2016全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案

1、2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷I)理科數(shù)學(xué)一.選擇題：本大題共 12小題,每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1.設(shè)集合 A =k x2_4x+3 <。 , x2x3>0，則 A。B =3。3d 33。(A).3，(B) ,T (O .1-(D),32.2. 222 .設(shè)(1 +i)x =1 +yi ,其中 x, y 是實(shí)數(shù)，則 x + yi =(A) 1(B) 72(C) V3(D) 23 .已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27, a10=8,則a100 =(A) 100(B) 99(C) 98( D) 974 .某公司的班車在 7:0

2、0, 8:00, 8:30發(fā)車，小明在 7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨 機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是I1 I I(A)1(B) 1(C) 2(D) 33234. . . ., ./v25 .已知方程二y一=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是m n 3m -n(A) (1,3) (B) (-1J3 ) (C) (0,3)(D) (0,73)6 .如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半28 二何體的體積是 ，則它的表面積是3(A) 17n(B) 18n(C) 20n(D) 28兀7 .函數(shù) y =2

3、x2 exl在 1-2,2 的圖修大致為(B)(A)(C)(D)8 .若 a >b >10 <c <1，則c cc c(A) a <b (B) ab <ba(C)a logbc <blogac (D)10g a C : 10g b C9 .執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x=0, y = 1, n=1，則輸出x,y的值滿足(A) y =2x (B) y =3x (C) y=4x (D) y =5x10 .以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn).已知|AB|= 4夜,|DE|= 2褥，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D

4、)811 .平面a過(guò)正方體 ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)AR/平面CBiDi,a I平面ABCD =m, a I平面AB B1A1=n，則m、n所成角的正弦值為3(A),2.31(B) T (C) T 312.已知函數(shù)f (x) =sin(cox+ 中)(8 >0,邛 <),x = 為f (x)的零點(diǎn)，x =為y = f (x)圖像的對(duì)稱軸，且244f(x)在 | 二，二 單調(diào)18 36，則0的最大值為(A) 11? (B) 9? (C) 7? (D) 5二、填空題：本大題共 3小題,每小題5分 13.設(shè)向量 a=(m,1), b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b|

5、2,貝 1 m=.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)14 . (2x + Jx)5的展開(kāi)式中，X3的系數(shù)是15 .設(shè)等比數(shù)列 an 滿足a1+a3=10, a2+a4=5,則aa2n的最大值為16 .某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg ,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演

6、算步驟億(本小題滿分為 12分)AABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 2cosc(a cos B+b cos A) =c.求C;(II)若c = J7, MBC的面積為 理,求 MBC的周長(zhǎng).218 .(本小題滿分為 12分)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD , /AFD = 90 ,且二面角 D-AF-E與二面角 C-BE-F都是60 .(I)證明：平面 ABEF _L平面EFDC ;(II )求二面角 E-BC-A的余弦值.19 .(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)

7、進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種器使用三年后即被零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了 100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)用表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(I)求X的分布列；(II )若要求P(X <n) >0.5，確定n的最小值;(III )以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在門(mén)=19與門(mén)=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？2220.(本小題滿

8、分12分)設(shè)圓x + y +2x15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B (1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D(I)證明EA + EB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;(II )設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線 Ci,直線l交Ci于M,N兩點(diǎn)，過(guò) B且與l垂直的直線與圓 A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形 MPNQ面積的取值范圍.x.221 .(本小題滿分12分)已知函數(shù) f(x) = (x2)e +a(x1)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是f (x )的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1 + x2 <2.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 .22 .(本小題滿分10

9、分)選修4-1 :幾何證明選講如圖， OAB是等腰三角形，/AOB=120° .以。為圓心， -OA為半徑作圓.2(I)證明：直線AB與。0相切；(II)點(diǎn)C, D在O O上，且A, B, C, D四點(diǎn)共圓，證明： AB II CD.23 .(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線，、x.a cost，/一C1的參數(shù)萬(wàn)程為W(t為參數(shù)，a>0).y 31 asint在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：尸4 cose .(I)說(shuō)明g是哪一種曲線，并將 %的方程化為極坐標(biāo)方程；(II)直線C3的極坐標(biāo)方程為 。=U0,其中

