此猜測(cè)：n行就是11n.這種猜測(cè) 是正確的！不過(guò)這里要注意的一點(diǎn)是，對(duì)第 5

9、及 以下的各行，要注意進(jìn)位問(wèn)題，凡大于或等于 10 的數(shù)必須逢十進(jìn)一，例如116，第6行寫(xiě)的是1、6、15、20、15、6、1，第三、第四、第五個(gè)數(shù)進(jìn)位以后就應(yīng)該是1771561，所以，116= 1771561.9. “楊輝三角”與“兔子繁殖問(wèn)題”中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子.設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一 雌，且均無(wú)死亡.問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可 以繁殖成多少對(duì)兔子？對(duì)于斐波那契提出的這個(gè) “兔子繁殖問(wèn)題” ，雖然我們可以一個(gè)月一個(gè)月向后推算一對(duì)剛出生

10、 的小兔在一年內(nèi)可繁殖成多少對(duì)兔子，但畢竟要 費(fèi)一番功夫，如果把它與楊輝三角聯(lián)系起來(lái)，就 會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有趣的結(jié)果：兔子繁殖問(wèn)題的答案 可以從楊輝三角得到.首先，我們把楊輝三角略加改寫(xiě)，列成如下 的直角三角形表，表中每一斜線 （平行的 ） 上各個(gè) 數(shù)之和列在表的左側(cè)，如則左側(cè)從上而下的一列數(shù)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,，正好是剛生的兔子，第一個(gè)月后的兔子.第 二個(gè)月后的兔了，第三個(gè)月后的兔子，個(gè)月后 的兔子的對(duì)數(shù).“兔子繁殖問(wèn)題”的答案就是上 表寫(xiě)到第12行左側(cè)的那個(gè)數(shù)，即233.左側(cè)這列 數(shù)又稱(chēng)為“斐波那契數(shù)”.10. “楊輝三角”與“縱橫路線圖”“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類(lèi)有趣的問(wèn)題， 中小學(xué)的數(shù)學(xué)中時(shí)有出現(xiàn)圖1是某城市的一部分街道圖，縱橫各有五 條路如果從A處走到B處（只能由北到南，由西向 東），那么有多少種不同的走法？我