10、滿足tan豆0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在 C3上，求a.24 .(本小題滿分10分)選修45:不等式選講、一、! I已知函數(shù) f (x )=|x+l |2x3 .(I)畫(huà)出y = f (x )的圖像；(II)求不等式|f(x(A1的解集.2016年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)參案丁題號(hào)123456781911011112答案DBCBAADCCBAB兩點(diǎn)，過(guò) B作AC的平行線交 AD于點(diǎn)E.1.A = lxx2 -4x +3 <0 = x 1 <x <3), Bx2x -3 0 土2.3.-3 3故 Ap|B=Wx2 <x<3b.I 2 J故選D.由(1 +i x

11、=1 +yi 可知:x 二 1x +xi =1 +yi ,故 W ,解得:x=y所以,故選B.x +yi = Jx2 +y2 =& .由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S9 =2而a10 =8 ,因此公差d =105 =110 -5a100 =a10 +90d =98 .故選C.4.如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸:xxTl2Jx =1y =19 a1 ag9 2a55=9a5 =27 ,故 a5 =3,小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘一一，一，-10 10根據(jù)幾何概型，所求概率 P=1040故選B.225.y22m n 3m -

12、n=1表示雙曲線，則 (m2-m :二 n =：3m由雙曲線性質(zhì)知：c2 = m2 , n廣3m2-n )=4m2 ,其中c是半焦距. 2 f (2 )=8 -e <8-2.7 <1 ,排除 Bx A0 時(shí)，f (x )=2x2-exf'(x)=4xex,當(dāng)xW,'0,-1卜寸, 因此f (x庭Q,1 I單調(diào)遞減，排除 C ,4故選D.8.對(duì)A：由于0<c<1,函數(shù)y=xc在R上單調(diào)遞增，因此 a>b>1u ac>bc, A錯(cuò)誤對(duì)B:由于1<c1<0, .函數(shù)y=xc，在(1,收)上單調(diào)遞減,來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)焦距2c =2 2網(wǎng)=

13、4,解得m-1<n ：二3故選A.6 .原立體圖如圖所示:是一個(gè)球被切掉左上角的1 一一 、一1后的三視圖8表面積是7的球面面積和三個(gè)扇形面積之和8故選A.227 . f(2)=8-e >8-2.8 >0,排除 Ac 1 c 1c ca >b >1a <b - y ba <ab , B 4已反對(duì)C：要比較alogbc和blogac,只需比較 更上和 處£,只需比較 正和nc,只需binb和alna lnb In abln b aln a構(gòu) 造函數(shù) f(x)=xln x(x>1),則f '(x)=ln x+1>1 >0

14、, f(x)在(1,y)上單調(diào) 遞增，因此11f a 1 ? f b 1,0aln a . blnb . 0=:二.alna bln bln cln c .又由 0 <c 父1 型 lnc<0,- <y blogac <alogb c, C 正確alna bln b對(duì)D ：要比較log a c和10gb c ,只需比較 業(yè)c和處lna lnb.11而函數(shù) y=lnx在(1，W上單倜遞增，故 a>b>1 lna>lnb>0t <ln a ln blnc lnc又由 0 <c <1 倚 lnc<0,. >y logac

15、>logb c, D 錯(cuò)誤lna lnb故選C.9.如下表:循環(huán)節(jié)運(yùn)行次數(shù)判斷是否輸出運(yùn)行前01/1 1 III.1 1)(1t 第一次否否1第二次否否第三次是是3輸出x =, y =6 ,滿足y =4x210.以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同理2 x故選C.2題目條件翻譯如圖:A(%,2"),D9用設(shè)拋物線為y =2px(p>0 )，設(shè)圓的方程為p D -p, ,2在圓x2+y2 =r2上，5 + |衛(wèi)2A(%,2、6戶圓22222x +y =r 上，x +8=r 區(qū)聯(lián)立解得:p =4 ,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4 .CBA若設(shè)平面CB1D1 n平面ABCD =用

16、,貝 ij m1 II mA4CR =BRAiBiA(xo,2 22 聲拋物線 y2=2px上，8=2p%11.如圖所示:故選B. u/平面 CB.D1 ,又平面ABCD /平面ABQ1D1 ,結(jié)合平面 B1D1c門(mén)平面BD /mi,故 BD/m同理可得：CD1/n故m、n的所成角的大小與 BD1、CD1所成角的大小相等，即/CD1B1的大小.3而 BC =BDi =CDi (均為面對(duì)父線)，因此/CD1B =,即 sin/CDiBi =.32故選A.12.由題意知：則切，=2k +1,其中k ZZ，n5nl *，、印5nn n T ，八.f (x)在.,|單倜，. = 一 ,co E1218

17、 3636 18 12 2接下來(lái)用排除法什m汽，一式、!右切，=11,中=一，此時(shí) f (x) =sin 11x 4.4單調(diào)曾土遞n-43 - 4,F 8Th在刈(f在''32,55愉減，不滿足f(X)在，即i44,36J8,364y TT右co =9, = ,此時(shí)4f(x) =sin ：9x +-1滿足f(x)在!U，吵j單調(diào)遞減418 36故選B.13.-214.10151621600013.由已知得:1,3+32 =m2 +12 +12 +22 ,解得 m=-2 .14.設(shè)展開(kāi)式的第 k+1項(xiàng)為T(mén)k4，k w0,1,2,3,4,5 k 1k5 kTk + =C5(2x)

18、(«)=Ck25W k5 _4當(dāng) 5 _ =3時(shí)，k=4,即 T5=C5254x 22故答案為10.二10x315.由于 Q是等比數(shù)列，設(shè) an =a1qn，其中a a3 =10 <un=_5la2 峭4 a =i ', an2，,2a1 a1q =1011M ,解得:3a1q -a1q =5a是首項(xiàng)，q是公比.& =8*當(dāng)n = 3或4時(shí),a a2 '.an1/7 ；j n I 2 2 !5 1 '力.q 12nn, 1臚曰 1“ 6三師卜二取到最小值-6,此時(shí)二戶-42494所以a1a2，an的最大值為 64.492449股到最大值26.16

19、 .設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品X件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為目標(biāo)函數(shù) z =2100x 900y作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在(60,100)處取得最大值,z=2100 60 900 100=21600017 .解： 2cosc (acosB+bcosA )=c由正弦定理得：2cosC sin A cosB sinB cosA =sinCA+B +C =n，A、B、C W(0 ,叫sin A，B =sin C 012cosC =1 , cosC =一2由余弦定理得：c2C =32 .

20、2=a b -2 ab cosC2a b -18 =7 4ABC周長(zhǎng)為 a+b+c=5+"18.解:(1) ABEF為正方形 AF _EF19解:ZAFD =90 AF DFAF_DFDEF=F，面 EFDCAF，面 ABEF:平面ABEF _L平面EFDC由知 AB II EFAB0平面EFDCEF仁平面EFDC AB II 平面 ABCDAB仁平面ABCD.面 ABCD 口 面 EFDC =CDAB II CD CD II EF四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)1HaEB=(0, 2a, 0 ), BC=|以，-2FD =a設(shè)畫(huà)BEC法向重為-m =(x, y

21、 , z t2a Vi =0m EB =0g K 即*a °, V3Jm BC =0f x1 - 2ay1 -a咚單上BC法向量為2n =(先，y2P 22 ) In BC=0鼠-2ay2 -az2 =0(W .即22In AB =02_0設(shè)二面角E -BCTaxA雨大小為u.;二面角E -BC A的余弦值為 空1919每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8, 9,記事件A為第AB =(-2a, 0,0)x2 0, y2=V3, z2=410,11機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個(gè)零件(i =1,2,3,4 )記事件Bi為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個(gè)零件(i=1,2,3,4 )由題知 P(A )=p(A3

22、 )=P(A )=P(Bi )=P(& )=P(R )=0.2, P( A2 )=P(B2 )=0.4設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X ,則X的可能的取值為16, 17, 18, 19, 20, 21, 2216171819202122要令 P(xwn0.5, '0.04 +0.16+0.24<0,5, 0.04 + 0.16+ 0.24 + 0.240.5則n的最小值為19購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用當(dāng) n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為 19M200+500M0.2+1000M 0.08+1500M

23、0.04 =4040當(dāng) n =20時(shí)，費(fèi)用的期望為 20x200+500x0.08+1000x0.04=4080所以應(yīng)選用n=192020. (1)圓 A 整理為(x +1 ) +y2 =16 , A 坐標(biāo)(1,0 ),如圖,*：BE/ZAC,則 /C=/EBD,由AC = AD,則/ D =Z C ,，/EBD=/D,則 EB=ED所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為22- x y 一 C1:十=1 ;設(shè) l : x = my +1,43=1,( y =0);因?yàn)镻Q±I，設(shè)PQ: y =m(x -1),聯(lián)立l與橢圓C1x2 y2得(3m2 +4 )y2+6my9 =0 ；1則43x42

24、 1|MN |=、1 m2 | yM -yN |= 1 m236m2 36 3m2 412 m圓心A到PQ距離d =| 學(xué)1=1)| -所以 |PQ|=2 | AQ |2 -d2 =2 1643m2 4|2m|=?2m4.3m2 43m2 41 m2. 1 m2_xx21. (i) f'(x)=(x1)e +2a(x1) = (x1)(e +2a).(i)設(shè) a =0,則 f(x) =(x2)ex, f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)a >0,則當(dāng)x-«,1)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)xW(1,y)時(shí)，f '(x)>0 .所以f(x)在(但,1)上

25、單調(diào)遞減,在(1,收)上單調(diào)遞增.a又 f (1) = -e, f (2) =a,取 b 滿足 b <0 且 b<ln,則- a _2232f (b) >-(b-2) +a(b1)2 =a(b2 -b) >0 ,故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).(iii)設(shè) a <0 ,由 f '(x) =0 得 *=1或乂 = ln(-2a). e _ 一 .右a之一金，則ln(2a)七1,故當(dāng)x (1,+無(wú))時(shí)，f '(x) >0 ,因此f (x)在(1產(chǎn))上單倜遞增.又當(dāng) x <1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).e右 a < ，則

26、 ln(2a) >1,故當(dāng) x三(1,ln(2a)時(shí)，f '(x) <0；當(dāng) xw (ln(2a), +=c)時(shí)，f '(x) >0 ,因此 f (x) 2在(1,ln(2a)單調(diào)遞減，在(ln(2a),")單調(diào)遞增.又當(dāng) xm1時(shí)，f (x) < 0,所以f (x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0,十道).(II)不妨設(shè) x1<x2，由(I)知 (-，x2w(i,收)，2x2w (q,1), f(x)在(*,1)上單調(diào)遞減，所以 x1 +x2 <2 等價(jià)于 f (x1) > f (2 x2)，即 f (2 -x2) <0.，一 一一 .2 x.2一.x.2_由于 f (2 -x2) = -x2e +a(x2 -1),而 f (x2) = (x2 -2)e + a(x2 -1) =0 ,所以 f (2 -x2) - -x2e2-2 -(x2 -2)ex2.設(shè) g(x)=-xe" (x 2)ex,貝U g (x)=(x _1)(e" -ex).所以當(dāng) x>1 時(shí)，g'(x) <0,而 g(1) = 0,故當(dāng) x >1